Математические модели принятия решений в экономике

б) x* 25,8

Этап 3. Анализ результатов. Оптимальная величина х* заказываемой партии товара зависит от соотношения между параметрами c₁, с₂, Q. Установим характер этой зависимости «на уровне здравого смысла».

1. х* должна быть монотонно возрастающей функцией от Q (если при неизменной плате за заказы и за хранение потребуется большее количество товара, то и величина заказываемой партии должна быть увеличена).
2. х* должна быть монотонно возрастающей функцией от с₁ (при увеличении стоимости заказов с₁ выгодно уменьшить их число, а для этого надо увеличить размер заказываемой партии).
3. х* должна быть монотонно убывающей функцией от с₂ (при увеличении стоимости хранения выгодно уменьшить количество хранимого товара, а для этого надо уменьшить размер заказываемой партии).

Функция х* = удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Далее, возьмем какой-нибудь частный случай, например, х* = Q (т.е. когда оптимальным является решение о заказе всего требуемого товара целиком). Согласно формальным выкладкам, проведенным выше, такая ситуация наступает при выполнении условия (б): Q < 2с₁/с₂. Интуитивно ясно, что решение х* = Q будет оптимальным тогда, когда требуемое количество товара Q «не слишком велико», а плата за хранение «достаточно мала» по сравнению с платой за заказы. Но тогда решение «заказать весь товар целиком» будет тем более верным при уменьшении Q, увеличении с₁ и уменьшении с₂, что как раз имеет место для критерия Q < 2с₁/с₂.

a) х*<Q, т.е. 24<72.  В этом случае оптимальный размер закупаемой партии товара будет равен х*=24.

б)x*>Q оптимальный размер закупаемой партии товара будет равен Q=25.

 

Задание 2.

 

Продукт С производится из продуктов А и В, причем количество продукта С равно 5х^1/3у^2/3, где х — количество продукта А, у — количество продукта В. Какое наибольшее количество продукта С может быть произведено, если стоимость единицы продукта А равна пяти денежным ед , стоимость единицы продукта В равна 2ден ед и всего на покупку продуктов А и В ассигновано 20 денежных ед ?

Решение.

Основной метод  решения этой задачи состоит в  следующем: составляется функция Лагранжа

где Ai,...,A_m — переменные, называемые множителями Лагранжа.

Справедливо следующее  правило.

Правило 3.3. Точка, являющаяся точкой условного экстремума, должна быть стационарной точкой функции Лагранжа {т. е. в этой точке все частные производные функции Лагранжа L по переменным x₁,…, х_n, ₁,..., _m должны быть равны нулю).

Метод нахождения условного экстремума, основанный на правиле 3.3, называется методом множителей Лагранжа.

В данной задаче целевая функция задается в виде f(x,y)= 5х^1/3у^2/3, а система ограничений сводится к уравнению 5x+2y=20. Составим функцию Лагранжа L(x,y, )= )= 5х^1/3у^2/3+ (20-5x-2y).

Находя частные производные  функции L и приравнивая их нулю, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y,

 

Решаем эту систему, получаем  x= , y = . Подставляем эти значения в данную функцию получаем, что наибольшее количество продукта С, которое может быть произведено, равняется f( , )= 5( )^1/3( )^2/3=19,42.

 

 

Задание 3.

 

Количество продукта С, производимого из продуктов А и В, находится по формуле f(x, у) =2х + 3у, где х — количество продукта А, у — количество продукта В Какое максимальное количество продукта С может быть получено при условии, что х и у связаны ограничением 4х² + 9у² < 72?

Решение.

Задача максимизации производственной функции состоит в следующем. Найти максимум производственной функции f(x₁,. .., х_п) в допустимой области D = {х Rⁿ : {р,х) d; x₁,. . ., х_п 0}, где d > 0, р = (р¹, ... ,р^п) — заданные величины.

    Здесь допустимая  область D={(x,y) R2: 4х2 + 9у2 < 72 ; x,y 0}. Эта область представляет собой четверть эллипса, ограниченную осями системы координат, лежащую в I координатной четверти (рис. 4).

 

рис. 4

 

 

 

Линии уровня целевой  функции определяются уравнением: с =2х + 3у. При каждом фиксированном с > 0 линия уровня представляет прямую. Точкой максимума функции f(x, у) является М*(х*; у*), для которой проходящая через нее прямая касается эллипса . Приближенно значения координат точки М* определяют по графику. Для нахождения точных значений координат точки М* составим систему

 

Прямая, проходящая через  точку М*, характеризуется тем, что  при соответствующем ей значении константы с = с* система имеет единственное решение — это обстоятельство мы и используем для нахождения х*,у*. Выражая из первого уравнения x=         подставляя его во второе уравнение и возводя обе части в квадрат, получаем в результате квадратное уравнение относительно y:

18y² -6cy + с²-72 = 0.

Последнее уравнение  также должно иметь единственное решение, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю. Имеем

D = -36 с²+5184 = 0, откуда с* = 12. Находим: y* = 2, x* = 3.

Максимальное количество продукта С высчитывается по формуле 2*3+3*2=12.

 

Задание 4.

 

В табл. 1 приведено количество белков Б , жиров Ж, углеводов У, витаминов В в единице продукта П₁ и II₂, а также минимальная норма питательных веществ в смеси этих продуктов и стоимость единицы продуктов П₁ и П_2. Найдите оптимальную смесь продуктов П₁ и П₂

 

Таблица 1

	Б	Ж	У	В	Стоимость
П1	4	3	8	7	4
П2	5	18	2	3	3
Минимальная норма	20	36	16	21

 

Решение.

Определение. а) План называется допустимым, если он может быть реализован, т. е. если для его реализации хватает ресурсов всех типов.

б) План называется оптимальным, если, во-первых, он является допустимым, и, во-вторых, дает максимальную прибыль среди всех допустимых планов.

Задача нахождения оптимального плана сводится к следующей оптимизационной  задаче: найти максимум линейной функции

f(x₁, ...,x_n) = с₁х₁ +…+ с_пх_п

в допустимой области D, выделяемой системой линейных неравенств при граничных условиях х_i > 0 (i=  ). Это — частный случай общей задачи линейного программирования.

Здесь система ограничений  сводится к системе линейных неравенств

при граничных условиях неотрицательности х 0, у 0. Целевая функция имеет вид: f(x,y) = 4х + 3у, а семейство линий уровня — это семейство прямых 4х + 3у = с, где с — константа. Градиентом целевой функции здесь является постоянный вектор g = grad f с координатами (4; 3), который перпендикулярен всем линиям уровня. Задача нахождения глобального максимума функции f(x,y) в допустимой области D в данном случае может быть решена графическим способом. Точка глобального максимума функции f(x,y) в области D это та вершина М*, через которую проходит линия уровня при наибольшем возможном значении константы с (геометрически точка М* получается перемещением прямой 4х + 3у = с в направлении градиента до тех пор, пока она еще пересекает область D). Приближенно значения координат (х*; у*) точки М* могут быть найдены по графику :

Для нахождения точных значений (х*; у*) составим систему из уравнений прямых (l₃) и (l₄), пересечением которых является эта точка:

Решая систему, находим х*= 0,6; у* = 5,6.

 

Задание 5.

Используя графический  метод, найдите оптимальный производственный план в задаче, заданной табл.

Таблица

	1	2	3	4	Прибыль
1	24	15	8	10	6
2	8	15	16	5	7
Запас	120	150	128	60

 

 

Решение.

Все рассуждения аналогичны, как и в предыдущей задаче.

Система ограничений  выглядит следующим образом:

Семейство линий уровня — это семейство прямых 6х + 7у = с.

 

 

Задание 6.

 

   При выборе квартиры в качестве существенных критериев взяты р₁ — метраж (в м²), р2 — время поездки на работу (в мин), р3 — время поездки в зону отдыха (в мин), при этом критерий p1 рассматривается как позитивный, а критерии р2 и р3 — как негативные. Сравните по предпочтительности семь вариантов, представленных в табл. 1

Таблица 1

	Критерий
Вариант	P1	Р2	Р3
1	60	50	30
2	50	45	25
3	45	30	20
4	60	40	30
5	42	20	10
6	45	30	15
7	48	45	25

Указание. Первый этап анализа — отбрасывание вариантов, доминируемых по Парето. Второй этап — сужение Парето-оптимального множества с помощью процедур, основанных на дополнительной информации, получаемой от принимающего решение, о критериях или свойствах оптимального решении.

 

Решение.

1)4 1, 6 3, 2 7.

Q={2,4,5,6}- парето-оптимальное множество

2)

а) Указание нижних границ критериев. Наложим, например, следующие ограничения на оптимальное решение:

метраж — не менее 45 м²;

время поездки на работу — не более 35 мин;

время поездки в зону отдыха — не более 25 мин.

Варианты, удовлетворяющие  этим дополнительным ограничениям: {3,6}; из них оптимальными по Парето является вариант 6.

б) Субоптимизация. Пусть в качестве выделенного критерия выступает критерий p3; ограничения: метраж — не менее 50 м², время поездки на работу — не более 50мин. Отбросим варианты, которые не удовлетворяют данным ограничениям; остаются варианты: {2, 4}. Из них минимальное время поездки в зону отдыха имеет вариант 2. Этот вариант и будет оптимальным.

в) Лексикографическая оптимизация. Упорядочим критерии по относительной важности, например, следующим образом: p1>p2>p3 (т.е. важнейший критерий — метраж, следующий за ним по важности — время поездки на работу, наименее важный критерий — время поездки в зону отдыха). Максимальное значение по критерию p1 имеют варианты 1 и 4. Далее сравниваем эти варианты по второму по важности критерию р2. Вариант 4 является здесь оптимальным.

 

Задание 7.

 

Используя в качестве обобщенного критерия для задачи 6 критерий, постройте полное ранжирование вариантов мест работы.

 Соответствует ли полученное ранжирование вашим предпочтениям?

Решение.

Определение. Под обобщенным критерием будем понимать отображение , удовлетворяющее условию

 

 

 

Критерий. Итоговой численной оценкой исхода а является сумма нормализованных оценок по всем критериям (нормализованная оценка по j-му критерию есть отношение fj(a)/Mj: , где

M₁=60, M₂=50, M₃=30.

f(1)=60/60-50/50-30/30=-1

f(2)=50/60-45/50-25/30=-27/30

f(3)=45/60-30/50-20/30=-11/60

f(4)=60/60-40/50-30/30=-4/5

f(5)=42/60-20/50-10/30=-1/30

f(6)=45/60-30/50-15/30=-7/20

f(7)=48/60-45/50-25/30=-28/30

Получаем, что 5 вариант  наиболее предпочтительный, который  соответствует лексикографической оптимизации.