Математические модели принятия решений в экономике

Министерство образования и  науки Российской Федерации

 

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

 

 

 

 

Кафедра теории функций  и приближений

 

 

 

Математические  модели принятия решений в экономике.

Курсовая     работа

студентки   IV курса   412   группы   механико – математического факультета

Скиданенко Вероники Сергеевны

 

 

 

Научный руководитель

к.ф.м.н., доцент                   ___________________________             Е.В. Гудошникова

                                                                  

ВРИО заведующего кафедрой

 к.ф.м.н., старший преподаватель                                                           С.В. Тышкевич

                                                                  ____________________________

   

САРАТОВ

2012 год

Содержание

Введение……………………………...…………………………………………... 3

Задание 1 ………………………………………………………...…………….……………….5

Задание 2………………….………………………………………………………. 9

Задание 3 …………………………………………………………………………10

Задание 4………………………………………………………………………….11

Задание 5………………………….………………………………………………12

Задание 6………………………………………………………………………….13

Задание 7………………………………………………………………………….14

Задание 8………………………...………………………………………………..15

Задание 9………………………….………………………………………………16

Задание 10………………………….……………………………………………..16

Задание 11…………………………...……………………………………………17

Задание 12…………………………..…………………………………………….18

Задание 13………………………………...………………………………………18

Задание 14………………………………...………………………………………19

Задание 15……………………………….………………………………………..21

Задание 16………………………………………….……………………………..23

Задание 17……………………………………….………………………………..24

Задание 18…………………………………………..…………………………….25

Задание 19…………………………………………..…………………………….26

Задача «Как заработать миллион»………………….…………………………..28

Дерево решений………………………………………………………………….30

Заключение……………………………………….………………………………31Список литературы………………………………………………………………33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

В основе всей современной финансово-экономической  деятельности лежат те или иные модели исследуемых экономических процессов. Основным методом исследования экономических  процессов в настоящее время является метод моделирования, т.е. способ теоретического и практического действия, направленного на разработку и использование моделей.

Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е. возможности  изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.

Математическая модель в экономике, иначе экономико-математическая модель, — это математический образ, математическое описание существа исследуемого экономического процесса, задачи.

В процессе решения экономических  задач с применением математических методов можно выделить четыре основных этапа:

1. Постановка экономической проблемы, задачи (описание экономико-организационной  сути).

2. Моделирование (разработка экономико-математической модели проблемы, задачи).

3. Получение решения по модели.

4. Внедрение полученного решения  (разработка рекомендаций, предложений  в доступном и наглядном для  практика виде).

В представленной работе наиболее подробно рассматриваются примеры экономических задач. Главным в них являются понятия оптимальности и их экономические реализации. Данная курсовая работа содержит следующие задачи и их решения:

Задача 1. Задача об оптимальном размере закупаемой партии товара относится к задачам управления запасами. В данном случае ее решение сводится к нахождению экстремума функции одной переменной.

Задача 2 Задача максимизации производственной функции (оптимизация при наличии ограничений). В экономике широкое распространение получили мультипликативные производственные функции, простейшим примером которой является производственная функция в задаче 2.

Задача 3. Задача максимизации производственной функции (для нахождения экстремума используется графический метод).

 

Задача 4. Задача о смеси (линейное программирование).

 

Задача 5. Задача производственного планирования (линейное программирование).

 

Задача 6-7. Выбор квартиры (многокритериальная оптимизация — дискретный случай).

 

Задача 8-9. Сравнение объектов по предпочтительности (многокритериальная оптимизация со сравнимыми критериями).

 

Задача 10. Аренда отеля (демонстрирует применение критериев Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа при принятии решения в условиях неопределенности).

 

Задача 11. Выбор проекта электростанции (нахождение оптимального решения по критерию Гурвица).

 

Задача 12. Доказательство следующего утверждения: если альтернатива i₁ является оптимальной по одному из критериев Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа и i₂ доминирует i₁, то альтернатива i₂ также будет оптимальной по соответствующему критерию.

 

Задача 13. Выбор варианта продаваемого товара (иллюстрирует способы принятия решений в условиях риска по паре критериев (М, а) — дискретный случай).

 

Задача 14. Выбор варианта производимого товара (нахождение  оптимального решения для задачи с помощью метода субоптимизации, метода лексикографической оптимизации).

Задача 15. Сравнение по предпочтительности лотерей (по критерию ожидаемой полезности, по обобщенному критерию).

Задача 16. Задача выбора продаваемого товара (принятие решения в условиях риска по критерию ожидаемой полезности).

Задача 17. Выбор варианта производимого товара (использовании смешанных стратегий как способ уменьшения риска).

 

Задача 18. Задача нахождения максимально допустимой стоимости  идеального эксперимента.

 

Задача 19. Бурение нефтяной скважины (сравнение альтернатив по предпочтению производится по критерию ожидаемой полезности и с помощью построения эмпирической функции полезности).

 

Задача «Как заработать миллион». Задача принятия решения в условиях риска с возможностью проведения эксперимента.

 

 

Задание 1.

 

Рассмотрите все этапы решения  задачи об оптимальном размере закупаемой партии товара (см задачу 1) при следующих  данных:

а) Q = 72т, c_о = 3 тыс р/т, c₁ = 400р, с₂ = 100р/т,

б) Q = 25т, с_о = 3 тыс р/т, c₁ = 400р, с₂ = 30р/т

Задача 1 (об оптимальном размере закупаемой партии товара). Фирма закупает некоторый товар в течение планового периода партиями одинаковой величины, при этом закупленный товар расходуется с постоянной скоростью. Как только запас товара кончается закупается следующая партия и т.д. Неизрасходованный товар фирма сдает на склад за определенную плату.

Предполагаются известными следующие данные:

Q — требуемое количество товара на плановый период;

c_о — стоимость единицы товара;

c₁ — стоимость заказа одной партии товара (считается, что стоимость заказа не зависит от величины заказываемой партии);

c₂ — стоимость хранения единицы товара в течение планового периода (считается, что стоимость хранения товара пропорциональна его количеству и времени хранения). Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии товара (т.е. такой, при котором суммарные затраты фирмы будут минимальными).

Решение.

Этап 1. Построение .математической модели ЗПР. Здесь этот этап сводится к нахождению функции суммарных затрат в зависимости от величины заказываемой партии товара. Пусть х — величина заказываемой партии товара (по смыслу должно выполняться условие 0 < х < Q, т.е. D = (0, Q]). Затраты фирмы состоят из трех частей:

   1. Затраты на покупку товара. Они равны c_oQ и не зависят от величины заказываемой партии товара.

2. Затраты на заказы в течение планового периода. Число заказов равно Q/x. Отсюда суммарная стоимость заказов в течение планового периода равна c₁Q/x.

3. Затраты на хранение товара. Стоимость подсчета затрат на хранение товара осложняется тем, что в рассматриваемом случае количество хранимого товара является не постоянным, а переменным. Пусть количество товара, хранимого в течение некоторого временного периода [а, b], задается неотрицательной функцией g(t) > 0, с — стоимость хранения единицы товара в течение всего периода времени Т = b — а. Чтобы решить задачу, какова должна быть стоимость хранения товара за период времени Т, изобразим на координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем время t, по оси ординат — количество товара и) график функции g(t) (рис. 1).

Рис.1

Разобьем, как это принято  при построении определенного интеграла, интервал [а, b] точками деления а = to < t₁ < … < t_i-1 < t_i < … < t_n = b; выберем в каждом интервале [t_i-1, t_i] точку и положим t_i = t_i — t_i-1. Считая, что за малый промежуток времени t_i количество товара меняется незначительно, можем считать, что в течение временного периода t_i количество товара остается практически неизменным и равным g ( ). Учитывая, что стоимость хранения пропорциональна количеству хранимого товара и времени хранения, получаем, что стоимость хранения товара в течение периода [t_i-1, t_i] приблизительно равна откуда общая стоимость хранения v за весь временной промежуток [а, b] определяется приблизительным равенством

Точное значение v получается при переходе к пределу при условии, что , где ; учитывая, что сумма в правой части, является интегральной суммой, при переходе к пределу получаем определенный интеграл

(1)

Итак,

Рис.2

— среднее значение функции g(t) на интервале [а, b], приходим к следующему простому правилу.

Правило. Стоимость хранения переменного количества товара в течение некоторого временного периода равна стоимости хранения среднего количества товара за этот период.

(Согласно (1) стоимость хранения получается умножением среднего количества хранимого товара на стоимость хранения единицы товара в течение всего временного периода.)

В рассматриваемом  случае переменное количество товара изображается графически в виде системы параллельных отрезков (рис. 2).

Среднее значение функции, график которой изображен на рис. 2, можно подсчитать как отношение суммарной площади построенных прямоугольных треугольников к суммарной длине их оснований; оно, очевидно, равно x/2. По правилу затраты на хранение товара в течение планового периода составляют с₂х/2, а суммарные затраты можно представить в виде следующей функции: (2)

заданной в  области D = (О, Q].

а) Подставляя данные задачи, получим функцию затрат: f(x)=216+28800/x+50x

б) f(x)=75+10000/x+15x

 

 
Рис.3

 

Этап 2. Исследование построенной функции на экстремум. Находим производную

В случае, когда  числовые значения величин Q, с_о, с₁, с₂ заданы, нахождение экстремума сводится к нахождению стационарных точек, то есть к решению уравнения f'(x) = 0, и сравнению значений функции / в стационарных точках и граничных точках интервала (см. п. 2). В рассматриваемом случае попробуем проанализировать поведение функции f(x) в зависимости от величин Q, c_о, c₁,c₂, рассматриваемых как параметры. Для этого найдем интервалы распределения знаков производной. Имеем:

 

(3) 

 

Итак, для функции f{x) имеется единственная стационарная точка х* = , причем левее точки х* функция f(x) убывает, а правее точки х* — возрастает. Возможны два случая:

В случае (а) очевидно, что х* — единственная точка глобального минимума функции f(x) на интервале (О, Q] (рис. 3, а). В случае (б) точкой глобального минимума функции f(x) на интервале(0, Q] будет точка Q (рис. 3,б). При этом случай (а) имеет место когда Q. т.е. Q > 2c₁/c₂; случай (б) имеет место, когда Q < 2с₁/с₂.

a) Подставляя данные задачи, получим оптимальную величину заказываемой партии товара х*= =24