Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

                                                  , (3.9)

       Для определения индивидуальных значения показателей динамики заполняется таблица 3.2

 

  3.2. Определение средних показателей динамики

 

  Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются средние величины.

      1. Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней. В интервальных рядах динамики средний уровень определяется как средняя арифметическая величина уровней ряда

                                                    , (3.10)

где n – количество уровней ряда динамики.

В рассматриваемом примере  средний уровень ряда динамики составляет

млн. руб.

       2. Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики и определяется как средняя арифметическая величина цепных абсолютных приростов.

                                                     , (3.11)

       В нашем случае средний абсолютный прирост ряда динамики составляет

млн. руб.

       3. Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики, определяется как средняя геометрическая величина

                                                      , (3.12)

       В нашем случае  средний темп роста составляет

.

       4. Средний темп прироста определяется на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о среднем темпе роста  для определения среднего темпа прироста используется зависимость.

                                                           , (3.13)

       В нашем случае средний темп прироста составляет

.

 

     3.3. Изучение основной тенденции развития

 

       Изменения уровней рядов динамики обусловлены влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые, как правило, неоднородны по силе, направления и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучаемые явления определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется периодически. Действие разовых (спорадических) факторов отображается случайными (кратковременными) изменениями уровней рядов динамически.

       Различные результаты  действия  постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений  во времени обуславливают необходимость изучения основных компонентов рядов динамики: тренда, периодических колебаний, случайных отклонений.

       Особенность изучения развития социально-экономических явлений  во времени предполагает то, что в одних рядах динамики основная тенденция роста проявляется при визуальном обзоре исходной информации, в других рядах динамики она непосредственно не проявляется. Основной метод выявления тренда – метод аналитического выравнивания основное содержание которого заключается в том, что основная тенденция развития рассчитывается как функция времени: .

       В современной статистике в качестве эталонного типа развития используется прямолинейная функция развития

,

где , - параметры уравнения;

- обозначение времени.

       Для вычисления параметров прямолинейной функции  (3.14) на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений

                                               (3.15)

       Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета от условного нуля. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы . Тогда параметры уравнения прямолинейной функции рассчитываются по следующим формулам:

,   (3.16-3.17)

       Рассчитаем параметры линейного уравнения тренда и для данных, приведенных в табл. 3.1. Для этого в табл. 3.3. осуществим промежуточные расчеты.

период	стоимость выполненных  работ за год, млн. руб.	Абсолютный  прирост млн. руб.		Темп роста  коэффициент		Темп прироста, коэффициент		Темп наращивания, коэффициент	Абсолютное  значение 1% прироста, млн. руб.	Пункт роста, коэффициент
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
	yi	Δyiцепн	Δyiбаз	Трiцепи	Трiбаз	Тпiцепи	Тпiбаз	Тнi	Δ(%)i	Прi
2005	35,8			1	1
2006	34,2	1,6	1,6	0,955	0,955	0,045	0,045	0,045	0,355	-0,05
2007	39,4	5,2	3,6	1,15	1,1	0,15	0,1	0,15	0,36	0,15
2008	40,7	1,3	4,9	1,03	1,14	0,03	0,14	0,04	0,36	0,04
2009	42,5	1,8	6,7	1,04	1,19	0,04	0,19	0,5	0,04	0,05
	193	9,9		1,19						0,19

 

Таблица 3.3

Матрица определения  параметров линейного уравнения  тренда

Период	Стоимость выполненных  работ, млн. руб.	порядковый  номер периода	Расчетные графы
	yi	ti	yiti	ti2	y(ti)	(yi-y(ti))2
2005
I	5,6	-19	-106,4	361	8,053	6,017209
II	9,9	-17	-168,3	289	8,219	2,825761
III	12,2	-15	-183	225	8,385	14,554225
IV	8,1	-13	-105,3	169	8,551	0,203401
2006
I	5	-11	-55	121	8,717	13,816089
II	9	-9	-81	81	8,883	0,013689
III	12	-7	-84	49	9,049	8,708401
IV	8,2	-5	-41	25	9,215	1,030225
2007
I	6,2	-3	-18,6	9	9,381	10,118761
II	10	-1	-10	1	9,547	0,205209
III	13,5	1	13,5	1	9,713	14,341369
IV	9,7	3	29,1	9	9,879	0,032041
2008
I	6,3	5	31,5	25	10,045	14,025025
II	10,5	7	73,5	49	10,211	0,083521
III	14	9	126	81	10,377	13,126129
IV	9,9	11	108,9	121	10,543	0,413449
2009
I	6,9	13	89,7	169	10,709	14,508481
II	11	15	165	225	10,875	0,015625
III	14,6	17	248,2	289	11,207	11,512449
IV	10	19	190	361	11,207	1,456849
итого	192,6	0	222,8	2660	192,6	127,00791

 

       Тогда параметры линейного уравнения тренда и примут следующие значения

 млн. руб.

.

       Прямолинейное уравнение тренда примет следующий вид

       Для проверки адекватности математической функции рассчитывается стандартизированная ошибка аппроксимации

 

                                    (3.18)

 

        В табл. 3.3 приведены необходимые расчеты для определения такой ошибки; тогда она принимает значение

 млн. руб.

       Для уточнения значимости уравнения тренда рассчитывается относительная ошибка аппроксимации

.

       В нашем случае среднее значение уровня ряда для кварталов составляет

                                               млн. руб. 
       Тогда относительная ошибка аппроксимации составит

       Таким образом, положительное значение параметра уравнения тренда свидетельствует о положительной тенденции развития, а его величина свидетельствует о том, что в среднем за квартал стоимость выполненных работ увеличивается на 8,3%. Анализ относительной ошибки аппроксимации позволяет сделать вывод, что построенная модель тренда хорошо отображает годовое изменение стоимости выполненных работ , но ее недостаточно для осуществления прогнозирования уровней ряда динамики на последующий период , т.е. уравнение основной тенденции развития нуждается в уточнение, которое осуществляется путем выявления волны сезонности.

       На рис. 3.1 столбиковой диаграммой представлены реальные уровни изучаемого явления – изменения стоимости выполненных работ во времени, линейной диаграммой представленные уровни, выровненные при помощи уравнения динамики. Изображение свидетельствует о том, что линейное уравнение динамики достаточно хорошо отображает годовые изменения.

Рис. 3.1. Динамика акционерного капитала с учетом изменения по годам.

 

       3.4. Выявление сезонных колебаний

 

       Под сезонными колебаниями понимают более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней развития социально-экономических явлений. Проявляются они с различной интенсивностью во всех сферах жизни общества: производстве, обращения и потреблении. Большое практическое занятие статистического изучения сезонных колебаний состоит в том, что полученные при анализе рядов внутригодовой динамики количественные характеристики отображают специфику развития изучаемых явлений по месяцам и кварталам годового цикла. Это необходимо для познания закономерностей развития социально-экономических явлений во внутригодовой динамике, прогнозирования и разработки оперативных решений по квалифицированному управлению их развитием во времени.

       Для анализа внутригодовой динамики социально-экономических явлений используются гармоники ряда Фурье. При аналитическом выражении изменения уровней ряда динамики используется формула

                                                                            (3.19)

где , , – параметры уравнения гармоники ряда Фурье, - порядковые номера периодов в радианном выражении.

       При решении уравнения (3.19) параметры определяются на основе положений метода наименьших квадратов. Определяя частные производственные и приравнивая их к нулю, получают систему нормальных уравнений, параметры которой вычисляются по следующим формулам:

                           ,                                (3.20-3.21)

       При анализе внутригодовой динамики по кварталам, периоды как частности окружности принимают вид, представленный в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Радианное представление  порядковых номеров кварталов

 

Периоды	0
Уровни

 

       Рассмотрим пример построения модели внутригодовой динамики по первой гармонике ряда Фурье для данных приведенных в табл. 3.1. Для определения параметров уравнения и составим табл. 3.5.

 

Таблица 3.5

Матрица определения  параметров уравнения ряда Фурье

Период	Стоимость выполненных  работ, млн. руб.	порядковый номер периода	Расчетные графы
	yi	tiсез	yicostiсез	yisintiсез	y(tiсез)	(yi-y(tiсез))2
2005
I	5,6	0	5,6	0	6	0,16
II	9,9	π/2	0	9,9	10,08	0,0324
III	12,2	π	-12,2	0	13,26	1,1236
IV	8,1	3π/2	0	-8,1	9,18	1,1664
2006
I	5	0	5	0	6	1
II	9	π/2	0	9	10,08	1,1664
III	12	π	-12	0	13,26	1,5876
IV	8,2	3π/2	0	-8,2	9,18	0,9604
2007
I	6,2	0	6,2	0	6	0,04
II	10	π/2	0	10	10,08	0,0064
III	13,5	π	-13,5	0	13,26	0,0576
IV	9,7	3π/2	0	-9,7	9,18	0,2704
2008
I	6,3	0	6,3	0	6	0,09
II	10,5	π/2	0	10,5	10,08	0,1764
III	14	π	-14	0	13,26	0,5476
IV	9,9	3π/2	0	-9,9	9,18	0,5184
2009
I	6,9	0	6,9	0	6	0,81
II	11	π/2	0	11	10,08	0,8464
III	14,6	π	-14,6	0	13,26	1,7956
IV	10	3π/2	0	-10	9,18	0,6724
Итого	192,6	0	-36,3	4,5	192,6	13,028