Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

                                                                                                           (1.7)

       Для определения средних  характеристик ряда распределения используются значения, полученные в расчетных графах табл. 1.2.

 млн. руб.

- мода (Мо) – наиболее часто встречающаяся величина в ряду распределения

 (1.8)

где    - нижняя граница модального интервала:

 - частоты соответственно модального интервала, интервала предшествующего модальному, и интервала последующего за модальным

 млн. руб.

- медиана (Ме) – величина, которая делит ряд распределения  на две равные части  

                                                                                (1.8.)

где    - нижняя граница медианного интервала;

         - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

         - собственная частота медианного интервала.

                     млн. руб.                               (1.8)

Графически мода определяется при помощи гистограммы распределения, медиана – посредством кумуляты распределения, что представлено на рис. 1.2.1.

          Рис. 1.2.1.  Графическое определение средних структурных величин:

а – определение моды, б – определение медианы 

          Показатели центра распределения позволяют охарактеризовать структуру совокупности.

           Таким образом, наибольшее количество банков (5 банков или 33,3% статистической совокупности) выполняют свою работу в среднем размере 851 млн. руб. Центральное значение признака, характеризующее акционерный капитал, составляет   841 млн. руб.

 

  1.2.2. Расчет показателей вариации

 

       Вариация признака – это его различие внутри изучаемой совокупности.

      Вариация возникает вследствие  влияния на характеристики единиц статистической совокупности различных факторов, сочетающихся по-разному в каждом отдельном случае. Выделяют абсолютные средние и относительные показатели вариации. Для расчета заполняется табл. 1.4.

                                                                                                                                   Таблица 1.4.

Расчет показателей вариации ряда распределения

Группы (варианты) банков  по величине акционерного капитала, млн. руб.	Количество банков в  группе	Расчетные графы
xi	fi	x̕i	x̕i-x	Si	|xi-x|fi	(xi-x)2 fi
501-601	1	551	-269,3	1	-269,3	72522,49
601-701	2	651	-169,3	3	-338,6	57324,98
701-801	5	751	-69,3	8	-346,5	24012,45
801-901	6	851	30,7	14	184,2	5654,94
901-1001	6	951	130,7	20	784,2	102494,9
Итого	20				1922,8	262009,8

 

       Абсолютные показатели вариации характеризуют степень колеблемости признака:

- размах вариации (R) – характеризует реальный разброс значений изучаемого признака

  (1.10.)

 млн. руб.

 - среднее линейное взвешенное отклонение срединных значений вариант от их средней арифметической взвешенной определяет обобщающую характеристику распределения отклонений

,  (1.11) 
                                                       млн. руб;

- среднее квадратическое взвешенное отклонение срединных значений вариант от их средней арифметической  взвешенной определяет меру вариации.

, (1.12)

      Относительные показатели вариации характеризуют степень рассеивания индивидуальных признаков вокруг их средней арифметической  величины и рассчитываются как отношение соответствующего абсолютного показателя вариации к средней арифметической:

- коэффициент осцилляции  отражает степень вариации крайних  значений признака относительно  средней

                                                   (1.13)

 

- относительное линейное отклонение  характеризует долю усредненного  значения абсолютных отклонений  от средней величины:

                                                                                                    (1.14) 

- коэффициент вариации характеризует  типичность средней арифметической  величины:

  (1.15) 
                                                        

      Таким образом, величина размаха вариации и коэффициент осцилляции свидетельствуют о достаточно большой разнице (60,7%) между крайними значениями акционерного капитала , т.е. большинство банков находятся в разных рыночных условиях; величины среднего и относительного линейных отклонений устанавливают незначительную колеблемость в объемах реализации финансовой деятельности (11,7%). Так как значение коэффициента вариации (13,9%) меньше 33,3%, то ряд распределения признается однородным.

 

1.2.3. Расчет показателей формы распределения

 

      Ряды распределения позволяют характеризовать и измерять степень колеблемости варьирующих признаков. Основные показатели формы распределения – асимметрия и эксцесс – характеризуют степень отклонения реального рассматриваемого ряда распределения от нормального распределения.

   Для расчета показателей  формы распределения строится табл. 1.5

                                                                                                                                       Таблица 1.5

Расчет показателей  формы ряда  распределения

Группы (варианты) банков  по величине акционерного капитала, млн. руб.	Количество банков в  группе	Расчетные графы
xi	fi	x̕i	x̕i-	(xi- )3 fi	(xi- )4fi
501-601	1	551	-269,3	-19530307	5259511556
601-701	2	651	-169,3	-9705119	1643076666
701-801	5	751	-69,3	-1664063	115319551
801-901	6	851	30,7	173606,66	5329724,4
901-1001	6	951	130,7	13396089	1750868788
Итого	20			-17329793	8774106285

 

      Асимметрия – показатель отклонения реального распределения от нормального в правую  или левую сторону.

      Симметричным считается распределение , в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра  распределения, равны между собой. Симметричные распределения характеризуются соотношением

.

       Значение показателя асимметрии может быть как положительным, так и отрицательным и характеризовать направление отклонения. Положительная величина показателя свидетельствует о правосторонней асимметрии, при этом соблюдается следующее соотношение:

.

       Левостороннюю асимметрию характеризуют отрицательное значение показателя и соотношение средних

.

   В рассматриваемом примере соблюдается соотношение левосторонней асимметрии 

821< 841< 851

      Показатель асимметрии рассчитывается тремя способами:

- исходя из соотношений  средних величин

, (1.16)

- по методу Линдберга ( показатель асимметрии Линдберга)

, (1.17)

где n – удельный вес в статистической совокупности таких банков, чьи индивидуальные признаки больше средней арифметической простой величины.

       В рассматриваемом примере

   , .

       С использованием центрального момента третьего порядка ( ):

 (1.18-1.19)

      Промежуточные расчеты для определения центрального момента третьего порядка осуществлены в табл. 1.5. Тогда

    866489,65,   

      Оценка степени  значимости показателя асимметрии осуществляется  при помощи средней квадратической ошибки, зависящей от величины статистической совокупности(n):

                                                                             (1.20-1.21)

       Если отношение (1.19) больше 3, тогда асимметрия  признается существенной; если меньше 3 – не существенной.

       При  объеме совокупности, равном пятнадцати, средняя квадратическая ошибка и отношение показателя асимметрии, рассчитанного с использованием центрального момента третьего порядка к ней, составят:

                                  

      По итогам расчета показателя асимметрии можно сделать следующие выводы. Соотношения средней арифметической и средних структурных величин, отрицательные значения показателей, рассчитанных  по методам соотношения  средних и с использованием центрального момента  третьего порядка,  свидетельствуют о левосторонней асимметрии. Показатель асимметрии Линдберга, имеющий положительное значение, в этом случае признается незначимым.  Отношение показателя асимметрии  к средней квадратической ошибке меньше 3 и характеризует ее несущественность, значит распределение можно признать нормальным.

       Эксцесс – показатель, который характеризует отклонение эмпирического распределения  от нормального вверх и вниз. Отрицательное значение  эксцесса  свидетельствует о плосковершинности и распределения  и близости распределения  и очень небольшую колеблемость  признака  в совокупности.

       Показатель эксцесса рассчитывается двумя способами:

По методу Линдберга (показатель эксцесса Линдберга)

           

где n – удельный вес количества наблюдений , находящихся в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения вправо и влево от средней арифметической простой величины: ,

      В рассматриваемом случае

,  

- с использованием  центрального момента четвертого порядка

                                 ,                                  (1.23-1.24)

       Необходимые значения рассчитаны в табл. 1.5. Тогда показатель эксцесса составит

, 

      Степень существенности показателя эксцесса оценивается посредством средней квадратической ошибки, зависящей от величины  совокупности и рассчитываемой по формуле

                                       .                         (1.25-1.26)

       Аналогично оценке существенности показателя асимметрии отношение (1.26)  больше 3 свидетельствует о существенности показателя эксцесса, меньше 3 – о его несущественности.

      В рассматриваемом примере

;     .

      Исходя из рассчитанных значений показателя эксцесса делаются выводы.        Отрицательное значение показателя эксцесса, рассчитанного по методам Линдберга и с использованием центрального момента четвертого  порядка, характеризует наблюдаемое распределение как плосковершинное. Величина отношения показателя эксцесса к его средней квадратической ошибки должна удовлетворять условию: , что свидетельствует о незначительности эксцесса и близости наблюдаемого распределения к нормальному.

 

  1.3 Определение ошибок выборки

 

      Выборочная совокупность (выборка) – часть генеральной совокупности, с достаточной степенью точности позволяющая охарактеризовать последнюю основными средними величинами и показателями вариации.                     Выборочное исследование позволяет снизить временные, материальные и трудовые затраты на получение исходного массива информации, что, в свою очередь, повышает его актуальность. Но, с другой стороны, выборка не обладает всеми свойствами генеральной совокупности, и в результате этого существенность полученных  средних и относительных характеристик снижается. Оценить их типичность и качественность позволяет ошибка выборки.