Средняя арифметическая, ее свойства

ПЛАН:

1.Способы вычисления  средних. Средняя арифметическая, ее свойства.

2. Ошибки наблюдения.

3. Задача.

4. Список литературы.

1.Способы вычисления средних.

Средняя арифметическая – самый распространенный вид  средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат отдельных работников, общее число рабочих в промышленности – это сумма их численностей на отдельных промышленных предприятиях, общий сбор урожая – сумма урожаев с каждого гектара площади и т.д.

Различные средние  выводятся из общей формулы степенной средней.(1)

                                                                                                         

Где - величины, для которых исчисляется средняя, - средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений, - частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

При k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

 В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая может быть рассчитана по формуле простой или взвешенной средней.

При исчислении средней  арифметической выполняют две операции:

• суммируют индивидуальные значения признаков;

 • полученную  сумму делят на число значений.

 Если исходные  данные не систематизированы,  то применяется формула простой  средней арифметической. (2)

                                                                                                                     

 Если исходные данные сгруппированы и представлены весами (частотами), т.е. с числом единиц, имеющих одинаковые значения признака, то среднюю арифметическую исчисляют по формуле взвешенной средней.

При расчете средней арифметической взвешенной.(3)

                                                                                                             

• необходимо умножить варианты на все ;

 • сложить  полученные произведения;

 • сложить  веса (частоты);

 • сумму произведений  вариант на веса разделить  на сумму весов.

 Обычно средняя  арифметическая исчисляется по  формуле взвешенной средней. Простую  среднюю используют только в  тех случаях, когда у каждой  варианты частота равна единице  или если частоты у всех  вариант равны друг другу.

 Принято различать  три основных приема расчета средней арифметической:

 • если статистические  данные по индивидуальным значениям  признака, полученные из наблюдения  не упорядочены, то техника  вычисления средней арифметической  сводится к суммированию варианта  и делению полученной суммы  на число вариант варьирующего признака. Используется формула средней арифметической простой. В тех случаях, когда варианта повторяется и это выражено частотами, применяют формулу средней арифметической взвешенной.

 • Если исходные  данные представлены общей суммой значений варьирующего признака и численностью единиц совокупности то общий объем признака делится на число единиц совокупности. Такого рода данные имеются в периодической статистической отчетности.

 В этом случае  необходимо проверить, соответствует ли объем признака численности единиц совокупности. Ведь объем осредняемых признаков часто являются самостоятельными категориями и показателями (например, фонд заработной платы), которые подсчитываются независимо от расчета средних величин. Поэтому прежде чем исчислить среднюю, необходимо проверить выполнение вышеуказанного требования.

 Более того  можно привести немало примеров, когда каждое отдельное значение  признака вовсе не фиксируется  по тем или иным причинам. Так,  иногда не подсчитывается урожайность  на каждом отдельном гектаре площади, занятой той или иной культурой, но средняя для всей площади урожайность является одним из важных показателей продуктивности земледелия; никогда не подсчитывается, сколько валовой продукции произвел тот или иной рабочий.

 Такие средние  по способу расчета и по  своему аналитическому значению  мало отличаются от относительных  величин интенсивности.

 По-видимому, хотя  выше говорили о том, что  между средними и относительными  величинами есть разница, но  в то же время средняя –  это отношение двух абсолютных величин, т.е. по сути относительная величина. Только средняя эта должна иметь отношение к любой единице совокупности. Относительная величина этим свойством не обладает.

 • Среднюю  арифметическую вычисляют на  основе вариационных рядов. Для расчета средней в дискретных рядах варианты (значения которых известно) нужно умножить на частоту и сумму произведений разделить на сумму частот.

  Средняя арифметическая  и ее свойства.

Теперь рассмотрим важнейшие свойства средней арифметической:

1. Произведение средней  на сумму частот всегда равно  сумме произведений вариант на  частоты.

Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен  за знак средней.

2. Если от каждой  варианты отнять (прибавить) какое-либо  произвольное число, то новая  средняя уменьшится (увеличится) на то же число.

3. Если каждую  варианту умножить (разделить) на  какое-то произвольное число,  то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз.

4. Если все частоты  (веса) разделить или умножить  на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

Дело в том, что  веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений  между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частотами  не меняет средней.

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической.

Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину.

Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета  от условного нуля.

Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам.

2.Ошибки статистического  наблюдения.

Собранные в процессе статистического наблюдения данные по отдельным единицам изучаемой  совокупности, на последующих стадиях статистического исследования, должны быть сведены (обобщены) и обработаны, чтобы получить объективный и точный ответ на все вопросы, поставленные целью исследования. Качество и правильность результатов любого статистического исследования, которые можно получить на основе обобщения, обработки и анализа статистических данных, зависят от качества и достоверности исходного материала – статистических данных.

Всякое статистическое наблюдение ставит задачу получения  таких данных, которые по возможности  более точно отображали бы действительность, состояние изучаемых единиц совокупности. Под точностью статистической информации понимается уровень (степень) соответствия зафиксированной при статистическом наблюдении величины изучаемого признака  действительному его значению.

Отклонения или  разности между зафиксированными при статистическом наблюдении величинами изучаемого признака и действительными (истинными) величинами его называют ошибками наблюдения.

Ошибки наблюдения по источникам и причинам возникновения  можно разделить на две группы:

1) ошибки регистрации; 

2) ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации  связаны с неправильным установлением  и/или отражением фактов в процессе наблюдения. При этом различают:

- случайные ошибки  регистрации, которые возникают  из-за невнимательности или усталости  регистратора или респондента;

- систематические ошибки регистрации, которые бывают:

- преднамеренные  ошибки, которые возникают из-за  нежелания респондента дать объективную  информацию;

- непреднамеренные  систематические ошибки возникают  из-за недостаточной квалификации  регистраторов.  

Ошибки репрезентативности возникают при не сплошном наблюдении из-за несоответствия составов генеральной и отобранной совокупностей, при этом выделяют:

- случайные ошибки, которые характерны для выборочного  метода и обусловлены волею  случая;

- систематические  ошибки возникают из-за неправильно  проведенного отбора.

Точность статистического  наблюдения - степень соответствия величины какого-либо показателя (значения признака), определенной путем статистического  измерения, действительной его величины.

Ошибка статистического  наблюдения - расхождение между измеренным и действительным значениями изучаемой  величины.

Виды ошибок статистического  наблюдения (по источнику происхождения):

Случайные ошибки - связаны  с невнимательностью, небрежностью регистратора, неточностью измерительных приборов (могут взаимопогаситься).

Систематические ошибки - ошибки округления возраста и сумм, забываемости "второстепенных расходов" (они однонаправленны).

Случайные ошибки репрезентативности - ошибки из-за недостаточной полноты охвата (можно рассчитать).

Систематические ошибки репрезентативности - ошибки из-за отклонения структур выборочной и генеральной  совокупностей (можно рассчитать).

Преднамеренные ошибки первого рода - из-за применения несовершенных  способов статистического наблюдения при наличии более совершенных.

Преднамеренные ошибки второго рода - из-за применения несовершенных  организационных схем проведения статистического  наблюдения (например, ошибки внутреннего  наблюдения).

Случайные ошибки поддаются  расчету с помощью специальных методов, систематические не поддаются.

Два метода проверки данных статистического наблюдения:

- счетный контроль - проверка итогов и поверочный  расчет показателей (четко устанавливается  наличие ошибки);

- логический контроль - сопоставление полученных данных с другими известными признаками, показателями.

3. Задача.

Имеется ряд распределения:

Тарифный разряд рабочих: 2   3    4    5   6

Число рабочих:                       8  16  17  12  7

Средний тарифный разряд рабочих =… ( с точностью до 0,1).

Решение:

Средний тарифный разряд рабочих равен 3,0.

4. Список литературы.

1. Боярский А.Я.  и другие. Общая теория статистики.- М.- Финансы и статистика.-1965. Елисеева  И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики.- М.- Финансы и статистика.-1998. 

2. Ефимова М.Р., Рябцев  В.М. Общая теория статистики.- М.- Финансы и статистика.-1991. 

3. Кильдишев Н.Н.  Общая теория статистики,- М,- Статистика.-1980.