Средние величины

  Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ 

  5.1. Понятие о средней  величине 

  Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины. 

  Средняя арифметическая – частное от деления суммы вариант на их число. Она бывает следующих видов: простая или взвешенная.

  Средняя арифметическая простая, рассматривается  в случае, когда известны все значения признаков х₁, х₂, ¼, х_п и рассчитывается по формуле

где n – число вариант;

х – значение признака. 

  Средняя арифметическая взвешенная, исчисляется, если известны отдельные значения признаков  и их частоты, по следующей формуле:

где х – значение признака;

f – частота, которая может быть абсолютной (в разах) и относительной (доля, удельный вес частот во всей совокупности) величиной. 

  Средняя арифметическая имеет следующие свойства:

  · произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие им частоты;

  · если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число;

  · если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

  · если все частоты одинаково увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится;

  · сумма отклонений вариант от их средней арифметической величины равна нулю. 

  Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Данный показатель применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Средняя гармоническая также может быть простой и взвешенной.

  Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле

  Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

где W = xf – вес средней гармонической. 

  Средняя квадратическая (и т. д. для любой степени) рассчитывается по следующим формулам:

  · простая:

  · взвешенная:

  Средняя геометрическая определяется по следующим формулам:

  · простая: ,

где Π  – знак перемножения.

  · взвешенная: .

  Пример 1. Имеются следующие данные о размере торговой площади магазинов, входящих в районное потребительское общество (табл. 9).

  Таблица 9

 

  Необходимо  определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Так как известна площадь каждого  магазина, то для вычисления средней  площади магазина следует применить среднюю арифметическую простую:

м².

  Средняя площадь магазина составляет 80 м². 

  Пример 2. Приведенные данные в предыдущем примере могут быть представлены в сгруппированном виде (табл. 10). 

 

  Необходимо  определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Если  известны отдельные значения признака и соответствующие ему частоты, то применяется средняя арифметическая взвешенная:

м².

  Средняя площадь магазина составляет 80 м².

  Пример 3. Имеются следующие данные о распределении магазинов по торговой площади (табл. 11).

  Таблица 11

  Следует определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Известны  отдельные значения признака и их частоты, следовательно, следует применять среднюю арифметическую взвешенную:

.

  Так как варианты представлены в виде интервального ряда распределения, то, чтобы воспользоваться указанной формулой, необходимо выразить их одним числом, т. е. следует перейти к дискретному ряду распределения (в этом случае находят середину каждого интервала).

  Для первого интервала м² и т. д. по остальным интервалам. Расчеты следует производить в табл. 12.

  Таблица 12

 

  Таким образом, м².

  Средняя площадь магазина равна 72 м².

  Пример 4. Имеются следующие данные о распределении магазинов по площади (табл. 13).

  Таблица 13

 

  Необходимо  определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Так как весами является площадь W = xf, то следует применять среднюю гармоническую взвешенную:

м².

  Таким образом, средняя площадь магазина равна 80 м². 
 

5.2. Вычисление средней  из вариационного  ряда  
«способом моментов» 

  «Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле 

,

где i – размер интервала;

m₁ – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант ; – новые упрощенные варианты; f – частота);

А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота). 

  Определим среднее значение признака «способом  моментов» на следующем примере.

  Пример 5. Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).

  Таблица 14

 

  Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов». 

  Решение

  Данные  распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м²), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле , применив «способ моментов».

  Первый  и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней  соответственно. Для определения  среднего значения в них границы  интервалов следует закрыть. Для  первой группы с размером площади до 40 м² условно считаем, что интервал также равен 20 м², затем вычитаем 20 м² из 40 м² и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).

  Расчеты следует проводить в табл. 15.

  Таблица 15