Средние величины

Автор: Пользователь скрыл имя, 18 Января 2011 в 17:59, лекция

Краткое описание

5.1. Понятие о средней величине
5.2. Вычисление средней из вариационного ряда «способом моментов»
5.3. Структурные средние

Файлы: 1 файл

Тема 5 Средние величины.doc

— 145.00 Кб (Скачать)

  Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ 

  5.1. Понятие о средней  величине 

  Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины. 

  Средняя арифметическая – частное от деления суммы вариант на их число. Она бывает следующих видов: простая или взвешенная.

  Средняя арифметическая простая, рассматривается  в случае, когда известны все значения признаков х1, х2, ¼, хп и рассчитывается по формуле

где n – число вариант;

х – значение признака. 

  Средняя арифметическая взвешенная, исчисляется, если известны отдельные значения признаков  и их частоты, по следующей формуле:

где х – значение признака;

f – частота, которая может быть абсолютной (в разах) и относительной (доля, удельный вес частот во всей совокупности) величиной. 

  Средняя арифметическая имеет следующие свойства:

  · произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие им частоты;

  · если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число;

  · если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

  · если все частоты одинаково увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится;

  · сумма отклонений вариант от их средней арифметической величины равна нулю. 

  Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Данный показатель применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Средняя гармоническая также может быть простой и взвешенной.

  Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле

  Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

где W = xf – вес средней гармонической. 

  Средняя квадратическая (и т. д. для любой степени) рассчитывается по следующим формулам:

  · простая:

  · взвешенная:

  Средняя геометрическая определяется по следующим формулам:

  · простая: ,

где Π  – знак перемножения.

  · взвешенная: .

  Пример 1. Имеются следующие данные о размере торговой площади магазинов, входящих в районное потребительское общество (табл. 9).

  Таблица 9

Магазин 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й 6-й 7-й 8-й 9-й 10-й
Площадь магазина, м2 60 100 80 60 60 80 80 80 100 100
 

  Необходимо  определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Так как известна площадь каждого  магазина, то для вычисления средней  площади магазина следует применить среднюю арифметическую простую:

м2.

  Средняя площадь магазина составляет 80 м2. 

  Пример 2. Приведенные данные в предыдущем примере могут быть представлены в сгруппированном виде (табл. 10). 

Площадь магазинов, м2 (признак – х) 60 80 100
Число магазинов (частота – f ) 3 4 3
 

  Необходимо  определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Если  известны отдельные значения признака и соответствующие ему частоты, то применяется средняя арифметическая взвешенная:

м2.

  Средняя площадь магазина составляет 80 м2.

  Пример 3. Имеются следующие данные о распределении магазинов по торговой площади (табл. 11).

  Таблица 11

Группировка магазинов по торговой площади, 
м2 (признак – х)
Удельный вес  магазинов  
в общей численности, % (частость – f )
40–60 20
60–80 50
80–100 30
Итого 100

  Следует определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Известны  отдельные значения признака и их частоты, следовательно, следует применять среднюю арифметическую взвешенную:

.

  Так как варианты представлены в виде интервального ряда распределения, то, чтобы воспользоваться указанной формулой, необходимо выразить их одним числом, т. е. следует перейти к дискретному ряду распределения (в этом случае находят середину каждого интервала).

  Для первого интервала м2 и т. д. по остальным интервалам. Расчеты следует производить в табл. 12.

  Таблица 12

Группировка магазинов  
по торговой площади, м2 (х)
Удельный вес  магазинов  
в общей численности, % ( f )
Середина 
интервала (х)
xf
40–60 20 50 1000
60–80 50 70 3500
80–100 30 90 2700
Итого 100 7200
 

  Таким образом, м2.

  Средняя площадь магазина равна 72 м2.

  Пример 4. Имеются следующие данные о распределении магазинов по площади (табл. 13).

  Таблица 13

Площадь магазинов, 
м2 (признак – х)
Общая площадь  магазинов,  
входящих в данную группу, м2 (w = xf )
60 180
80 320
100 300
Итого 800
 

  Необходимо  определить среднюю площадь магазина. 

  Решение

  Так как весами является площадь W = xf, то следует применять среднюю гармоническую взвешенную:

м2.

  Таким образом, средняя площадь магазина равна 80 м2. 
 

    5.2. Вычисление средней  из вариационного  ряда  
    «способом моментов»
     

  «Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле 

,

где i – размер интервала;

m1 – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант ; – новые упрощенные варианты; f – частота);

А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота). 

  Определим среднее значение признака «способом  моментов» на следующем примере.

  Пример 5. Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).

  Таблица 14

Группировка магазинов 
по торговой площади, м2 (х)
Удельный вес  магазинов, 
% ( f )
До 40 5
40–60 30
60–80 40
80–100 20
Свыше 100 5
Итого 100
 

  Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов». 

  Решение

  Данные  распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м2), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле , применив «способ моментов».

  Первый  и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней  соответственно. Для определения  среднего значения в них границы  интервалов следует закрыть. Для  первой группы с размером площади до 40 м2 условно считаем, что интервал также равен 20 м2, затем вычитаем 20 м2 из 40 м2 и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).

  Расчеты следует проводить в табл. 15.

  Таблица 15

Группировка мага- 
зинов по торговой 
площади, м2 (х)
Удельный вес  
магазинов, % (f)
Середина 
интервала (х)
хА
xf
20–40 5 30 –40 –2 –10
40–80 30 50 –20 –1 –30
60–80 40 70 0 0 0
80–100 20 90 20 1 20
100–120 5 110 40 2 10
Итого 100 –10

Информация о работе Средние величины