Предмет и методы статистики

Модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медианой называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности.

5.Как рассчитать моду в дискритном вариационном ряду

Расчет моды в интервальном вариационном ряду. Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу:

где xMo – минимальная граница модального интервала

iMo – величина модального интервала

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному

fMo – частота модального интервала

fMo+1 -  частота интервала, следующего за модальным

Смысл формулы заключается в том, что величину той части модального интервала, которую нужно добавить к его минимальной границе, определяют в зависимости от величины частот предшествующего и последующего интервалов.

6. Как рассчитать медиану в дискритном вариационном ряду

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот  , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

7.      Как рассчитываются моды и медианы в интервальном вариационном ряду

Расчет моды в интервальном вариационном ряду. Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу:

где xMo – минимальная граница модального интервала

iMo – величина модального интервала

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному

fMo – частота модального интервала

fMo+1 -  частота интервала, следующего за модальным

Смысл формулы заключается в том, что величину той части модального интервала, которую нужно добавить к его минимальной границе, определяют в зависимости от величины частот предшествующего и последующего интервалов.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

                     — искомая медиана

                     — нижняя граница интервала, который содержит медиану

                     — величина интервала

                     — сумма частот или число членов ряда

                     - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

                     — частота медианного инт

8.Чем различаются степенная и структурные средние величины

Средняя величина является обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.

Все виды средних делятся на:

·          степенные (аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);

·          структурные (позиционные) средние (мода и медиана) — применяются для изучения структуры рядов распределения.

9.      Внутригрупповая и вариация

Внутригрупповая вариация. Как объясняется в разделе Элементарные понятия статистики, степень различия между средними в двух группах зависит от внутригрупповой вариации (дисперсии) переменных. В зависимости от того, насколько различны эти значения для каждой группы, "грубая разность" между групповыми средними показывает более сильную или более слабую степень зависимости между независимой (группирующей) и зависимой переменными. 

10. Чем мода отличается от медианы

Медианой в статистике называется варианта, которая нахо­дится в середине ранжированного ряда. Медиана делит упорядо­ченный ряд пополам. По обе стороны от нее находится одина­ковое число единиц совокупности. Медиана обычно обознача­ется символом «Me». 

Модой в статистике называется значение признака (варианта), которое чаше всего встречается в данной совокупности. Обозначим ее символом «Мо» и определим в вариационном ряду юридически значимых показателей 

Задача 1. Выполнение норм выработки рабочих характеризуется следующими данными:

На основе этих данных исчислите обычным способом и способом моментов: а) средний процент выполнения норм выработки всеми рабочими; г) моду и медиану.

Решение:

Воспользуемся первым свой свойством арифметической взвешенной, которое позволяет исчислить среднюю по отклонению вариант от некоторой постоянной А. В качестве некоторой постоянной А принимается средняя варианта ряда с наибольшей частотой А=105.

Найдем отклонения от этой величины и получим значения новых вариант: х-А.

Воспользуемся вторым свойством арифметической взвешенной и уменьшим варианты в несколько раз. В качестве кратного числа возьмем величину интервала ряда распределения. Получим новые значения вариант:

Для получения средней арифметической взвешенной разделим алгебраическую сумму взвешенных вариант на сумму весов:

Для вычисления средней необходимо произвести корректировку результата с учетом свойств:

Для расчетов построим вспомогательную таблицу:

Теперь можно определить средние процент выполнения выработки всеми рабочими:

112%

Мода для интервального ряда определяется по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

hМо – размер модального интервала;

fМо – частота модального интервала;

fМо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным

Модальным является интервал с наибольшей частотой, то есть интервал №2.

  107

Медиана для интервального ряда находится по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

hМе – размер медианного интервала;

fМе – частота медианного интервала;

SМе-1 – частота интервала, предшествующего медианному

Медианным является интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности (т.е. ≥ 350/2=175). Медианным является интервал №3.

  111,5

Задача 2. Используя способ моментов, исчислите среднюю урожайность, моду и медиану по следующим данным:

Решение:

Среднюю урожайность находим по формуле средней арифметической взвешенной:

              31,51 ц/гаел.

              Мода есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в данной совокупности, то есть значение варианты с наибольшей частотой. Тогда мода равна М0=31 ц/га, так как наибольшее площадь имеет такую урожайность.

              Медиана есть варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Медианой будет варианта, накопленная сумма частот при которой превышает половину(100/2=50).

Тема 6 Показатели вариации

Задача 1. За смену выработка рабочими однородной продукции характеризуется таким распределением:

Исчислите дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Исчислите коэффициент асимметрии.

Решение:

              Средняя выработка:

              46,1 шт./чел.

Дисперсия

=(1/500)*((40-46,1)2*25+(42-46,1) 2*50+(45-46,1) 2*100+

+(46-46,1) 2*125+(48-46,1) 2*150+(50-46,1) 2*50)=6,39

Среднее квадратическое отклонение:

2,52

Коэффициент вариации:

ν = σ/Хср*100=2,52/46,1*100 = 5,5%

Показатель асимметрии:

=-0,75

Асимметрия левосторонняя, существенная. Распределение нельзя признать симметричным.

Задача 2 (продолжение задачи 4 по теме 5). Выполнение норм выработки рабочих характеризуется следующими данными:

На основе этих данных исчислите обычным способом и способом моментов: б) среднее квадратичное отклонение; в) коэффициент вариации; д) коэффициент асимметрии.

Решение:

По способу моментов средняя выработка составит 112%

Дисперсия

=(1/350)*((95-112)2*10+(105-112) 2*160+(115-112) 2*100+

+(125-112) 2*60+(135-112) 2*20)=92,4

Среднее квадратическое отклонение:

9,6

Коэффициент вариации:

ν = σ/Хср*100=9,6/112*100 = 8,5%

Показатель асимметрии:

= +0,52

Асимметрия правосторонняя, существенная. Распределение нельзя признать симметричным.

Задача 3 (продолжение задачи 5 по теме 5). Используя способ моментов, исчислите среднее квадратичное отклонение и коэффициент асимметрии по следующим данным:

              Решение:

Дисперсия

=(1/100)*((25-31,5)2*11+(28-31,5) 2*19+(31-31,5) 2*30+

+(34-31,5) 2*27+(37-31,5) 2*8+(40-31,5) 2*5)=14,77

Среднее квадратическое отклонение:

3,8

Коэффициент вариации:

ν = σ/Хср*100=3,8/31,5*100 = 12,1%

Показатель асимметрии:

=+0,13

Асимметрия левосторонняя, малосущественная. Распределение можно признать симметричным.

ТЕМА 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

1. Понятие о выборочном наблюдении, его преимущества перед сплошным наблюдением.

Выборочное наблюдение применяется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за большого массива данных или экономически нецелесообразно.