Общая теория статистики

Средняя хронологическая используется для определениия среднего уровня в рядах динамики.

Мода и медиана определяются структурой распределения. Медиана находится в середине ранжированного ряда и делит его пополам. Для ее определения исчисляют номер медианы : . Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

12. Основные свойства средней арифметической:

1) средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: = А при А = const;

2) алгебраическая сумма линейных отклонений индивидуальных значений признака признака от средней арифметической равна нулю:

;

3) сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное;

4) произведение средней арифметической на сумму частот всегда равно сумме произведений индивидуальных значений на частоты:

;

5) если к каждому значению признака прибавить или вычесть какое-либо произвольное число, то новая средняя увеличится или уменьшится на то же самое число:

.

13. Понятие вариации признака и ее значение

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного различия выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей.

Известно, что средняя величина характеризует основные особенности и типичные черты данной совокупности по определенным признакам. В одних случаях отдельные значения признака в совокупности незначительно отличаются от средней арифметической , в других далеко отстают от средней.

Изменение величины количественного признака от одной единицы однородной совокупности к другой принято называть вариацией или колеблемостью.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Статистические показатели, характеризующие вариацию, широко используются в практической деятельности (например, для оценки ритмичности работы предприятий).

14. Показатели вариации признака: размах колебаний, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и отноительные показатели.

Абсолютные показатели вариации:

1)                  размах колебаний (вариации) – разность между максимакльным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

;

2)                  среднее линейное отклонение: ;     

3)                  дисперсия – средняя из квадратов отклонений вариантов значений от их снредней арифметической величины:

,             ;

4)                  среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии:

, .

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонения являются велиинами именованными и имеют те же единицы измерения, что и индивидульные значения признака.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких овокупностях с различной величиной средней арифметической пользуются относительными показателями вариации, наиболее часто применяемым из котороых является коэффициент вариации:

Совокупность считается однородной, средняя надежной, а коблемость признака небольшой, если

Для изучения вариации признака необходимо исследовать количественные изменения по всей совокупности и по отдельным ее группам.

Для этого определяют следующие виды дисперсии:

1.      Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию

2.      Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, происходящее под влиянием признака положенного в основание группировки

3.      Внутригрупповая дисперсия характеризует влияние случайной вариации, т.е. влияние случайных, неучтенных в модели факторов

4.      Средняя из внутригрупповых дисперсий

Существует закон связи трех видов дисперсий, который называется правилом сложения дисперсий:

Для определения влияния признака, положенного в основание группировки, определяют эмпирическое корреляционное отношение:

Это отношение лежит в пределах от 0 до 1.

15. Анализ вариационных рядов.

Основная задача вариационных рядов – выявление закономерностей распределения данных путем исключения влияния случайных факторов, что достигается посредством построения кривых распределения.

Теоретической кривой распределения называется графическое изображение, характеризующее общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, т.е. исключая влияние случайных факторов.

Кривые распределение бывают:

1.      Одновершинные:

а) симметричные;

б) умеренно-ассиметричные;

в) крайне ассиметричные.

2. Многовершинные.

Одновершинные распределения характерны для однородных совокупностей.

              Многовершинность говорит о неоднородности данных.

              Для анализа ассиметричных распределений определяют относительный показатель ассиметрии (АS), используя центральный момент 3-го порядка (μ3)

;                    .

Если , то ассиметрия считается значительной, если - незначительной.

              Для одновершинных распределений рассчитывается показатель эксцесса, характеризующий «остроту пика распределения».

;                .

              Если , то вершина распределения заострена, если - закруглена.

16. Ряды динамики и их виды. Интервальные и моментные динамические ряды

              Ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистических показателей, представляет собой временной (динамический) ряд. Каждый временной ряд состоит из трех элементов: заголовок; моменты или периоды времени; статистических показателей, которые характеризуют изучаемый объект на определенный момент или за указанный период времени (их называют уровнями ряда).

              Выделяют следующие виды рядов: ряды динамики объемов (абсолютных величин); ряды динамики относительных величин; ряды динамики средних величин.

              Интервальными динамическими рядами называют ряды динамики, содержащие показатели за какой-либо период времени. Моментными динамическими рядами называют ряды, уровни которых характеризуют величину явления на определенную дату.

              Важнейшим требованием при построении динамических рядов является сопоставимость всех статистических данных, входящих в состав ряда.

17. Показатели динамики: абсолютный прирост, темп (коэффициент) роста, темп (коэффициент) прироста, абсолютное значение одного процента прироста

              Показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели) характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от периода к периоду, к которому относится базисный уровень, до данного (i-го) периода. Показатели динамики с переменной базой (цепные показатели) характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду (от даты к дате) в пределах изучаемого промежутка времени.

              Абсолютный прирост (скорость роста) – разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает на сколько данный уровень ряда превышать уровень, принятый за базу сравнения:

базисный - ,       ценной - .

              Коэффициент роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода:

базисный - ,       цепной - .

Если коэффициенты роста выражают в процентах, то их называют темпами роста:

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше или меньше базисного уровня

базисный - ,       цепной - .

.

              Абсолютное значение одного процента прироста – результат соотношения абсолютного прироста и темпа прироста (рассчитывается только для цепных показателей):

;       .

18. Средние показатели динамического ряда и способы их расчета

              Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от его вида.

              Для интервального ряда средний уровень за период определяется по формуле простой средней арифметической:

.

              Средний уровень моментного ряда определяется по формуле средней хронологической:

простой – если промежутки между уровнями ряда равны –

;

взвешенной – если промежутки между уровнями (ti) не равны –

.

Средний абсолютный прирост рассчитывается как средняя арифметическая из абсолютных приростов:

, или .

Средний коэффициент роста вычисляется по формуле средней геометрической из коэффициентов роста за отдельные периоды, рассчитанные цепным способом:

, или ; .

Средний темп прироста вычисляется по формуле:

.

19. Методы выявления основной тенденции развития: метод усреднения по левой и правой половине, укрупнение интервала динамического ряда, метод скользящей средней, аналитическое выравнивание ряда динамики

              Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике выравниванием временного ряда, которое позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в общем виде как функцию времени.

              Метод усреднения по левой и правой половине заключается в том, что делиться на две части для каждой из них определяется средняя арифметическая, которые откладываются на графике. Поводим через полученные точки линию тренда.

              Смысл метода укрупнения интервала динамического ряда заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Вновь образованный ряд  может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутки времени (эти величины получают путем простого суммированные уровней), либо средние величины. Отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются, более четко обнаруживается общая тенденция.

              Выявление основной тенденции может быть осуществлено и методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получается постепенным сдвижением от начального уровня ряда на один уровень. По сформированным укрупненным интервалам рассчитываются средние укрупненного интервала. Технические удобнее укрупненные интервалы составлять из нечетного числа уровней.

              При аналитическом выравнивании ряда динамики фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя. Закономерно изменяющейся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени . Для аналитического выравнивания наиболее часто используются линейная функция, парабола любого порядка, показательная функция, экспоненциальная функция, логистическая кривая.

              При выравнивании по прямой необходимо определить параметры а и b уравнения: