Индексный метод в изучении производительности труда

где – общая дисперсия.

      Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для  различных  комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

      Если  F_расч>F_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

      Если  F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

      Фрагмент  таблицы Фишера критических величин  F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже: 

 

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =88%, полученной при =118,1405, =103,95:

F_расч

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

      ВЫВОД: поскольку F_расч>F_табл, то величина коэффициента детерминации =91,8% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Производительность труда  и Объем товарооборота правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности организаций.

Задание 3

      По  результатам выполнения Задания 1 с  вероятностью 0,954 необходимо определить:

1. ошибку выборки для средней производительности труда, а также границы, в которых будет находиться средняя производительность  труда и генеральной совокупности.
2. ошибку выборки доли организаций с уровнем производительности труда 1,300 млн руб. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение  Задания 3

      Целью выполнения данного  Задания является определение для генеральной совокупности  организаций города границ, в которых будут находиться средняя величина производительности труда, и доля организаций с производительностью труда не менее 1,300 млн руб.

      1. Определение ошибки  выборки для величины  производительности  труда, а также  границ, в которых  будет находиться  средняя производительность  труда и генеральной  совокупности

     Применяя  выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

     Принято вычислять два вида ошибок выборки - среднюю и предельную .

     Для расчета средней ошибки выборки  применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

     Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле

,

где – общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

     Предельная  ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,

где     – выборочная средняя,

          – генеральная средняя.

     Предельная  ошибка выборки  кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

      Коэффициент кратности  t зависит от  значения  доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

     Наиболее  часто используемые доверительные  вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 14):

     Таблица 14

     По  условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 300 организаций. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 15:

     Таблица 15

     Рассчитаем  среднюю ошибку выборки:

     

     Рассчитаем  предельную ошибку выборки:

Определим доверительный интервал для генеральной  средней: 

 

      Вывод. На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средняя величина производительности труда находится в пределах от 1,1791 млн руб.\чел до 1,2369 млн руб.\чел.

2. Определение ошибки  выборки для доли  организаций с  производительностью  труда 1,300 млн руб   и более, а  также границ, в  которых будет  находиться генеральная  доля

     Доля  единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

,

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

     Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

,

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n– число единиц в выборочной совокупности.

     Предельная  ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:

     По  условию Задания 3 исследуемым свойством  организаций является равенство или превышение производительности труда величины 1,300 млн руб.

     Число фирм с данным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=5

     Рассчитаем  выборочную долю:

     Рассчитаем  предельную ошибку выборки для доли:

      Определим доверительный интервал генеральной  доли:   

0,038

0,296

     или     

3,8%

29,6%    

    Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций города доля организаций с производительностью труда 1,300 млн руб и более будет находиться в пределах от 3,8% до 29,6%.

    Задание 4

       Имеются следующие данные по трем организациям за два периода: