Анализ динамики социально-экономических явлений и процессов

 

 

12. Выявление наличия тренда в рассматриваемых рядах (проверка гипотезы о разности средних у первой и второй половины ряда)

      Для  выявления наличия тренда в  динамическом ряду основной тенденции  (тренда) рекомендуется использовать  метод средних. Он основан на  проверке гипотезы о статистической  значимости отличия от нуля  разности средних для первой и второй половины.

1) Разбиваем ряд на 2 половины.

1 кв.2005	174	1кв.2008	225
2 кв.2005	168,2	2кв.2008	221,3
3 кв.2005	166,6	3кв.2008	218,1
4кв.2005	170	4кв2008	219
1кв.2006	178,3	1кв.2009	226,5
2кв. 2006	180,7	2кв.2009	215,9
3кв.2006	178,1	3кв.2009	218,4
4кв.2006	174,1	4кв.2009	218,7
1кв. 2007	205	1кв.2010	230
2кв2007	208,2	2кв.2010	232,8
3кв.2007	203,5	3кв.2010	235,2
4кв.2007	197,5	4кв.2010	258

 

2) Рассчитываем для каждой группы среднюю величину:

yср.1  = (174 + 168,2 + 166,6 + 170 + 178,3 + 180,7 + 178,1 + 174,1 +205+

+ 208,2 + 203,5 +197,5)/12 = 2204,2/12 = 183,7

yср.2 =(225 + 221,3 + 218,1 + 219 + 226,5 + 215,9 + 218,4 + 218,7 + 230 +

+ 232,8 + 235,2 + 258)/12 = 2718,9/12 = 226,6

3)На основе расчетов можно выдвинуть гипотезу о различии средних. Проверка гипотезы осуществляется на основе t-критерия Стьюдента, который рассчитывается по формуле:

t = (y1ср.-y2ср.)/( σ*((1/n1+1/n2))^1/2 )

σ = ( ( (n1-1)* σ1²+(n2-1)* σ2² ) / n1+n2-2 ) ^1/2, где

y1ср – среднее значение для ряда первой половины;

y2ср – среднее значение для ряда второй половины;

σ1² и σ2² - дисперсии уровней ряда для 1 и 2 половины;

n1 и n2 – число уровней ряда в 1 и 2 половине соответственно.

4) Рассчитаем дисперсию:

σ1 = 217,7 (рассчитали с помощью Excell и функции «ДИСПР»)

σ2 = 126,2

n1 = 12, n2=12 соответственно

σ1² = 47393,3

σ2² = 15926,4

5) Рассчитаем среднее  квадратическое отклонение:

σ =( ( (12-1)*47393,3+(12-1)*15926,4 )/12+12-2 )^1/2 = ((521326,3+175190,4)/22)^1/2 = 177,9

tкритерий = (183,7-226,6)/(177,9*(1/12+1/12)^1/2) = -42,9/(177,9*0,4) =

= -42,9/71,16 = -0,6

tтабличное= 2,9 (с помощью функции «СТЬЮДРАСПОБР»)

Сравнив табличное и  расчётное –t – табличное значение больше, чем t – расчётное по модулю. Отсюда 2,9>-0,6, гипотеза о наличии тренда на 10% уровне значимости отклоняется. Подбором мы установили, что гипотеза о наличии тренда не может быть принята на любом уровне значимости. (Т.к. на 99% уровне tтабличное=1,8).

Проверим гипотезу о разности средних у первой половины ряда:

Xi – середина интервала;

Xср. = 203,935 (считали в пункте 1.3).

Таблица 25

Сер.интер.	(Xi-Xср.)	(Xi-Xср.)²
-	-	-
171,1	-32,8	1078,1
167,4	-36,5	1334,8
168,3	-35,6	1269,9
174,2	-29,8	887,1
179,5	-24,4	597,1
179,4	-24,5	602,0
176,1	-27,8	774,8
189,6	-14,4	206,9
206,6	2,7	7,1
205,9	1,9	3,7
200,5	-3,4	11,8

 

Проверим гипотезу о разности средних у второй половины ряда:

Таблица 26

Сер.интер.	(Xi-Xср.)	(Xi-Xср.)²
211,3	7,3	53,5
223,2	19,2	369,2
219,7	15,8	248,5
218,6	14,6	213,6
222,8	18,8	354,0
221,2	17,3	298,1
217,2	13,2	174,6
218,6	14,6	213,6
224,4	20,4	416,8
231,4	27,5	754,3
234,0	30,1	903,9
246,6	42,7	1820,3

Рассчитанное значение t меньше табличного (2,9>-0,6 ),значит можно сделать вывод об отсутствии тренда.

 

 

 

 

 

 

 

13. Аналитическое выравнивание (построение тренда), прогноз при помощи тренда на 3 периода вперед

       Под аналитическим выравниванием понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели.

ŷ = a0 + a1t

Таблица 27

t	t²	y*t
-12	144	-2088
-11	121	-1850,2
-10	100	-1666
-9	81	-1530
-8	64	-1426,4
-7	49	-1264,9
-6	36	-1068,6
-5	25	-870,5
-4	16	-820
-3	9	-624,6
-2	4	-407
-1	1	-197,5
1	1	225
2	4	442,6
3	9	654,3
4	16	876
5	25	1132,5
6	36	1295,4
7	49	1528,8
8	64	1749,6
9	81	2070
10	100	2328
11	121	2587,2
12	144	3096
∑t=0	∑t²=1300	∑yt=4171,7

 

1) Найдём коэффициент уравнения при  помощи метода наименьших квадратов

A0*n + a1* ∑t = ∑y,

A0*∑t = a1*∑t² = ∑yt

2) Сложим и найдём сумму всех значений выручки:

∑y = 174 + 168,2 + 166,6 + 170 + 178,3 + 180,7 + 178,1 + 174,1 +205+ 208,2 +

+ 203,5 +197,5 + 225 + 221,3 + 218,1 + 219 + 226,5 + 215,9 + 218,4  +218,7 + +230 + 232,8 + 235,2 + 258 = 4923,1

3) Выразим a0:

a0 = ∑y/n

Выразим a1:

a1 = ∑yt/∑t²

Найдём эти значения:

a0 = 4923,1 /24 = 205,13

a1 = 4171,7 /1300 = 3,21

4) Отсюда составляем уравнение тренда:

ŷ = 205,13 + 3,21t

5) Подставим t в уравнение:

ŷI05 = 205,13 + 3,21*(-12) = 205,13 – 38,52 = 166,61 (на I квартал 2005 года)

ŷII05 = 205,13 + 3,21*(-11) = 169,82

ŷIII05 = 205,13 + 3,21*(-10) = 173,03

ŷIV05 = 205,13 + 3,21*(-9) = 176,24

ŷI06 = 205,13 + 3,21*(-8) = 179,45

ŷII06 = 205,13 + 3,21*(-7) = 182,66

ŷIII06 = 205,13 + 3,21*(-6) = 185,87

ŷIV06 = 205,13 + 3,21*(-5) = 189,08

ŷI07 = 205,13 + 3,21*(-4) = 192,29

ŷII07 = 205,13 + 3,21*(-3) = 195,5

ŷIII07 = 205,13 + 3,21*(-2) = 198,71

ŷIV07 = 205,13 + 3,21*(-1) = 201,92

ŷI08 = 205,13 + 3,21*1 = 208,34

ŷII08 = 205,13 + 3,21*2 = 211,55

ŷIII08 = 205,13 + 3,21*3 = 214,76

ŷIV08 = 205,13 + 3,21*4 = 217,97

ŷI09 = 205,13 + 3,21*5 = 221,18

ŷII09 = 205,13 + 3,21*6 = 224,39

ŷIII09 = 205,13 + 3,21*7 = 227,6

ŷIV09 = 205,13 + 3,21*8 = 230,81

ŷI10 = 205,13 + 3,21*9 = 234,02

ŷII10 = 205,13 + 3,21*10 = 237,23

ŷIII10 = 205,13 + 3,21*11 = 240,44

ŷIV10 = 205,13 + 3,21*12 = 243,65

6) Составим прогноз  на 3 квартала вперёд:

ŷt =  205,13 + 3,21*13 = 205,13 + 41,73 = 246,86 (прогноз на I квартал 2011)

ŷt =  205,13 + 3,21* 14 = 205,13 +44,94 = 250,07 (прогноз на II квартал 2011)

ŷt =   205,13 + 3,21*15 = 205,13 +48,15 = 253,28 (прогноз на III квартал 2011)

Вывод: На I квартал 2011 года по прогнозным данным квартальная вырчука будет составлять 246,86 млн. руб., на II квартал - 250,07 млн.руб. и на III квартал 2011 года - 253,28 млн.руб. Из этих данных видно, что тренд имеет тенденцию к возрастанию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

Вывод: Тенденция идёт к возрастанию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Анализ колеблемости динамического ряда, расчет индексов сезонности (если возможно)

     Колебаниями уровней динамических рядов называют их отклонения от тренда, выражающего тенденцию изменения уровней. Колебания – процесс, протекающий во времени.

В анализе колеблемости выделяют:

1) установление самого  факта колебаний в динамическом  ряду и периода колебаний;

2) учёт колебаний при  моделировании ряда и прогнозировании.

     Если тренда нет или он незначителен, то для каждого месяца (квартала) индекс рассчитывается по формуле:

где -- уровень показателя за месяц (квартал) t; 
 
       -- общий уровень показателя.

Таким образом, средняя выручка:

в I квартале на 0,65% больше, чем средний объем чистой прибыли за весь рассматриваемый период;

во II квартале меньше на -0,30% , чем средний объем чистой прибыли за весь рассматриваемый период;

в III квартале меньше на -0,88%, чем средний объем чистой прибыли за весь рассматриваемый период;

в IV квартале больше на 0,53%%, чем средний объем чистой прибыли за весь рассматриваемый период.

 

 

 

 

Таблица 28

квартал	2005	2006	2007	2008	2009	2010
I	174	178,3	205	225	226,5	230
II	168,2	180,7	208,2	221,3	215,9	232,8
III	166,6	178,1	203,5	218,1	218,4	235,2
IV	170	174,1	197,5	219	218,7	258
	169,7	177,8	203,55	220,85	219,88	239

 

206,47	100,65%	0,65%
204,52	99,70%	-0,30%
203,32	99,12%	-0,88%
206,22	100,53%	0,53%
205,13