Особенности изучения геометрического материала в 1-6 классах

►►    ПРИМЕРЫ

1) Корабль Бармалея  разбился о скалы. На берег  волной выбросило разные предметы (рис. 52): шляпу, доску от корабля,  туфлю, разбойника, монету.

 

Рис.52

 

 

 

 

 В приведенном  примере ответ — желтая. Это  задание предназначено для развития  первого уровня пространственного мышления.

Образ является личностным образованием, его нельзя «пересадить» в голову ребенка, но можно организовать условия для создания образов, адекватных изучаемому объекту. Методические рекомендации создания образов восприятия (первичных образов) на основе практической деятельности описаны в начале этой лекции.

Переход на уровень  представлений (вторичных образов) целесообразно осуществлять через  использование «воздушных моделей» объемных фигур.

Общий процесс  создания представлений о геометрических объектах может быть представлен следующей схемой.

СХЕМА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ПРЕДПОНЯТИЙ)

О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОБЪЕКТЕ

1. Выявление и актуализация субъектного опыта ребенка, связанного с изучаемым геометрическим объектом.
2. Мотивация его изучения.
3. Формирование единичных пространственных образов в практической деятельности на конкретных моделях или с привлечением знакомых учащимся образов (входящих в их субъектный опыт), адекватных понятию соответствующего геометрического объекта.
4. Формирование обобщенных пространственных образов геометрических объектов при нахождении моделей изучаемых геометрических объектов на основе их восприятия; создания «воздушной модели» многогранника; образов памяти.

Выбор учеником собственной оптимальной модели, адекватной понятию соответствующего геометрического объекта.

5. Первичное уточнение объема понятия соответствующего геометрического объекта при выполнении заданий, включающих рассмотрение «неожидаемых» или непривычных ситуаций.
6. Проверка сформированности представлений о геометрическом объекте.
7. Выделение учащимися свойств, существенных для понятия изучаемого геометрического объекта, на основе сформированных у них представлений.
8. Установление связи между геометрическими объектами и его частными случаями с использованием кругов Эйлера.

Конечно, при  изучении конкретного геометрического  объекта некоторые шаги предложенной схемы могут быть объединены, растянуты во времени, т. е. осуществляться на по следующих уроках при вторичном закреплении.

Например, кратко можно описать, как сформировать представления о «призме» в б классе на основе этой схемы [9]. Целостный подход к процессу обучения предполагает введение 
обобщенного образа призмы, который позволит рассмотрев как можно больше частных случаев призм. '

1. Хотя слово  «призма», скорее всего, учащимся 5—6 классов не знакомо, с объектами, имеющими такую форму, они постоянно встречаются (колонны, коробки, здания, культовые сооружения (без купольной части), футляры, распорку для елки и т. д.). Поэтому можно, предъявляя соответствующие модели и рисунки предметов, имеющих форму призм,¹ предложить учащимся увидеть их общие свойства, попытаться вылепить свой предмет такой же формы и придумать общий способ или требования к созданию таких предметов.

2. Поставленная задача носит проблемный характер и направлена на то, чтобы показать учащимся недостаток знаний, а значит, необходимость изучения такой распространенной 
формы предметов. Предметы такой формы встречаются повсюду: от известного деревянного бруса (прямоугольного параллелепипеда) до «почти круглого» бревна, имеющего много 
боковых плоских поверхностей.

3. В строительстве используют не только брус (модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием). Бревно может быть стесано только с двух боковых сторон, — 
тогда это двускатный брус (учащимся предъявляется рисунок). Можно обтесывать бревна с трех, четырех, пяти сторон и т. д. Возьмем достаточно длинное бревно, сделаем срезы режущей «плоскостью» с трех боковых сторон — получим трехгранную заготовку (рис. 54, а), затем пятигранную, сделав 
пять боковых срезов бревна.

 

 

 

 

 

Аналогично  могут быть сделаны б-, 7-, ..., n -гранные заготовки. При этом всегда должно выполняться следующее условие: боковая поверхность заготовки должна состоять только 
из плоских поверхностей (боковые срезы) —граней заготовки, линии их пересечения —боковые ребра n -гранной заготовки должны быть параллельны друг другу. Во время беседы учитель демонстрирует соответствующие заготовки или изготовляет их по ходу объяснения   перед   классом.   Обязательно среди демонстрационных моделей должна появиться сначала заготовка, а из нее призма, основание которой — невыпуклый многоугольник.

 

 

 

 

 

 

 Итак, имеются  различные заготовки, но все  достаточно длинные для выполнения  следующего шага.  Сделаем два параллельных руг другу разреза заготовки режущими «плоскостями» так, чтобы они пересекли все боковые ребра заготовки (рис. 54, б). Мы получили «отеленное тело» (рис. 55), что в переводе на греческий означает «призма». Так в геометрии называют многогранник, модель которого мы поручили. Далее на основе практических заданий    Рис. 55 рассматривается   вопрос   о   зависимости   вида призмы (наклонная или прямая) от взаимного положения ре-кущей плоскости и бокового ребра заготовки. Вводится многоугольник как сечение заготовки плоской поверхностью и рассматривается вопрос о названии призмы в зависимости от вида этого многоугольника. Такой подход позволяет рассмотреть сразу все виды призм и многоугольников, включая невыпуклые, выделить существенные признаки призм на уровне образов, предупредить распространенную ошибку. Так, учащиеся часто связывают вид призм (прямая или наклонная) с взаимным положением секущей плоскости и боковой грани призмы, а не ребра.

4. Учащимся предлагается  найти модели призм в классе и создать «воздушную модель» многогранника.

Учащиеся должны на открытке с калькой (чтобы не портить открытку) обвести модели призм и поставить на каждой номер. На листке выписать номера моделей и название соответствующей призмы. Аналогичное задание предлагается с рисунками предметов, имеющих форму призм и не призм, среди них — изображения кабины игрушечной машинки, деревянной хлебницы (модели призм) и т. д.

Далее учащимся предлагаются задания на уровне представлений.

►►   ПРИМЕРЫ

1. Где встречаются модели призм на улице, дома?
2. Какие из перечисленных предметов (незаточенные граненые карандаши, восьмигранные колонны, пианино, не имеющее кривых поверхностей, линейка) имеют форму призм?

Полезно предложить учащимся выполнить следующее задание на уровне представлений, т.е. мысленно.

►►    ПРИМЕР

Представьте прямую призму, в основании которой треугольник  с равными сторонами, а боковые грани — не квадраты. Положите ее мысленно одной из боковых граней на горизонтальную поверхность. Мысленно сделайте разрез ее плоскостью, проходящей (содержащей) через бок вое ребро призмы и пересекающей противоположную ребру грань средней линии. Поверните одну из частей вокруг ребра, через которое прошла режущая плоскость так, чтобы боковые грани, содержащие э ребро, полностью совместились. Совместите полученные части мысленно так, чтобы две боковые грани призмы полностью совпали (для учащихся с высоким уровнем развития ПМ или на более поздних этапах из чтения). Нарисуйте вид слева полученной фигуры.

5. Учащимся предлагается лабораторная работа по группам, в которой описывается путешествие Незнайки по город Призмаграду (все сооружения в нем имеют форму призм) В город попали чужеземцы и портят призмы. Незнайка" лучший специалист по призмам обещает выявить «испорченные призмы». Учащиеся, разбившись на группы, должны проверить, справился ли с работой Незнайка.

Для   выполнения   лабораторной   учащимся   необходим  пластилин, доска, на которой они  будут работать, лист бумаги. На нем  бригадир группы записывает имена членов групп и номера заданий (сооружений). Напротив каждого номер ученики, после того как вылепят сооружение с этим номером, должны ответить, призма или не призма описывается в задании. Если призма, то указать какая (прямая, наклонная), если нет, то записать, что не призма.

►►    ПРИМЕР

Сооружение  № 1. Поверхность его фундамента была параллельна поверхности воды, а крыша расположена наклонно к поверхности пруда. Обе поверхности — и крыши, и фундамента — имели форму четырехугольников. Четырехугольную форму имели и боковые стенки, две из которых были параллельны друг другу.

Сооружение  № 2. Пол и потолок в форме пятиугольников расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Форма потолка повторяет форму пола.

Сооружение  № 3. «Какая мощная призма!— замер Незнайка в восхищении. — Четырехугольников, правда, маловато, зато из одной вершины сразу четыре ребра выходя?! >

Сооружение  №4. По дороге Незнайка попал в цирк. В его холле он обнаружил стеклянный зверинец, показавшийся ему загадочным: пол и потолок в нем имели форму прямоугольников, две боковые стенки — равные шестиугольники, а другие боковые стенки были составлены из четырехугольников, не являющихся прямоугольниками...

Каждая группа защищает свой ответ с демонстрацией  моделей, и с учащимися выясняется, каких свойств недостает каждому сооружению, чтобы быть определенно призмой. (Сооружения 1, 2, 4 могут быть призмами, прямыми и наклонными, кроме № 4 (наклонная), а сооружение 3 призмой не является.

6. На основе  этой работы учащимся предлагается  выписать свойства, которыми должна обладать объемная фигура, чтобы быть призмой.

Процесс формирования пространственных представлений желательно выстраивать от топологических пространственных представлений к проективным пространственным представлениям и от них к метрическим пространственным представлениям (рассмотрены подробнее в лекции о специфике восприятия геометрического материала).

Последовательность  знакомства с фигурами желательно организовать от объемной фигуры к плоской двумерной, от нее к одномерной, от последней к точке. Наиболее адекватными моделями объемных фигур (требуют меньшей степени абстрагирования) являются реальные предметы, а моделями плоских двумерных — плоские поверхности предметов. Последние нельзя взять в руки, по ним можно только провести рукой. Далее, по мере развития у учащихся умения абстрагировать выбор геометрической фигуры, моделью которой является предмет, будет определяться контекстом ситуации; свойствами этого предмета, которые важны в рассматриваемой ситуации, являются существенными свойствами геометрической фигуры.

Плоские фигуры могут быть введены как элементы объемных фигур: грани, ребра, вершины. Так, например, прямоугольник появляется в процессе изучения прямоугольного параллелепипеда (бруса) как его грань, отрезок как ребро, с которым дети знакомятся, рассматривая пересечение граней параллелепипеда. Это, с одной стороны, не противоречит пониманию этих фигур в математике, а с другой — соответствует естественному процессу формирования плоскостных представлений как производных от объемных (согласно психологическим исследованиям), позволяет создать наглядные и понятные ребенку образы.

Отношения между  фигурами желательно рассматривать  сразу в пространстве, а не на плоскости, так как, с одной стороны, это более естественный процесс для учащихся, с другой — создает условия для мотивации необходимости определенных существенных свойств понятий. Так, в действующих учебниках по геометрии как одно из существенных свойств параллельных прямых рассматривается принадлежность одной плоскости. Но в пределах плоскости невозможно показать необходимость этого свойства для параллельных прямых.

Знакомство  с измерениями должно начинаться с непосредственных мануальных измерений пядями, локтями и т. п., а также шагами и организовываться согласно рекомендациям, изложенным в § 22.1 данной лекции.

В 1—6 классах геометрические объекты  часто вводятся через описания, а не определения, так как работа ведется с их образами (не понятиями). Задача обучения геометрии в этом возрасте — выйти на уровень предпонятий как этапа, предшествующего и готовящего понятия. Ученик на уровне предпонятия может установить зависимости (в том числе отношение подчиненности) между множествами геометрических фигур (частичная систематизация). А также оперировать образами геометрических фигур при решении задач на основе сформированных динамичных представлений об этих фигурах, их существенных свойствах, знаний объемов некоторых понятий геометрических фигур. В предпонятий выделены существенные свойства соответствующего понятия. Классификация на уровне обобщенных представлений не является за- ] конченной. Это может выражаться в ограниченности объемов  < классов, в несогласованности кванторов (любой, все, каждый, некоторые и их отрицаний), в неумении выделить набор необходимых и достаточных свойств понятия, на основе которого конструируется определение, удовлетворяющее всем требованиям, предъявляемым к определениям в логике.

Цель  описания — создать у ребенка  образ, наиболее адекватный понятию геометрического объекта. Описание конструируется не обязательно через ближайший род, а видовые отличия могут включать избыточный набор свойств. Ученик на этом уровне еще не умеет проследить многоуровневую цепочку включенных и включаемых в понятие множеств (верхние и нижние уровни — более общие и менее общие понятия). Конечно, для отдельных геометрических объектов их описания могут совпадать с определениями соответствующих понятий. Описанный выше разрыв между предпонятиями и понятиями связан в большей степени с вербально-логической неподготовленностью учащихся. Поэтому переход к понятиям должен включать знакомство учащихся с элементами логики как составляющими логической культуры.

Задачи, решаемые на образном уровне, особенно в отсутствие наглядной основы, принципиально отличаются от логических задач. Эти различия обнаруживаются даже на сенсорной* уровне (как говорят решающие, «работают» разные области мозга). Целесообразно предложить учащимся после задачи, решаемой на уровне представлений и требующей активизации образных компонентов мышления, решить логическую задачу типа следующей.