Особенности изучения геометрического материала в 1-6 классах

На рис. 48 изображена часть плана Санкт-Петербурга. Представь, но ты находишься на углу Невского проспекта  и Думской улицы. Далее ты идешь  по Невскому проспекту до первой улицы, перпендикулярной ему, поворачиваешь на эту улицу и продолжаешь свой путь. Проходишь до второй улицы, перпендикулярной Садовой, которая ведет к одной из знаменитых достопримечательностей города. Назови ее. Покажи на плане возможный маршрут. Возможен ли другой маршрут? Если да, то опиши его.

Рассматривая  эту ситуацию, учащиеся должны увидеть  два маршрута, удовлетворяющих описанию условия задачи (что требует восприятия образа всей части плана). У них  есть возможность назвать не одну достопримечательность, расположенную в конечной точке маршрута, найти другие маршруты и попытаться описать их.

 

Выделяя  модели  геометрических  объектов,   школьники  учатся абстрагироваться от всех свойств, кроме пространственных. В этом им может помочь рассмотрение сказочных ситуаций.

►►   ПРИМЕР

Попала  Прямая в волшебный лес на границе  страны Геометрии. Слышит шорох. Видит существо чудное. Маленькое, словно половинка шара всюду короткие отрезки торчат, носика не видно, и будто треугольник в отрезки спрятались. Какого лесного зверя увидела Прямая? Попробуй представить другого зверя, которого она могла встретить. Опиши в портрет, увиденный Прямой (с геометрической точки зрения) своему товарищу.

Можно  предложить  учащимся  сконструировать  задачу написать сочинение на основе применения геометрически знаний на практике и целостного охвата явления.

Например, учащимся после изучения отношений перпендикулярности и параллельности предлагается составить  марш рут из какого-либо пункта, используя  эти отношения. Причем, следует избегать при их описании случаев пересекающихся  прямых линий и плоских поверхностей (здесь учащиеся используют и канатные дороги, и передвижения по эскалатору и улицы, которые не имеют общих перекрестков). Требованием задачи является определение конечной точки маршрута К заданию может прилагаться рисунок или фрагмент карт (схемы).

Обратимся теперь к рассмотрению третьей цели. Значимость ее достижения определяется и тем, что  осознание и произвольность, согласно Выготскому, являются основными новообразованиями возраста 7—12 лет.

В обучении геометрическому  материалу может помочь реализация направления развития рефлексивных способностей. Здесь можно выделить три основных момента.

Во-первых, осознание  ребенком отличия того, что он видит, от того, что представляет. Можно предложить учащимся рассмотреть следующую проблемную ситуацию. После корректировки представлений учащихся о параллелепипеде учитель показывает предмет, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с отрезанным «уголком» при одной из его вершин. Но показывает его так, что отрезанная часть не видна ученикам, и задает вопрос о том, что они видят. Следует ответ: «Параллелепипед». Тогда учитель просит их закрыть глаза и затем снова показывает параллелепипед, но так, что отрезанную часть одна колонка детей, открыв глаза, уже может заметить. Он просит поднять руки тех, кто видит параллелепипед. Одна колонка учащихся не поднимает рук. «Как же так, — : интересуется учитель, — вы видите один предмет, а воспринимаете его по-разному?» В результате рассмотрения этой ситуации учитель подводит учащихся к выводу об отличии того, что видим, от того, что представляем. Этот вывод объясняет учащимся, почему необходимо, прежде чем делать вывод об объекте, рассмотреть его со всех сторон; почему необходимо и; можно шире охватить ситуацию задачи. Эта способность — основа осознания проективных пространственных представлений  учащихся. Развитие ее позволяет перейти к организации :  деятельности  в следующем направлении.

Во-вторых, осознание  ребенком зависимости восприятия объекта  от позиции наблюдения. После рассмотрения описанной выше ситуации учащиеся без труда справятся с заданием нарисовать параллелепипед так,  как они его могут видеть с разных сторон. Как показывает практика, дети рисуют до  20 различных картинок, причем большинство учащихся стремятся изобразить параллелепипед как трехмерный объект.

Задания на определение  положения параллелепипеда с  цветными гранями, при котором видна  одна грань заданного цвета или две грани разного цвета, одинакового цвета, способствуют ; пониманию зависимости восприятия объекта от позиции наблюдения. В качестве вывода учащимся можно предложить ответ на вопрос: «Почему билеты в театр стоят по-разному?»

В-третьих, осознание того, что предлагаемые в качестве ; примеров предметы, их взаимное расположение для демонстрации каких-либо геометрических объектов есть материальные одели этих геометрических объектов. Сходство геометрических объектов и моделей-предметов относительно и определятся контекстом ситуации, в которой они рассматриваются.

Реализация  четвертой цели требует учета  основных кадете образных компонентов мышления (многозначности, субъективности, динамичности, образ требует целостного охвата ситуации), а также отличия концептуального, в частности, геометрического пространства, рассматриваемого в школе, от окружающего ребенка пространства.

Поэтому учебный  материал в основном должен содержать (дачи, имеющие не один способ решения  и не один ответ быть многозначным).

►►    ПРИМЕР

На рис. 49 вы видите изображение, фигуры, составленной из одинаковых кубиков (объем каждого 4 см³). Найдите объем двух прямоугольных параллелепипедов.

В задаче параллелепипеды  полностью не видны, поэтому вариантов  может бы два: либо два параллелепипеда  составлены из 15 кубиков, и тогда  их объем 60 см³ либо — из 18 (за головой собаки еще ряда  кубиков), и тогда их объем 72 см³.

Одни и те же объекты должны описываться и  изображаться с разных позиций наблюдателя и в разных контекстах. Такие задачи должны предваряться аналогичными задачами с реальными предметами.

При формировании представлений о новом объекте необходимо учитывать опыт ребенка (субъективность образа).

Рис. 49

 

Как показали исследования Ю. В. Сенько и В. Э. Тамарина, учащиеся даже при изучении систематического курса геометрии, нацеленного на использование дедуктивных обоснований, постоянно опираются на свой опыт. При доказательстве каких-либо фактов в 26% случаев ученики используют ссылки на очевидность, в 31% — привлекают житейские знания и только в 17% — дают формальное объяснение. И картина мира, как отмечает И. С. Якиманская [10], дается ученику в значимых для него образах, а не в понятиях.

Образы входят в субъектный опыт ребенка. В школу  ребенок приходит с определенным опытом познания пространства, и, изучая понятия, он опирается на сформированные у него представления (житейские понятия). Учителя в случае затруднения обращаются к личностному опыту ребенка и, используя в качестве примера конфеты, деньги, заменяют объекты задач. Значимость субъектного опыта ребенка в процессе познания требует не эпизодического «воспоминания» о нем, а постоянного внимания.

Для работы с  субъектным опытом необходимо его выявить. Направления этой деятельности зависят от соответствия (несоответствия) житейского понятия или представления 
ученика, входящего в его субъектный опыт, изучаемому геометрическому. Выявление субъектного опыта в процессе обучения геометрии начальной школы может быть организовано 
преимущественно через: 

• раскрытие  самими учащимися значения термина  того понятия (как они его понимают), которое предстоит изучать на уроке;

• выполнение опережающих  диагностических заданий в контрольных  работах.

Например, приступая  к рассмотрению формы объектов, учитель  просит учащихся объяснить, как они  понимают слово форма». Учащиеся могут  предложить рассмотреть в качестве ответа «форму» одежды, «форму» записи, «форму» поведения, «форму» предмета как его контур, границу и т. д. Именно в последнем значении договаривается учитель с детьми понимать изучаемый термин на уроке. Такая работа позволяет, с одной стороны, расширить запас представлений, связанных с этим термином, а с другой — говорить на «одном» языке , учителю и учащимся.

Основная задача учителя — помочь ученику научиться  связывать изучаемое понятие  с образом или образами, входящими в его субъектный опыт, а в случае их отсутствия организовать условия для их создания, т. е. научиться подбирать собственную основную модель понятия.

При введении понятия  желательно познакомить учащихся с  наиболее широкой его трактовкой (целостный подход) и организовать изучение на основе перехода от рассмотрения перцептивного пространства, реальных ситуаций и моделей геометрических объектов к работе в геометрическом пространстве, решению задач, условия которых описывают геометрические объекты.

Например, при  ответе на вопрос: «Как расположены относительно друг друга две вертикальные прямые?», учащиеся, да и учителя, отвечают, что параллельны или совпадают, хотя в качестве демонстрационной модели вертикальной прямой им предлагали рассмотреть отвес. Но напоминание о форме Земли и силе земного тяготения подводило опрошенных к выводу о том, что вертикальные прямые линии направлены к центру Земли и непараллельны. Именно так они рассматриваются в естествознании. Отвечающие имеют разные представления об одном и том же понятии, так как в школе на уроках математики изучают одну из реализаций евклидовой геометрии,  которая возникла как описание ограниченного,  непосредственно воспринимаемого человеком окружающего пространства, и современные знания о реальном пространстве тогда не были известны, а также потому, что в результате традиционного обучения ребенок имеет отдельные разрозненные, несвязанные сведения по различным школьным предметам (приоритет аналитической направленности обучения в школе). Конечно, вертикальность не имеет отношения к терминологии науки математики. Но в математике как учебном предмете используют и вертикальность, и горизонтальность. С эти ми понятиями учащиеся встречаются и вне школы, и при изучении других дисциплин. Какой может быть выход? Целесообразно рассмотреть наиболее общее понятие вертикальности так, как оно трактуется в естествознании. Далее в бесед с учащимися необходимо подчеркнуть условия рассмотрена, вертикальных прямых на уроках математики, в небольшом ограниченном пространстве, где размеры значительно малы по сравнению с размерами Земли. Поэтому здесь можно пренебречь   непараллельностью   вертикальных   прямых.   Такой подход способствует познанию реального мира, созданию ребенком целостной  картины мира,  готовит  к  пониманию в старших классах необходимости рассмотрения других (неевклидовых) геометрий при изучении научных явлений. Он способствует решению нестандартных задач и задач негеометрического характера. Например: «Переставьте одну цифру так, чтобы получилось верное равенство: 101 - 102 = 1». Слово «переставить» часто мыслится как «переместить по горизонтали», т. е. происходит сужение объема понятия, что служит препятствием для решения задачи. Более широкое толкование этого слова как движения в любом направлении помогает учащимся найти ответ: 101 - 10² =1.

Затем геометрические объекты снова рассматриваются  в реальных ситуациях, но на новом  уровне познания.

Заботясь о  развитии ребенка при изучении геометрии, учитывая его естественное развитие, целесообразно процесс обучения геометрии в 1—6 классах организовать через реализацию следующих этапов. Эти этапы являются подготовкой к изучению курса геометрии 7—11 классов.

1. Развитие топологических представлений, характеризующихся умением выделять объект на фоне, менять их местами, видеть внеположенность объектов, расположение друг относительно друга, выделять контур предмета, выделять области на основе интуитивных представлений о непрерывности и связности, различать внутреннюю, внешнюю области, границу фигуры (эти умения активизируются у человека при восприятии любого предмета).
2. Создание пространственных первичных образов, пространственных представлений, обладающих свойством полноты относительно взаимного положения объектов (без внимания к форме объекта), через развитие образной памяти на пространственные отношения.
3. Развитие умения менять точку отсчета — основы работы в пространстве. Развитие пространственных проективных представлений (направленность на форму объектов, без акцента на метрику).
4. Выход в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчета и отсутствием объективно существующих ориентиров (геометрическое пространство).

5. Формирование представлений о конкретных геометрических фигурах и геометрических отношениях 
в рамках идеи фузионизма, в определенной последовательности и зависимости на основе общей схемы формирования представлений о геометрическом объекте (будет рассмотрена ниже).

6. Уточнение первичных пространственных образов в плане метрики.
7. Знакомство  с  элементами  логики, использование

дедуктивных обоснований.

8. Формирование системы представлений- предпонятий на основе умения отличать род и видовые отличия геометрической фигуры.

9. Знакомство со структурными единицами пространственного мышления — преобразованиями (в частности, движениями).

Первый этап является базовым, но в школе обычно ему не уделяется внимание. Топологические представления являются первой ступенью формирования пространственных представлений (топология — общее свойство пространства). С точки зрения топологии, например, круг и выпуклый многоугольник или шар и выпуклый многогранник — одни и те же фигуры, т. е. они определяют одну область. Топологические свойства отражают представления об окрестности, пределе; свойствах непрерывности и связности, которые характеризуют область и лежат в основе понимания любой фигуры. Но даже приступая к изучению систематического курса геометрии и постоянно используя понятия «часть плоскости, часть пространства» (эти термины входят во многие планиметрические и стереометрические определения, например многоугольника или многогранника), учащиеся не осознают, что речь идет об области. Здесь требуется наличие таких свойств, как связность и непрерывность. В 7 классе, правда, учащиеся встречаются с понятием «внутренняя область», но оно никак не раскрывается.

В силу первичности топологических ПП развитие ПМ необходимо начинать с их корректировки.

Выделение фигуры из фона является базовым действием  при восприятии любого объекта. В  старших классах учащимися при  решении задач постоянно придется выделять необходимые фигуры на чертеже, рассматривая остальные как фон.

Фон — это то, на чем что-либо выделяется. Объект — предмет или явление, на которое направлена какая-нибудь деятельность, например, как в рассматриваемых нами случаях, внимание.

Сначала необходимо научить учащихся осознавать зависимость выделения объекта и фона от ситуации задачи.

►►   ПРИМЕР

Если ты настоящий  сыщик, то без труда определишь, из чего собран этот невероятный аппарат, который может летать, плавать, гудеть и многое другое. Используя кальку,  и рис. 50, а, обведи две или три разные картинки. 

На рис. 50, б, который предъявляется учащимся после выполнения задания, показаны изображения, которые могут получиться у детей.

С учащимися  обсуждается вопрос, почему получилось много картинок. Таких картинок может быть много (это будет зависеть от того, какие элементы исходного рисунка на кальке выделит ребенок).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знакомство  с областями и границей может  быть осуществлено при рассмотрении следующей задачи.

►►    ПРИМЕР

Путешествуя на воздушном шарике, коротышки из Цветочного города увидели внизу озеро. Вот как оно выглядело сверху (рис. 51). Закрась воду синим цветом, чтобы было видно, где озеро, а где берег. Авоська сбросил два мешка с песком, чтобы шар не опустился в озеро. Определи, в воду или на сушу упали мешки? Они обозначены на рисунке цифрами 1 и 2.

 

 

 

 

 

Рисунок озера  можно рассматривать как изображение  геометрической фигуры. У геометрической фигуры можно выделить внутреннюю область (на рисунке — это само озеро) и границу фигуры (стык берега и озера), которая отделяет внутреннюю область от внешней (берег).

Первые образы объектов, с которыми встречается  ребенок, в том числе и фигур, хорошо запоминаются. Поэтому намеренно озеро как образ фигуры имеет причудливые очертания, чтобы учащиеся не считали, как это часто встречается, что фигуры имеют только вполне определенные формы (выпуклого многоугольника).

Развитию умения работать в пространстве с постоянно  меняющейся точкой отсчета будут задачи следующих типов.