Особенности изучения геометрического материала в 1-6 классах

Лекция 22

Особенности изучения геометрического материала  в 1 —6 классах

10 из 100 математиков мыслят формулами... Но остальные мыслят образами: их интуиция геометрическая. При изучении математики психологический аспект часто важнее логического.

Ян  Стюарт

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБСУЖДЕНИЯ

1. Учитель сделал на доске рисунок (рис. 42)     и просит учеников ответить, что он нарисовал. Одни называют параллелепипед, другие — ящик, третьи видят шестиугольник, внутри которого взята точка, и она отрезками соединена с вершинами. Кто же из учеников прав?

2. Известный психолог А. Р. Лурия провел в свое время исследование с людьми, слепыми от рождения, но которым вернули зрение после операции. Определяя геометрические свойства предметов (форму, размеры, расстояния и т. д.) на основе зрения, все они допустили ошибки. Почему?
3. Определяя на «глаз» длину отрезка, нарисованного на доске, некоторые ученики получали ошибки до 17 см, хотя длина отрезка была 70 см. Попробуйте объяснить причину ошибки с точки зрения организации процесса обучения и учета в нем особенностей процесса восприятия. Как вы думаете, в каком возрасте решающий справляется с этим заданием лучше?
4. Каковы, на ваш взгляд, цели изучения геометрического материала в 1—6 классах?

22.1. Основные  задачи обучения геометрическому материалу

в школе. Условия создания образов  геометрических фигур

Изучение учебных  предметов, в конечном счете, предполагает овладение учащимися понятиями. Понятие в своем развитии проходит чувственную и рациональную ступень дознания, от образа восприятия до системы понятий.

Единичные образы восприятия и представления человек  создает на чувственной ступени  познания. На рациональной ступени, а  точнее, на эмпирической стадии этой ступени  формируются обобщенные представления или образы-понятия. Фактически у детей 7—12 лет формируются обобщенные представления, т. е. первый (создание образов) и второй (формирование представлений) этапы становления понятия. Поэтому при построении процесса обучения, направленного на развитие ребенка, именно создание системы геометрических образов является основной задачей обучения геометрическому материалу в 1—6 классах, в отличие от задачи создания системы геометрических понятий в основной и старшей школе.

Целесообразность  постановки такой задачи в 1—6 классах определяется сенситивными периодами развития образных компонентов мышления (период от 7 до 11 (12) лет) и прогрессивного развития зрительных функций (имеет место до 15 лет).

Но процесс  создания и развития образов, в том  числе образов геометрических фигур, имеет свои особенности. Именно они часто оказываются причиной трудностей восприятия и усвоения геометрического материала, что не всегда понимают авторы учебников и учителя. Психологические основы этого процесса были рассмотрены в лекции 12. В настоящей главе будут рассмотрены основные методические рекомендации, направленные на преодоление этих трудностей и организацию обучения геометрическому материалу в 1—6 классах в новой концепции образования, направленной на развитие учащихся.

Учитель вводит ребенка в мир геометрии на основе рассмотрения окружающего его мира (и другого пути нет). Осуществляя этот процесс, необходимо учить детей при восприятии реальных предметов выделять и абстрагировать их геометрические свойства, видеть в них модели геометрических объектов, т. е. создавать геометрические образы. Именно они являются основой геометрических понятий.

Очень часто  учитель начинает знакомить с  фигурой ребенка, предложив рассмотреть ее изображение. Образ, создаваемый на основе зрительного восприятия, является результатом опыта человека и образа на сетчатке глаза. Когда человек рассматривает предмет, на сетчатке глаза возникает перевернутое плоскостное изображение предмета. Оно получается в результате центрального проектирования (как в фотоаппарате) Но в мозгу возникает объемная «картинка» предмета. За счет чего? Именно на основе опыта и полученного сетчатого образ возникает «картинка» предмета, близкая к действительности. С несоответствием сетчатого образа и «мозгового» не раз сталкивался каждый человек. Рельсы мы видим на прямолинейном участке сходящимися, хотя опыт говорит о другом — он параллельны. Но опыт у людей разный. Поэтому и ответы на первый вопрос для предварительного обсуждения различны, Каждый ученик прав по-своему. Это определяется особенностями процесса восприятия, которое подчиняется определенным психологическим закономерностям и отражает такую характеристику образа, как субъективность.

Опыт познания пространства, в том числе его  геометрических свойств, начинается с рождения ребенка. Ребенок учится различать взаимное положение объектов, выделять формы предметов. Активное осязание как форма познания действительности изначально является базовой формой создания образа. От накопления двигательного опыта в процессе активного осязания зависит пространственное видение. Первоначально как движение руки, так и связанные с этими движениями тактильные и кинестетические ощущения развиваются безотносительно к зрительным реакциям, но не наоборот. Поэтому люди, не имеющие опыта активного осязания и деятельности зрительного анализатора с опорой на этот опыт, как показали исследования А. Р. Лурии (второй вопрос для предварительного обсуждения), допускают ошибки при различении формы и размеров предметов. Значимость активного осязания подтверждает и тот факт, что науке неизвестны случаи полной и невозобновимой утраты осязания и кинестезии как, например, зрения и слуха.

Как отмечает Б. Г. Ананьев, такая потеря «была бы равносильна утрате способности человека к непосредственному взаимодействию с окружающей действительностью, равносильна смерти. Особое значение разностороннее использование активного осязания (осязания в движении) имеет для формирования чувственных основ геометрического знания» [1, с. 21, 45]. При этом наиболее чувствительными при осязании являются пальцы рук.

Создание целостного образа предмета требует по возможности непрерывного движения по предмету рукой, а не предметом по руке. В зависимости от того, выполняется осязание двумя руками или одной, руки при осязании выполняют различные функции. Левая рука у правшей осуществляет опорную функцию фиксирования начала отсчета, а правая — последовательный охват поверхности относительно исходной точки, левшей — наоборот. Феномен ведущей руки является проявлением функциональной асимметрии больших полушарий головного мозга человека (о чем пойдет речь ниже), причем левшей (составляют 9% человеческой популяции) асимметрия менее выражена. Работа двумя руками может служить переходной ступенью от создания перцептивного образа к образу представления, а именно рисование в воздухе (создание «воздушных» моделей). Это «рисование», как и любая жестикуляция, определяется спецификой создания образа: каждый раз образ как бы конструируется заново, а не является слепком с картинки. Рисуя «воздушные» модели фигур, ребенок создаст опорный образ для образа памяти (представления). Руки (при активном осязании выполняют функцию не только определения формы предмета, но и его размеров.

Эти особенности  активного осязания и работы с  моделями геометрических фигур могут быть положены в основу рекомендаций его организации на уроках геометрии.

В процессе изучения геометрического материала необходимо, чтобы активное осязание предваряло или сочеталось со зрительным восприятием. Для этого необходимо включать задания на определение формы предмета, его поверхностей с помощью активного осязания (ощупывание предмета, проведение рукой по поверхности и т. д.). Такие задания желательно выполнять, закрыв глаза, в целях изоляции от лишней информации, и предлагать их с самого начала процесса обучения. Например, при формировании представлений о форме ученикам можно предложить на ощупь определить форму предмета, не вынимая из мешочка. Поэтому на уроках желательно, чтобы каждый ребенок имел модель изучаемой фигуры.

Определяя форму предмета на ощупь, правшам предпочтительнее держать предмет в левой руке и проводить по нему по возможности непрерывно правой рукой, для левшей — наоборот.

Активное осязание двумя руками может служить основой  создания «воздушной модели» геометрических тел, при котором неведущая рука фиксирует одну из поверхностей, а другая «строит» остальные поверхности фигуры.

При зрительном восприятии модели объемной фигуры необходимо рассматривать ее с разных сторон для создания адекватного образа. Поэтому практической деятельности, включающей активное осязание, должно уделяться пристальное внимание при  изучении геометрического материала на уроках математики. Эта деятельность необходима и для развития метрически" представлений.

При одноручном осязании доминирующая рука представляет, как показали психологические исследования, своего рода систему координат. Большой палец выполняет функции фиксатора начала отсчета, а указательный несет основнуюу сенсорную различительную функцию на доминирующей руке  в то время как на другой руке аналитическая функция в боль шей степени принадлежит среднему пальцу [4].

Еще в давние времена руки служили человеку измерительными приборами. Измеряли аршинами, локтями, пядями. В результате таких измерений в сознании человека создавались правильные представления о метрических свойствах предмета. Но в школе часто начинают измерять сразу с помощью линейки, что приводит, как показали исследования Е. Ф. Рыбалко, к торможению развития пространственных представлений [2]. Например, при определении на «глаз» длины отрезка, нарисованного на доске, учащиеся и учителя допускают ошибки до 17 см при длине отрезка в 70 см. И такие ответы дают четвероклассники, шестиклассники, выпускники и учителя. Систематическая работа с линейкой сужает представления детей о линиях: линии в основном сводятся к прямым. Большинство учеников, приобретя опыт работы с линейкой, рисуют прямую линию, и скорее всего, горизонтально или вертикально. На уроках часто можно наблюдать следующую ситуацию. Учитель предлагает ученикам разделить линией прямоугольник на две равные части. В основном учащиеся предлагают следующие решения (рис. 43).

Рис. 43

Но прямоугольник  можно разделить на две равные части и ломаной линией, и кривой. Поэтому прежде чем давать в руки ребенку линейку, необходимо помочь ему научиться проводить от руки прямые линии, постоянно сочетая эту деятельность с рисованием других линий (кривых, ломаных).

Организуя измерительную  деятельность, необходимо сначала через  руки сформировать представления о  процессе 
измерения, научить измерять длины предметов, используя части тела. Например, показав учащимся, что такое пядь, предложить им измерить длину парты пядями и сравнить свой результат с результатами соседа и учителя. Такое сравнение позволит обосновать введение единых мерок. Познакомив с единицами длины, такими, как сантиметр, можно предложить учащимся определить, сколько сантиметров в их пяди. Далее, прежде чем измерять в сантиметрах, следует учить школьников постоянно определять длины отрезков, градусные меры углов

на глаз», сравнивать с измерением в общепринятых единицах, корректировать свои результаты. Организуя эту деятельность, необходимо учитывать, что именно ведущая рука у человека представляет своего рода систему координат, где каждый палец выполняет свою функцию. Это позволит развить глазомер ребенка и будет способствовать формированию его метрических представлений.

22.2. Цели обучения геометрическому  материалу в 1 —6 классах

Основная развивающая  цель в 1—6 классах — развитие пространственного мышления учащихся как разновидности образного. Она определяется целесообразностью ее постановки в данном возрасте и последовательностью развития генетических ступеней мышления. Развитие происходит всегда на определенном материале, в результате изучения которого учащиеся приобретают знания, поэтому вторая образовательная цель, значимая для учащихся, связана с познанием окружающего мира. Образование направлено, в конечном счете, на самообразование, что требует познания себя, собственных механизмов приобретения знаний и их переработки, а целостный подход к явлениям требует определенного характера мышления. Поэтому третья цель — развитие рефлексивных способностей — связана как с осознанием окружающего мира, процессов его познания, так и с осознанием себя и фактически выражает условие достижения первых двух целей учеником как субъектом обучения.

Итак, основными  целями обучения в 1—6 классах являются:

1. Развитие пространственного мышления как разновидности образного.
2. Познание окружающего ребенка мира с геометрических позиций как базы создания учащимися геометрической картины мира. Развитие умения использовать сформированные представления при ориентации в окружающем ребенка мире.
3. Развитие рефлексивных способностей учащихся.
4. Подготовка к сознательному усвоению курса геометрии в 7—11 классах и к изучению смежных дисциплин.

• формирование представлений о геометрических фигура и отношениях. Эти представления образуют объемы понятий фигур, изучаемых в основной и старшей школе, и отношений (принадлежности, пересечения, перпендикулярности, параллельности), являются базой понятий, т. е. фактически готов; введение собственно понятий.

• Развитие конструктивных умений в выполнении построений циркулем, линейкой, угольником, транспортиром.
• Формирование навыков измерений геометрических вели1 чин.
• Формирование умений конструировать определения геометрических объектов. Ознакомление с простейшими дедуктивными обоснованиями (в 6 классе доказывается, что если  при пересечении двух прямых один из образованных углов прямой, то и все остальные углы прямые).
• Развитие вербально-логического мышления. Формирование умений выделять существенные свойства фигур, конструировать описания геометрических объектов, четко формулировать выводы на основе наблюдений, ознакомление с простейшими дедуктивными обоснованиями (в 6 классе доказывается, что если при пересечении двух прямых один из образованных углов прямой, то и все остальные углы прямые).