Моделирование рисковых ситуаций в бизнесе и экономике

e="text-align:justify">

 

 

Рис. 3. Дерево решений (прибыль указана в долларах).

 

Для принятия решения, в случае небезразличия ЛПР к риску, необходимо уметь оценивать значения полезности каждого из допустимых исходов. Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложили процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая (процедура) заключается в следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены за два шага.

Шаг 1: Присваиваются произвольные значения полезностей выигрышам для худшего и лучшего исходов, причем первой величине (худший исход) ставится в соответствие меньшее число. Например, для приведенной выше задачи , a . Тогда полезности промежуточных выигрышей будут находиться в интервале от 0 до 50. Полезность исхода даже для одного индивида определяется не однозначно, а с точностью до монотонного преобразования. Пусть, например, имеем — полезности, приписываемые ожидаемым значениям выигрышей. Тогда также будут полезностями. Если при расчете полезности отбросить последние нули, это будет эквивалентно линейному преобразованию функции полезности при .

Шаг 2: Игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную денежную сумму , находящуюся между лучшим и худшим значениями и , либо принять участие в игре, т.е. получить с вероятностью наибольшую денежную сумму и с вероятностью - наименьшую сумму . При этом вероятность следует изменять (понижать или повышать) до тех пор, пока ЛПР станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы и игрой. Пусть указанное значение вероятности равно . Тогда полезность гарантированной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е.

 

 

Рассчитаем  полезность результатов любого из возможных исходов для задачи. Пусть для ЛПР безразлично: потерять 20 000 дол. или принять участие в игре (выигрыш 930 000 дол. с вероятностью 0,1 или проигрыш 50 000 дол. с вероятностью 0,9). Согласно формуле имеем:

 

 

 

При этом по определению принято, что , откуда следует, что .

Таким образом, если определена шкала измерения, то может быть построена функция полезности ЛПР (рис. 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4. График полезности

 

В общем случае график функции полезности может быть трех типов (рис. 5):

• для ЛПР, не склонного к риску, - строго вогнутая функция, у которой каждая дуга кривой лежит выше своей хорды (рис. 5 а);
• для ЛПР, безразличного к риску, - прямая линия (рис. 5 б);
• для ЛПР, склонного к риску, - строго выпуклая функция, у которой каждая дуга кривой лежит ниже своей хорды (рис. 5 в).

 

 

 

 

 

Рис. 5. Типы функций полезности Неймана-Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного  к риску (в)

 

Исследуем график функции полезности, представленной на рис. 6. Для такого типа ЛПР полезность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с вероятностью выиграть и с вероятностью выиграть .

Формально мы имеем график вогнутой функции, о которой известно, что ордината любой точки кривой больше ординаты точки хорды кривой. Определим соотношение, характеризующее ЛПР, не склонного к риску. Нетрудно видеть, что:

;

;

.

Уравнение хорды  имеет вид:

, где  - совокупность точек, лежащих на отрезке прямой.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6. График функции полезности ЛПР, не склонного  к риску

 

Найдем значения параметров и уравнения прямой.

В точке  имеем .

В точке  имеем .

Вычитаем  из первого выражения второе, исключая величину .

 

Откуда

 

 

 

 

После подстановки  значений для параметров и уравнение хорды имеет вид:

 

Где

Пусть , тогда в точке справедливо неравенство:

 

 

Подставив в  это неравенство вычисленные  значения и , получим:

 

 

 

 

Или

 

 

Последнее неравенство характерно для функций полезности ЛПР, не склонных к риску. Оно действительно показывает, что полезность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с вероятностью выиграть и с вероятностью выиграть .

Аналогично  можно показать, что для функций  полезности ЛПР, склонных к риску, справедливо  неравенство:

 

 

 

Для функций  полезности ЛПР, безразличных (нейтральных) к риску, имеет место равенство:

 

 

 

Склонность  или несклонность ЛПР к риску, как уже отмечалось, зависит от его финансового положения, текущей ситуации принятия решения и других факторов. Иначе говоря, эта характеристика ЛПР не является абсолютной, присущей ему при любых обстоятельствах.

Приведем  пример игры, по отношению к которой  любой игрок не склонен к риску. Петербургский парадокс (игра придумана петербургскими гусарами). Играют двое. Один бросает монету до тех пор, пока не выпадет "орел". Выигрыш равен руб., где - число бросков до появления "орла". Ожидаемая величина выигрыша:

 

 

 

Вряд ли какой-либо игрок согласится заплатить за право участвовать в этой игре сумму, равную ОДО (эта сумма бесконечно велика).

 

 

 

 

 

6. Страхование от риска

 

Задача 6. Спрос на страхование. Пусть финансовое состояние индивида оценивается заданным значением . Предполагается, что можно вычислить вероятность потери некоторой части этого состояния, определяемой суммой (например, в результате пожара). Индивид может купить страховой полис, в соответствии с которым ему возместят нанесенный ущерб в размере . Плата за страхование составляет , где - доля страхования в объеме нанесенного ущерба. Проблема состоит в определении значения .

Исследуем задачу максимизации ожидаемой полезности финансового состояния индивида в ситуации, когда с вероятностью страховой случай происходит и с вероятностью - не происходит. Тогда задача сводится к поиску максимума по ожидаемой полезности капитала индивида:

 

 

 

Применим  необходимое условие оптимальности - продифференцируем выражение в квадратных скобках по и приравняем производную нулю:

 

 

 

где - оптимальное значение . В результате получаем:

 

 

 

Предполагая известным вид функции , из последнего соотношения находим значение .

Рассчитаем  ожидаемую прибыль страховой  компании, учитывая, что страховой  случай имеет вероятностный характер.

Если страховой  случай произошел, компания получает доход . Если страховой случай не наступил, компания получает доход . Поэтому ожидаемая прибыль компании:

 

 

 

где — вероятность наступления страхового случая.

Конкуренция между страховыми компаниями уменьшает  прибыль, которая в условиях совершенной  конкуренции стремится к нулю, т.е. из условия  следует, что .

Это означает, что доля платежа от страхуемой суммы приближается к вероятности несчастного случая . Если соотношение ввести в условие максимума ожидаемой полезности, то получим:

 

 

Если потребитель  не склонен к риску, то , и из равенства первых производных следует равенство аргументов, т.е.:

 

 

Или

 

 

Откуда

 

 

 

Вывод: Страховаться целесообразно на сумму, которую можно потерять в результате несчастного случая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Динамические модели планирования финансов

 

Задача 7: Акционерное общество (АО) закрытого типа заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соответствии с условиями контракта 150 000 дол. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму - через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю сумму в 750 000 дол., а меньшую. Сколько именно, зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные для задачи финансового планирования приведены в табл. 4.

Таблица 4

Направления использования инвестиций	Возможные начала реализации инвестиционных проектов, мес.	Длительность инвестиционного проекта, мес.	Процент за кредит	Индекс риска
A	1,2,3,4,5,6	1	1,5	1
B	1,3,5	2	3,5	4
C	1,4	3	6	9
D	1	6	11	7

 

Руководство АО ставит перед собой три основные цели:

1. при данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана стратегия, минимизирующая наличную сумму денег, которые АО направляет на оплату оборудования по контракту;
2. при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6. Этот показатель индекса риска, как предполагается, отвечает возможностям менеджера фирмы по управлению проектами;
3. в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов не должна превышать 2,5 месяца. Причины те же, что и в п. 2.

Таким образом, среди потенциально реализуемых проектов выбираются наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной рисковости должны компенсироваться менее рисковыми, а очень длинные проекты должны выполняться одновременно с более краткосрочными. Для решения данной задачи необходимо, во-первых, подготовить и систематизировать имеющуюся исходную информацию и, во-вторых, построить адекватную сформулированным целям экономико-математическую модель.

Обозначения в модели:

- объем инвестиций в направление (проект) А в начале месяца

 ;

 - объем инвестиций в направление (проект) в начале месяца

();

 - объем инвестиций в направление (проект) в начале месяца

();

 - объем инвестиций в направление (проект) в начале месяца ();

- объем инвестиций в начале первого месяца.

Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения формализуются следующими соотношениями:

1. Начальная сумма инвестиций должна быть минимальной: .
2. Балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют вид:
3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов для каждого месяца (Запись означает, что из истинности условия вытекает        условие ):
4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда (для каждого месяца):