Моделирование рисковых ситуаций в бизнесе и экономике

 

Министерство  образования Российской Федерации

Северо-Западный Государственный Заочный Технический  Университет

 

Институт  управления производственными и  инновационными программами

Кафедра менеджмента

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Управленческие решения»

 

 

Моделирование рисковых ситуаций в бизнесе и  экономике

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент 5 курса

Заочной формы обучения

Специальность 080507.65

Смирнов А.В. шифр 7703031153

Научный руководитель: Волков В.Ф.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург 2011 г.

Содержание

 

 

Содержание………………………………………………………………....…......2

1. Стратегические игры. Смешанные стратегии……………………..….….......3

2. Принятие решений в условиях неопределённости и риска.

Понятие игры с природой…………………………………………..………..….. 7

3. Выбор решений с помощью дерева решений (позиционные игры)…..........10

4. Задача про компанию «Российский сыр»…………………….……………...13

5. Решение вопроса бурения в нефтеперерабатывающей фирме……..………15

6. Страхование от риска………………………………………………………….20

7. Динамические модели планирования финансов……………………………..22

Список используемой литературы………...……………………………….........28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Стратегические игры. Смешанные стратегии

 

Если в матричной игре отсутствует  седловая точка в чистых страте-гиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший  нижней цены игры. В примере 2.3 игрок 1 получил по своей оптимальной стратегии А, отличной от максиминной, выигрыш, равный верхней цене игры. Такова плата за информированность о стратегии игрока 2. Это крайний случай. Не улучшится ли результат игрока 1, если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок будет многократно применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью?

В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем большие нижней цены игры, но меньшие верхней.

Смешанная стратегия игрока — это  полный набор применения его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

• игра без седловой точки;

• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

• игра многократно повторяется  в сходных условиях;

• при каждом из ходов ни один игрок  не информирован о выборе стратегии  другим игроком;

• допускается осреднение результатов  игр.

Применяются следующие обозначения смешанных стратегий:

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий , , ..., А с соответствующими вероятностя-ми р, р, ..., р,

 

 

Где,

 

 

Для игрока 2:

 

Где,

 

 

 – вероятность применения  чистой стратегии . В случае, когда для игрока 1 имеем чистую стратегию.

 

 

 

Чистые стратегии  игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

 

 

 

где и - векторы; и - компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить  свой средний выигрыш, а игрок 2 —  довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится  достигнуть

 

 

 

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

 

 

 

Обозначим и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и , при которых будет выполнено равенство

 

 

 

Цена игры — средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:

1) - оптимальная смешанная стратегия игрока;

2) - оптимальная смешанная стратегия игрока;

3) - цена игры.

Смешанные стратегии  будут оптимальными ( и ), если они образуют седловую точку для функции

 

 

 

Существует  основная теорема математических игр.

Теорема 1. Для матричной игры с любой матрицей A величины и существуют и равны между собой: .

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий  игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший, чем  цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

Задача 1: Выбрать оптимальный режим работы новой системы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов и . Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.

При использовании  ЭВМ типов и в зависимости от характера решаемых задач и (долговременные и краткосрочные) будет разный эффект. Предполагается, что максимальный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ и .

Итак дана матрица игры (таблица 1), где  и – стратегии руководителя; и - стратегии, отражающие характер решаемых на ЭВМ задач.

Таблица 1

Игрок 2
Игрок 1
	0,3	0,8	0,3
	0,7	0,4	0,4
	0,7	0,8

 

Требуется найти  оптимальную смешанную стратегию  руководителя и гарантированный  средний результат , т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов и .

Решение: Запишем  условия в принятых индексах: . Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

 

 

 

 

Получаем  игру без седловой точки, так как

 

 

 

 

Максиминная стратегия руководителя вычислительного  центра - . Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен по сравнению со старой системой. Решение для определения проведём графически (рис.1).

 

Рис.1. Графическая  интерпретация алгоритма решения.

 

Алгоритм  решения:

1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины;
2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии ;
3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии ;
4. Проводим прямую , соединяющую точки ;
5. Проводим прямую , соединяющую точки ;
6. Определяем ординату точки пересечения с линией и - она равна ;
7. Определим абсциссу точки пересечения . Она равна , а .

 

Выпишем решение и представим оптимальную  стратегию игры:

;

;                          

;

 

Вывод: При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ должно приходиться 37,5 % времени, а на работу ЭВМ — 62,5 %. При этом выигрыш составит 55 % по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

 

 

 

 

2. Принятие решений в условиях неопределённости и риска.

Понятие игры с природой

 

Некоторые ситуации могут не в полной мере оказаться адекватными действительности, если реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенности должно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методов моделирования принятия решений в условиях неопределенности и риска.

Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые игры с природой. Формально изучение игр  с природой, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной  матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с  природой состоит в том, что в  ней сознательно действует только один из участников, в большинстве  случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как  не имеющий конкретной цели и случайным  образом выбирающий очередные "ходы" партнер по игре. Поэтому термин "природа" характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых "игроком" 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

На примере  игры с природой рассмотрим проблему заготовки угля на зиму.

Задача 2: Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека "не имеет". С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.

Матрица игры с природой аналогична матрице стратегической игры:

 – где - выигрыш игрока 1 при реализации его чистой стратегии и чистой стратегии игрока 2 ().

Мажорирование (доминирование) стратегий в игре с природой имеет определенную специфику. Исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех

, то -ю стратегию принимающего решения игрока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из матрицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычеркивать из матрицы игры (исключать из рассмотрения) недопустимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в "игре" с человеком, для нее нет целенаправленно выигрышных или проигрышных стратегий, она действует неосознанно. Впрочем, в матричных представлениях игр с природой значения выигрышей принимающего решения игрока не всегда располагаются по строкам. Это допустимо делать и по столбцам, принимая ЛПР (лицо принимающее решение) как игрока 2, понимая, однако, что мажорировать можно только стратегии принимающего решения игрока.

На первый взгляд, отсутствие обдуманного противодействия упрощает игроку задачу выбора решения. Однако, хотя ЛПР никто не мешает, ему труднее обосновать свой выбор, поскольку в этом случае гарантированный результат не известен.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности, точнее от того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопределенности. Ниже будут описаны методы, применяемые в обоих случаях.

Рассмотрим  организацию и аналитическое  представление игры с природой. Пусть игрок 1 имеет возможных стратегий: ,,..., , а у природы имеется возможных состояний (стратегий): ,,...,, тогда условия игры с природой задаются матрицей выигрышей игрока 1:

 

 

 

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие "природа").

Возможен и другой способ задания  матрицы игры с природой: не в  виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей. Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрица может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей .

Риском  игрока при использовании им стратегии и при состоянии среды будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием среды будет , и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (стратегию) , игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш максимальный, т.е. где при заданном . Например, для матрицы выигрышей