Моделирование рисковых ситуаций в бизнесе и экономике

 

 

 

 

 

Согласно  введённым определениям и получаем матрицу рисков

 

 

 

Независимо  от вида матрицы игры требуется выбрать  такую стратегию игрока (чистую или  смешанную, если последняя имеет  смысл), которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Необходимо отметить, что в игре с природой понятие смешанной стратегии игрока не всегда правомерно, поскольку его действия могут быть альтернативными, т.е. выбор одной из стратегий отвергает все другие стратегии (например, выбор альтернативных проектов).

Вначале следует  проверить, нет ли среди стратегий игрока мажорируемых, и, если таковые имеются, исключить их.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Выбор решений с помощью дерева решений (позиционные игры)

 

Если имеют  место два или более последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыдущих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений.

Дерево решений  — это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Процесс принятия решений с помощью дерева решений  в общем случае предполагает выполнение следующих пяти этапов:

1. Формулирование задачи. Прежде всего необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информации для экспериментирования и реальных действий; составление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут произойти; установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять;
2. Построение дерева решений;
3. Оценка вероятностей состояний среды, т.е. сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем;
4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды;
5. Решение задачи.

Введем ряд определений. В зависимости от отношения к риску решение задачи может выполняться с позиций так называемых "объективистов" и "субъективистов". Поясним эти понятия на следующем примере. Пусть предлагается лотерея: за 10 дол. (стоимость лотерейного билета) игрок c равной вероятностью =0,5 может ничего не выиграть или выиграть 100 дол. Один индивид пожалеет и 10 дол. за право участия в такой лотерее, т.е. просто не купит лотерейный билет, другой готов заплатить за лотерейный билет 50 дол., а третий заплатит даже 60 дол. за возможность получить 100 дол. (например, когда ситуация складывается так, что, только имея 100 дол., игрок может достичь своей цели, поэтому возможная потеря последних денежных средств, а у него их ровно 60 дол., не меняет для него ситуации).

Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры называется максимальная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре (лотерее), или, что то же, та минимальная сумма денег, за которую он готов отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ.

Индивида, для  которого БДЭ совпадает с ожидаемой  денежной оценкой (ОДО) игры, т.е. со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют объективистом, индивида, для которого БДЭ≠ОДО, - субъективистом. Ожидаемая денежная оценка рассчитывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей. Например, для нашей лотереи ОДО = 0,50 + 0,5 100 = 50 дол. Если субъективист склонен к риску, то его БДЭ>ОДО. Если не склонен, то БДЭ<ОДО.

Предположим, что решения принимаются  с позиции объективиста. Рассмотрим процедуру принятия решения на примере следующей задачи.

Задача 3: Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 2). На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно построить дерево решений (рис. 2).

Таблица 2

Номер стратегии	Действия компании	Выигрыш, долл., при состоянии экономической  среды
		благоприятном	неблагоприятном
1	Строительство крупного предприятия ()	200 000	180 000
2	Строительство малого предприятия ()	100 000	20 000
3	Продажа патента ()	10 000	10 000

 

Примечание. Вероятность благоприятного и неблагоприятного состояний экономической среды равна 0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры рынка

         - решение (принимает игрок)

 

         - решение  («принимает» случай)

 

         - отвергнутое  решение

 

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО.

Определим средний  ожидаемый выигрыш (ОДО):

• Для вершины 1 ;
• Для вершины 2 ;
• Для вершины 3

Вывод: Наиболее целесообразно выбрать стратегию 2, т.е. строить малое предприятие, а ветви (стратегии) 1 и 3 дерева решений можно отбросить. ОДО наилучшего решения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния с вероятностями 50 % неудачи и 50 % удачи на практике часто означает, что истинные вероятности игроку скорее всего неизвестны и он всего лишь принимает такую гипотезу (так называемое предположение "fifty - fifty", - пятьдесят на пятьдесят).

 

 

 

 

4. Задача про компанию «Российский сыр»

 

Компания "Российский сыр" - небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов - сырная паста - поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Затраты на производство одного ящика равны 45 дол. Компания продает каждый ящик по цене 95 дол. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

Решение: пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания "Российский сыр") являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков. Вычислим, например, показатель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет только на 7.

Каждый ящик продается по 95 дол. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет 7×95 = 665, а издержки производства 8 ящиков 8×45 = 360. Итого, прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна 7×95-8×45 = 305 дол. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения.

В итоге получим  следующую платежную матрицу в игре с природой (табл. 3). Как видим, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 дол. Она отвечает производству 8 ящиков.

Таблица 3

	6 (0,1)	7 (0,3)	8 (0,5)	9 (0,1)	Средняя ожидаемая прибыль
9	300	300	300	300	300
7	255	350	350	350	340,5
8	210	305	400	400	352,5
9	165	260	355	450	317

* В скобках приведена вероятность спроса на ящики.

 

На практике чаще всего в подобных случаях  решения принимаются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых издержек. Следуя такому подходу, можно остановиться на рекомендации производить 8 ящиков, и для большинства ЛПР рекомендация была бы обоснованной. Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднего квадратичного отклонения как индекса риска, мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависимыми от склонности к риску ЛПР.

Вспомним  необходимые для наших исследований формулы теории вероятностей: дисперсия случайной величины равна ; среднее квадратичное отклонение ; где - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.

Проводя соответствующие  вычисления для случаев производства 6, 7, 8 и 9 ящиков, получаем:

6 ящиков:

 

 

 

7 ящиков:

 

 

 

8 ящиков:

 

 

 

9 ящиков:

 

 

 

Вывод: Из представленных результатов расчетов с учетом полученных показателей рисков - средних квадратичных отклонений - очевидно, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесообразно, ибо средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше, чем для 8 ящиков (352,5), а среднее квадратичное отклонение (76) для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73). А вот целесообразно ли производство 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 - неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков () больший, чем при производстве 7 ящиков () и тем более 6 ящиков, где . Вся информация с учетом ожидаемых прибылей и рисков налицо. Решение должен принимать генеральный директор компании “Российский сыр” с учетом его опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Учитывая все приведенные числовые характеристики случайной величины - прибыли, рекомендуется производить 7 ящиков (не 8, что вытекает из максимизации прибыли без учета риска!).

 

 

 

 

 

 

5. Решение вопроса бурения в нефтеперерабатывающей фирме

 

Нефтеперерабатывающая фирма решает вопрос о бурении скважины. Известно, что если фирма будет бурить, то с вероятностью 0,6 нефти найдено не будет; с вероятностью 0,1 запасы месторождения составят 50 000 т.; с вероятностью 0,15 - 100 000 т.; с вероятностью 0,1 - 500 000 т.; с вероятностью 0,05 - 1 000 000 т. Если нефть не будет найдена, то фирма потеряет 50 000 дол.; если мощность месторождения составит 50 000 т., то потери снизятся до 20 000 дол.; мощность месторождения в 100 000 т. принесет прибыль 30 000 дол.; 500 000 т. - 430 000 дол.; 1 000 000 т. - 930 000 дол. Дерево решений данной задачи представлено на рис. 3. Нетрудно рассчитать ожидаемое значение выигрыша:

 

Если ЛПР, представляющий фирму, безразличен к риску и принимает решение о проведении буровых работ на основании рассчитанного ОДО, то он воспринимает ожидаемую полезность как пропорциональную ОДО, полагая Учитывая, что - индивидуальное число, характеризующее ЛПР, нули, отвечающие расчету ОДО, можно отбросить. В этом случае функция полезности , где — прибыль, получаемая при различных исходах, является прямой с положительным наклоном. В дальнейшем будет показано, что U можно задавать с точностью до некоторого монотонного преобразования.