Теория веротности

Вариант 7

Задание 1

Из четырех отрезков, длины которых равны 3, 4, 7 и 9 см, наугад выбираются какие-то три. Какова вероятность того, что из выбранных отрезков можно составить треугольник.

Решение.

Пусть событие А – с помощью взятых наудачу трех отрезков можно составить треугольник. По классическому определению вероятности имеем P(A)=m / n, где m – количество элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число возможных элементарных исходов испытания.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать три отрезка из пяти, т.е. .

Треугольник можно составить из трех отрезков, если сумма длин двух любых из них больше длины третьего, а разность длин – меньше длины третьего.

Таким образом, из 4х отрезков можно сложить 2 треугольника (4, 7, 9 см.; 3, 7, 9 см.).

P(A) = 2 / 4 = 0,5.

Задание 2

Студент познакомился в троллейбусе с девушкой, и она дала ему свой номер телефона. Однако студент забыл последнюю цифру номера и поэтому набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места?

Решение.

Первый способ:

Введем полную группу событий (гипотез): 

H1 = {дозвонился с первого раза},

H2 = {дозвонился со второго раза},

H3 = {дозвонился с третьего раза}

Второй способ:

Общее число исходов

Благоприятное число исходов

Искомая вероятность

Задание 3

На полке стоят 20 учебников, два из них по математике. Наугад выбираются 4 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один их взятых учебников – по математике.

Решение.

Общее число исходов .

Благоприятное число исходов .

Искомая вероятность .

Задание 4

Вероятность того, что спортсмен победит в матче, равна 0,6. Какова вероятность того, что в 10 поединках он одержит больше 8 побед?

Решение.

7 побед: .

Вероятность того, что в 10 поединках он одержит больше 8 побед, равно 1-0,215 = 0,745.

Задание 5

В первой урне 7 белых шаров и 3 черных, во второй – 4 белых и 5 черных. Из первой урны наугад вынули 2 шара и положили во вторую. Какого цвета шар теперь более вероятно вынуть из второй урны?

Решение.

Введем следующие обозначения для событий:

– из первой урны переложили два белых шара;

– из первой урны переложили белый и черный шары;

– из первой урны переложили два черных шара.

.

.

.

Введем событие А – после перекладывания из второй урны вытащили белый шар. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдем условные вероятности:

.

.

.

.

Введем событие В – после перекладывания из второй урны вытащили черный шар. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдем условные вероятности:

.

.

.

.

Более вероятно вынуть из второй урны черный шар.

Задание 6

Нужные сборщику детали находятся в трех из пяти ящиков. Сборщик вскрывает ящики до тех пор пока не найдет нужные детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа вскрытых ящиков. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение.

Вероятность нахождения детали 0,6.

.

.

.

.

.

Список использованной литературы

1.              Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения, 2-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2000.— 480 с. 

2.              Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика, 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.

3.              Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В.   Теория вероятностей и статистика, 2-е изд., перераб. - М.: МЦНМО, Московские учебники, 2008. - 256 с.

4.              Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, 8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС, 2005.— 448 с.

5.              Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2004. — 573 с