Теорема Гульдина и ее применение

      Рис.3 

      Так как очевидно, что центр тяжести  окружности совпадает с ее центром, то (при обозначении рисунка) имеем P=2πr·2πd=4π²rd.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

III. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

      Рассмотрим  плоскую фигуру АА^⁄В^⁄В (рис. 4), ограниченную сверху кривой АВ, которая задана явным уравнением y = f(x). Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что поверхностная плотность их ρ (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Без существенного умаления общности можно тогда принять, что ρ = 1, т.е., что масса любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

      Рис.4

      Желая определить статические моменты  М_х, М_у этой фигуры относительно осей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (рис. 4). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, мы видим, что масса ее (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет ydx. Для определения соответствующих элементарных моментов dМ_x, dМ_y предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси х на расстоянии 0,5у, от оси y - на расстоянии (х + 0,5dx); последнее выражение можно заменить просто через х, ибо отброшенная величина 0,5dx, умноженная на массу ydx, дала бы бесконечно малую высшего порядка. Итак, имеем

      Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам 

      причем  под у разумеется функция f(x), фигурирующая в уравнении кривой АВ.

      Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты ξ, η центра тяжести фигуры. Если через Р обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести 

      откуда 

      И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы  для ординаты η центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем

      Правая  часть этого равенства выражает объем V тела, полученного от вращения плоской фигуры АА^/ВВ^/ около оси х, левая же часть выражает произведение площади этой фигуры Р на 2πη − длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина.  
 
 
 
 
 
 
 

IV.Вторая теорема Гульдина

      Вторая  теорема Гульдина:

        Объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры:

      V=Ρ·2πη. 

      Заметим, что формулы (4), (5) распространяются на случай фигуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху (криволинейная трапеция). Например, для этого случая

      отсюда  ясно уже, как преобразуются формулы (5). Если вспомнить формулы , то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для этого случая.

      Рассмотрим  следующие примеры:

      1. Найти статические моменты М_х, М_у и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой у² = 2рх, осью х и ординатой, соответствующей абсциссе х.

      Так как , то по формулам (4) 

      С другой стороны, площадь , т.е.

      В таком случае по формулам (5)

      Пользуясь значениями ξ и η, легко найти  – по теореме Гульдина – объем  тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конечной координаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть 2х/5, то искомый объем будет

      2. Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо лежит на этой оси.

      Докажем это для случая фигуры, ограниченной снизу и сверху кривыми y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x). Если взять ось симметрии за ось y,то обе функции y₁ и y₂ окажутся четными; промежуток же изменения x в этом случае будет иметь вид [-а, а]. Тогда, по второй из формул (4а) ( Пусть f непрерывна в симметричном промежутке      [-а; а] (а>0). Тогда в случае четной функции

       , а в случае нечетной . В обоих случаях интеграл представляется в виде суммы интегралов и к первому из них применяется подстановка x= -t).

      Подобно первой теореме Гульдина и вторая теорема также может быть использована в том случае, когда положение  центра тяжести ясно, для определения  объема соответствующего тела вращения. Например, для тора (3) получается объем V= 2π²r²d.  
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

       Целью курсовой работы „Теорема Гульдина и ее применение” было получение новых знаний для решения задач на нахождение статическux моментов и центра тяжести кривой, а так же на нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры.

       В работе представлен целый ряд  задач, решаемых с помощью теоремы  Гульдина, что и явилось практическим применением знаний на практике. Кроме  того, в процессе подготовки материала для курсовой работы, укрепили ранее полученные знания.

       Удачное использование задач (примеров) способствовало более успешному усвоению учебного материала и быстрому формированию умений и навыков, развитию абстрактного, логического мышления.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература 

1. Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального и интегрального  исчисления. Том 2. Глава 10. Издательство „Наука” Главная редакция физико – математической литературы. Москва 1969.
2. Г.М. Фихтенгольц  Основы математического анализа: учебник для механ. – матем. и физ. – матем. Фак. гос. ун-ов и для физ. – матем. фак. пед. ин-в. – М.: Гостехиздат, 1955-т. 1-440с.