Теорема Гульдина и ее применение

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 «Челябинский  государственный педагогический  университет»

(ГОУ  ВПО «ЧГПУ»)

Кафедра математического анализа 
 
 
 

Курсовая  работа

на  тему:

Теорема Гульдина и ее применение 
 
 
 
 
 
 

                                                                       Выполнила студентка                   

                                                                      

                                                                       физизический факультет

                                                                       451 группа                                               

                                                  Научный руководитель: 

                         

                                                                
 

Дата  сдачи:_______________

Дата  защиты:_____________

Оценка:__________________

                                                     
 
 

Челябинск

2008

Содержание 
 

Введение…………………………………………………………………………...3

I.Нахождение статическux моментов и центра тяжести кривой…………........5

II. Первая теорема Гульдина……………………………………………………..8

III. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры...11

IV.Вторая теорема Гульдина……………………………………………………13

Заключение ………………………………………………………………………15

Литература……….……………………………………………………………….16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      В курсе «Высшей математики» тема «Теорема Гульдина и ее применение» не рассматривается, хотя  имеет большое значение для математического анализа, а также физики, техники и механики, так как возникает необходимость применения неопределенного интеграла.

      Использование интеграла вместо обыкновенной суммы  весьма существенно. Сумма давала бы лишь приближенное выражение, ибо на ней отразились бы погрешности отдельных равенств; предельный же переход, с помощью которого из суммы получается интеграл, уничтожает погрешность и приводит к совершенно точному результату.

      Теорему Гульдина применяют для нахождения статических моментов и центров тяжести не только кривой, но и плоской фигуры, - что немаловажно для выше перечисленных наук.

      Важность  данной темы можно показать, перечислив только задачи, решаемые с помощью теоремы:

      1. Найти статический момент обвода эллипса x²/a² + у²/b² = 1 относительно оси x (предполагая а > b).

      2. Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.

      3. В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца (тора), т.е. тела образованного вращением круга около оси, не пересекающей его.

        4. Найти статические моменты М_х, М_у и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой у² =2рх, осью х и ординатой, соответствующей абсциссе х.

      5.Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо лежит на этой оси.

      В нашей работе эти задачи будут  решены.

      Данная курсовая работа  основана на материале учебного пособия для высших учебных заведений «Курс дифференциального и интегрального исчисления II том». Этот том посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной  и теории рядов. Исключительно подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др.

      Являясь одним из лучших систематических  учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, данная книга будет  полезна как учащимся, так и  преподавателям.

 

I. Нахождение статическux моментов и центра тяжести кривой

      Как известно, статический момент М материальной точки массы m относительно некоторой  оси равен произведению массы m на расстояние d точки от оси. В случае системы n материальных точек с массами ml, m2, ... , m_n, лежащих в одной плоскости с осью, соответственно, на расстояниях d₁, d₂, .,. , d_n от оси, статический момент выразится суммой

       .

            L...  1 1.  

      

        
 
 

      

      При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со знаком плюс, а расстояния точек по другую сторону - со знаком минус.

      Если  же массы не сосредоточены в отдельных  точках, но расположены сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру, то тогда для выражения статического момента вместо суммы потребуется  интеграл.

      Остановимся на определении статического момента М относительно оси х масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой АВ (рис. 1). При этом мы предположим кривую однородной, так что ее линейная плотность ρ (т.е. масса, приходящаяся на единицу длины) будет постоянной; для простоты допустим даже, что ρ=1 (в противном случае придется полученный результат лишь умножить на ρ). При этих предположениях масса любой дуги нашей кривой измеряется просто ее длиной, и понятие статического момента приобретает чисто геометрический характер. Заметим вообще, что когда говорят о статическом моменте (или центре тяжести) кривой - без упоминания о распределении вдоль по ней масс, - то всегда имеют в виду статический момент (центр тяжести), определенный именно при указанных предположениях.

      Выделим теперь какой-нибудь элемент ds кривой (масса которого также выражается числом ds). Приняв этот элемент приближенно за материальную точку, лежащую на расстоянии y от оси, для его статистического момента получим выражение

      dM_x=y·ds.

      Суммируя эти элементарные статические моменты, причем за независимую переменную возьмем дугу s, отсчитываемую от точки А, мы получим

      

.        (1)

      Аналогично  выражается и момент относительно оси  y

      

.          (2)

      Конечно, здесь предполагается, что y (или х) выражено через s. Практически в этих формулах s выражают через ту переменную (t, х или θ), которая играет роль независимой в аналитическом представлении кривой.

      Статические моменты М_х и М_y кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести С( ξ, η). Точка С обладает тем свойством, что если в ней сосредоточить всю "массу" S кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно этой оси; в частности, если рассмотреть моменты кривой относительно осей координат, то найдем  

      

,      ,

      откуда

      

,    .           (3)

      Из  формулы для ординаты η центра тяжести мы получаем замечательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем 

      

, откуда  ;

      но  правая часть этого равенства  есть площадь Р поверхности, полученной от вращения кривой АВ, в левой же части равенства 2πη обозначает длину окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении ее около оси х, а S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к теореме Гульдина. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

II. Первая теорема Гульдина

      Первая  теорема Гульдина:

        Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести С кривой (рис. 1)

      Р = S·2πη

      Эта теорема позволяет установить координату η центра тяжести кривой, если известны ее длина S и площадь Р описанной ею поверхности вращения.

      Рассмотрим  следующие примеры:

      1). Найти статический момент обвода эллипса x²/a² + у²/b² = 1 относительно оси x (предполагая а > b).

      Для верхнего (или нижнего) полуэллипса этот момент только отсутствием множителя 2π отличается от величины соответствующей поверхности вращения. Поэтому

      

      2). Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.

      Для доказательства примем ось симметрии  за ось у, а точку ее пересечения с кривой - за начальную точку для отсчета дуг. Тогда функция х = Ф(s) окажется нечетной функцией от s и, если на этот раз длину всей кривой обозначить через 2S, будем иметь

      

=0,

      откуда  и ξ = 0. 

      3). Пользуясь первой теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести дуги (рис. 2) круга радиуса r.

      Так как эта дуга симметрична относительно радиуса ОМ, проходящего через ее середину М, то ее центр тяжести С лежит на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние η от центра О. Выбираем оси, как указано на рисунке, и обозначим длину дуги через s, а ее хорды АВ (=А^⁄В^⁄) - через d. От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси х получается шаравой пояс, площадь поверхности Р которого равна 2πrd.

      

      Рис.2

      По  теореме Гульдина, та же поверхность равна 2πηs, так что Sη = rd и

      η = rd/s.

      В частности, для полуокружности d = 2r, s = πr и η = 2r/π = 0,637r.

      4). В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца (тора), т.е. тела образованного вращением круга около оси, не пересекающей его (рис. 3).