Шпаргалка по "Высшей математике"

Применяем первый способ. Имеем an = 1/n!, an+1 = 1/(n + 1)!.

Следовательно, ряд сходится при любом значении х.

 

 

 

 

 

 

Вопрос 29.  Ряды Тейлора и Маклорена. Разложения некоторых функций в ряд Маклорена.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные  вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно  разложить в степенной ряд  по формуле Тейлора:

 

 где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

 

 Если  приведенное разложение сходится  в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

 

 Если a = 0, то такое разложение называется  рядом Маклорена:

 

Разложение  некоторых функций в ряд Маклорена

    Пример :

 Найти  ряд Маклорена для функции .

Воспользуемся тригонометрическим равенством .

 Поскольку  ряд Маклорена для cos x имеет вид , то можно записать

       

 Отсюда  следует: 

       

    Пример:

 Разложить  в ряд Тейлора функцию  в точке x = 1.

Вычислим  производные:        

 Видно,  что  для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:

       

 Следовательно,  разложение в ряд Тейлора имеет  вид 

    

  Вопрос 30.  Приближённые вычисления с помощью рядов Тейлора; оценка точности.

Рассмотрим  произвольную функцию f(x). Предположим, что для нее в точке существуют производные всех порядков до n-го включительно.

 

Замечание: Например, если f(x) = sinx, тогда . Производная функции так же является функцией, значит, от нее можно найти производную. Таким образом, получим производную второго порядка. Итак, вторая производная функции (или производная второго порядка) – это производная от ее первой производной: . Для рассматриваемой функции f(x) = sinx имеем .

Рассуждая аналогично, получаем, что  производная третьего порядка –  это производная от второй производной  и т.д. Так как производные высших порядков неудобно обозначать черточкам, то принято следующее обозначение: - производная четвертого порядка.

В общем случае справедлива формула: , т. е. n-ая производная функции находится как первая производная от ее (n-1)-ой производной.

Производной нулевого порядка считается  сама функция f(x).

 

Тогда для функции f(x) можно записать ряд Тейлора:

      (1)

Заметим, что здесь мы имеем бесконечную  сумму.

Если  ограничиться несколькими первыми  слагаемыми, то получим приближенную формулу Тейлора:

,  (2)

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции f(x).

Эта приближенная формула позволяет  заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом  Тейлора. Из формулы Тейлора видно, что чем точка x ближе к точке x₀, тем выше точность такой замены и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки x₀, тем выше точность, с которой многочлен Тейлора приближает (заменяет) функцию в этой окрестности.

Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

 

Пусть функция f(x) имеет производные всех порядков в нуле. Тогда, полагая в (1) x₀ = 0, сопоставим этой функции ряд Тейлора:

.   (3)

Рассмотрим  функцию . Запишем для нее разложение в ряд Тейлора. Для этого вычислим производные до n-го порядка включительно.

 

Имеем, , при n = 0, 1, 2, ….

Для функции  формула (3) примет вид .

Доказано, что для любого действительного  числа x

.

Действуя  аналогичным образом, получаем разложения в ряд Тейлора других элементарных функций (см. таблицу 1).

Таблица 1.

Разложение функции в ряд  Тейлора	Ограничения на х

 

 Замечание  о точности вычислений.

 

При некоторых ограничениях на x функция f(x) совпадает с бесконечной суммой – рядом Тейлора. На практике мы не можем производить суммирование до бесконечности. Да и чаще всего требуется найти приближенное значение функции с определенной степенью точности.

Итак, если требуется вычислить значение функции с точностью , то используем разложение данной функции в ряд Тейлора. Добавление нового слагаемого к сумме продолжается до тех пор, пока его абсолютная величина не станет меньше .