Шпаргалка по "Высшей математике"

сопряженных корня λ1 = α +iβ и λ2 = α -iβ , то общее решение исходного

дифференциального уравнения имеет вид

y=,

где 1 c и 2 c –  произвольные числа.

• Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с

постоянными коэффициентами

y”+ω² y = 0,

где ω  0 – вещественное число, называют уравнением гармонических колебаний.

Общее решение  этого уравнения имеет вид

y = c₁sinωx + c₂cosωx ,

где 1 c и 2 c –  произвольные числа. Число ω называют частотой гармонических колебаний.

Пример 5. Решить задачу Коши

y”-6y’+9y = 0, y(0) = 2, y’(0) = 7.

Составим  сначала характеристическое уравнение

-6x +9 = 0 .

Это уравнение  имеет два совпавших корня  λ = λ1 = λ2 = 3. Следовательно, общим решением исходного дифференциального уравнения является функция

y = e ^3x (c1 + c2 x) .

Вычислим  производную этой функции:

y’ = e ^3x(3c1 + c2 + 3c2x) .

Подставляя  в выражения для y и y¢ начальные  условия

y(0) = 2, y’(0) = 7,

получим систему  уравнений:

 

Таким образом, функция y = e3x (2 + x) – решение исходной задачи Коши.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го

порядка с постоянными коэффициентами

• Дифференциальные уравнения вида

ay”+by’+ cy = f (x) ,

где a,b,c – числа, называют линейными неоднородными дифференциальны-

ми уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

• Общее решение линейного неоднородного дифференциального

уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y = y_оо + y_чн,

где y_оо – общее решение однородного уравнения, а y_чн – какое-нибудь решение

неоднородного уравнения (частное решение).

Пример. Решить задачу Коши

y”-5y’+ 4y =8e^5x, y(0) = 7, y¢(0) = 6.

Найдем сначала  общее решение однородного уравнения

y”-5y’+ 4y = 0 .

Для этого  составим характеристическое уравнение

λ² -5 λ + 4 = 0 .

Это уравнение  имеет два различных вещественных корня: λ l =1, λ 2= 4 .

Следовательно, общим решением однородного уравнения  является функция

yo = c1e ^x+ c2e^4x .

Найдем теперь какое-нибудь частное решение неоднородного  уравнения

y”-5y’+ 4y =8e^5x.

Будем искать его в виде

y = Ae^5x .

Тогда

y’ = 5Ae^5x , y” = 25Ae^5x .

Подставив эти  выражения в уравнение, получим:

25Ae^5x - 25Ae^5x + 4Ae^5x = 8e^5x ⇒ A = 2⇒ y = 2e^5x .

Теперь можно  выписать общее решение неоднородного  уравнения:

y = c1e^x + c2e^4x + e^5x

Вычислим  производную:

y’ = c1e^x + 4c2e^4x +10 e^5x .

Воспользовавшись  начальными условиями, получим систему  уравнений:

 

Искомое решение  задачи Коши имеет вид:

y = 8e^x - 3e^4x + 2e^5x .

Вопрос 23.  Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел:

а₁+а₂+а₃+…+а_п                       (1)

(А) а₁+а₂+а₃+…+а_п                (2)-бесконечный числовой ряд

(А):,

a1,a2 – члены ряда, an – общий член ряда

Станем последовательно  складывать члены ряда:

s1=a1, s2=a1+a2, sk=a1+…+ak – частичная сумма ряда

Определение: конечный или бесконечный предел суммы sk ряда (А) при к  называется суммой ряда: s==

Если s есть конечное число, то ряд – сходящийся, в противном случае, если s=, то ряд называют расходящимся.

Пример:

a+aq+aq²+…+aqⁿ=0

<1 сход   s=a/(1-q), sn=a(1-)= lim _n→∞(a/(1-q)-aq²/(1-q))

|q|>1  расх  s=

|q|=1 расх   a1+a2+…+an, sk=ka, lim _k→∞sk=

q=-1  расх                  1, k=2n+1

a=1               sk=    0, k=2n

Определение: если в (А) отбросить первые м слагаемых, то оставшийся ряд будем называть остатком или м-остатком

Необходимое условие сходимости

(А)

Теорема: Если ряд (А) сходящийся, то an имеет предел 0.

(А) - сход→

Следствие: достаточное условие расходимости: если для ряда (А) lim_n→∞an0, то (А) – расходится.

Замечание: теорема, обратная теореме сходимости неверна, те если lim_n→∞an=0, то ряд может сход и расх.

Пример:1+2+…+n-расх

an=n

lim_n→∞an=∞

 

Если  ряд сходится, то будет сходиться  и любой его остаток. Если хотя бы 1 остаток сходится, то ряд будет  сходящимся

a_m+1+a_m+2+…+a_n

Если (А)*к и (А) – сход, то полученный ряд также будет сход, как и сумма

2 сход  ряда (А) и (В) можно почленно складывать или вычитатьтак, что полученный ряд (С) также будет сход и его сумма равна sc=sa sb

Вопрос 24. Признаки сходимости для положительных рядов.

Положительный числовой ряд – это ряд, все  члены которого неотрицательные  числа.

Критерий  сходимости положительных рядов: для  того, чтобы полож ряд (А) сходился, необходимо и достаточно, что бы все его частичные суммы были ограничены сверху числом.

Теорема:

• первый признак сравнения рядов:

пусть даны (А) и (В) – полож, и, начиная с n>N выполнено an≤bn, тогда из сход (В) следует сход (А) и из расх (А) следует расход (В).

Пример: - сход

 

 

1/(n+1)^21/(n2+1)

 

 

1/

• если существует , тогда (А) и (В) ведут себя одинаково.

            Замечание: если lim _(n→∞)⁡an/bn=0, то из сход ряда (В) следует сходимость (А), если          (А) расх, то (В) тоже расход.

Пример:

  – сход

- расход

 

Теорема:

• если, начиная с     для (А) и (В) выполняется неравенство:

(an+1)/an(bn+1)/bn,    (an

тогда из сход (В) следует сход (А), из расх (А) следует расх (В).

Теорема:

• признак Деламбера

если для  положительного ряда (А) существует , тогда:

1) D<1  (А) сход

2) D>1  (А) расход

3) D=1  (А) ?

Пример:

=0 – сход

 

Теорема:

• признак сходимости Коши

Пусть для  положительного ряда (А) существует

1) c<1       (A) – c

2) c>1       (A) – p

3) c=1       (A) =?

Пример:

 

 

Теорема:

• интегральный признак сходимости рядов

Пусть дан  положительный ряд (А) и существует f(x)

1) f(x) определена от 1 до

2) f(x) монотонно убывает

3) , тогда

:

1. сходим, и  (А) сходится

2. расходится, то и (А) расходится

(1) f(x)=c₀+c₁x+…+c_nxⁿ+…

(2) =c₀x+c₁x²/2+…+c_nt⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)+…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 25. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

a1- a2+…+(-1)^(n-1)an=            (1) – знакочередующийся ряд

Теорема Лейбница: если члены (1) монотонно убывают по абсолютной величине, те a_n-1an и стремится к 0, то (1) – сход

1-1/2+1/3-1/4+…

 

1) 1/(n+1) 1/n

2)                ряд сход

Абсолютная  и условная сходимость

                 (1)

      (2)

Теорема: если (2), составленный из модулей членов (1), сходится, то будет сходиться и (1).

Определение: если для данного ряда (1) ряд (2) сходится, то тогда (1) – абсолютно сход. Если (1) сход, а (2) расх, то (1) – не абсолютно сход или условно сход.

Пример:

 – абсолютно сход

- сход

 – условно сход

 – расход

Вопрос 26. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость.

Рассмотрим  ряд,  , членами которого являются функции, определенные на промежутке  . При каждом фиксированном имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда  также является функцией от х:  . По определению предела последовательности: если для  можно указать номер ( что интересно, для каждого фиксированного  - свой номер, т.е. ), такой, что для   выполняется неравенство  , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции . Множество , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть , т.е. функциональный ряд сходится. Если для  можно указать номер независимо от , такой, что для выполняется неравенство , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .  

 

 Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд  с положительными членами, такой, что для всех , начиная с некоторого номера и всех выполняется неравенство , то функциональный ряд сходится на равномерно. Числовой ряд  в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

Вопрос 27.  Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.

Почленное интегрирование

 Теорема: если для     (1) выполнены следующие условия:

1) все члены  fn(t) – непрерывны

2) (1) равномерно  сход к S(x) на [a,b], тогда этот ряд можно интегрировать

Определение: (1) можно почленно дифференцировать на [a,b], если:

 

Почленное дифференцирование

Теорема: если:

1) все члены  ряда f'’n(x) непрерывно дифференцируемы

2) (1) равномерно  сходится к S(x) на [a,b],

3) равномерно сход к S(x) на [a,b], тогда (1) можно почленно дифференцировать на [a,b].

Вопрос 28.  Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости. Свойства сходящихся степенных рядов.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд

, (1)

 

члены которого есть произведения постоянных a0, a1, a2,...,an,... на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (х - а).

 

Постоянные a0, a1, a2,...,an,... называются коэффициентами степенного ряда. В частном случае а = 0 мы имеем степенной ряд вида

. (2)

 

Основное  свойство степенных рядов сформулировано в теореме Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при x = x0, то он сходится, и притом абсолютно, при всяком х, удовлетворяющему условию .

 

Одним из следствий  теоремы Абеля является существование  для всякого степенного ряда интервала сходимости, симметричного относительно х = а [для ряда (1)] или х = 0 [для ряда (2)]. Обозначим через число R половину длины интервала сходимости – радиус сходимости. Тогда интервал сходимости для ряда (1) запишется в виде

 или  a - R < x < a + R,

а для ряда (2) -

 или  .

В частных  случаях радиус сходимости ряда R может  оказаться равным нулю или бесконечности. Если R = 0, это означает, что область сходимости состоит из одной точки х = а, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного. Если же R =  , то ряд сходится на всей числовой оси, т.е. ряд сходится при всех значениях х.

 

На концах интервала сходимости в точках х = а R различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие – либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном сходятся условно, а на другом расходятся; существуют ряды, которые расходятся на обоих концах.

 

Укажем основные свойства степенных рядов. Вначале приведем следующие леммы:

1. Сумма степенного  ряда есть функция непрерывная  в интервале сходимости ряда, т.е. 

  - непрерывна при a - R< x < a + R.

 

2. Степенной  ряд можно почленно интегрировать  в интервале сходимости a - R< x < a + R:

 

  (3)

 

3. Степенной  ряд можно почленно дифференцировать  в интервале сходимости a - R< x < a + R: (4)

 

Более того, степенной ряд в интервале  его сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число  раз.

 

Отметим, что  ряды, полученные почленным интегрированием и дифференцированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

 

Пример. Исследовать сходимость степенного ряда