Шпаргалка по "Высшей математике"

Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δxi и Δyj стремятся к нулю:

 

 

Сведение  двойного интеграла к повторному

1. Случай прямоугольной области

Теорема

Если дифференцируемая функция  f (x,y) определена на промежутке P = [a,b,c,d]

1. и при каждом фиксированном значении x из отрезка [a;b] существует  простой интеграл
2.     (a

Теорема. Если для ф-ии f(x;y) опред-х в области P существует двойной интеграл

 

И при каждом значении x из отрезка [a;b] существует интеграл

1.     (a

То тогда  существует также и повторный  интеграл   и имеет место равенство

=

Вопрос 15. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Большинство задач теоретической  динамики описываются диф. уравнениями.

 

 

 

 

 

Модель боевых действий Ланчестера

x(t) – численность первой армии

y(t) – численность второй

v(s) – скорость изменения численности 1 армии в результате боев

v(b) – в результате болезней 1 армии

v(p) – скорость прибытия подкрепления 1армии

u(s) - скорость изменения численности 2 армии в результате боев

u(b) - в результате болезней 2 армии

u(p) - скорость прибытия подкрепления 2 армии

 

 

 

 

 

 

Модель короткого боя

 

 

Основные понятия

Уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, функцию у, ее производные у’, у’’, до некоторого порядка мы будем называть обыкновенным дифференциальным уравнением.

     (1)

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения.

 называется решением (1) на промежутке I, если:

1. y=φ(x) n раз непрерывно дифференцируема на I;
2. при подстановке y=φ(x) и ее производных в уравнение (1) на промежутке I, уравнение обращается в тождество

F(x,

Пример:

y=(

y=c*

y’=(

y=

Решением уравнения (1) называется интеграл. Как правило, интеграл решения  диф уравнения порядка n содержит m произвольных постоянных.

График решения дифференциального  уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

У=f(x, c1, c2…, cn) называется общим решением (1) в некоторой область C1, если любое решение этого уравнения получается  из подходящим выбором произвольных постоянных с1, с2.. cn. Любое конкретное решение, полученное из общего путем подстановки с1, с2… cn.

Чтобы выбрать частное решение  из общего решения, задаются условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 16. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

F(x, y, y’)=0     (1’)

Если решение уравнения (1’) удается выразить через элементарные функции и через элементарных функций, то тогда мы будем говорить, что такое уравнение, интегрируемое в квадратурах.

Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с  разделяющимися переменными называется уравнение вида   (1) или уравнение вида    (2)

Для того, чтобы в уравнении (1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия: ;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение  y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (1).

Уравнение (2) приводится к уравнению  с разделенными переменными делением на произведение :

 , что позволяет получить общий интеграл уравнения (2):     .  (3)

Интегральные кривые (3) будут дополнены  решениями  , если такие решения существуют.

Пример:y’=(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   Вопрос 17. Линейные уравнения (метод вариации постоянной). Уравнение Бернулли.

 

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение  вида

,                                                (1)

 

линейное относительно неизвестной функции y(x) и ее производной. Если в уравнении (1) правая часть , то уравнение

                                                       (2)

 

называется линейным однородным уравнением, которое является уравнением с разделяющимися переменными.

Решим уравнение (2):

, ,

  , где c принимает любые

 

положительные и отрицательные  значения, соответствующего данному неоднородному (то есть имеющее =такую же левую часть, что и уравнение (1)), то общее решение неоднородного уравнения может быть получено методом вариации произвольной постоянной/

y’+u(x)y=b(x)                                                  (1)

y’+u(x)y=0                                                       (2) 

1. решаем уравнение (2)
2. с в у_оо=f(x, c) заменяем на u(x), те рассматриваем y=f(x, u(x)) и подставляем. находим u(x), подставляем вместо с. Получаем общее однородное решение (1).

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде

 

 где a(x) и b(x) − непрерывные  функции. 

 

 Если m = 0, то уравнение Бернулли  становится линейным дифференциальным  уравнением. В случае когда m = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

y=v*u

y’=u’v+uv’

y’+2y=y²*e^x

u’v+uv’+2uv=u²v²e^x

u’v+u(v’+2v)= u2v2ex

v’+2v=0

dv/dx=-2v

∫dv/v=-2∫2x

 

v=e^-2x

u’e^-2=u²e^-4xe^x

∫du/u²=∫e^-xdx

-1/u=-e^-x-c

u=1/(e^-x+c)

y=1/(e^x+ce^2x)

Вопрос 18. Однородные уравнения.

Рассмотрим G={(x,y); a≤y/x≤b}

y=f(x) называется положительно однородной степени м, если для любого t>0:

f(t_x, t_y)=t^mf(x,y)

Пример:f(x,y)=2x²-3xy+y²

f(t_x, t_y)=2t²x²-3t²xy+t²y²=t²(2x²- 3x²+y²)=t²f(x,y)

Уравнение y’=f(x,y)     (1)

называется однородным в G, если в его правой части стоит однородная функция нулевой степени.

f(tx, ty)= f(x,y)

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0     (1’)

Уравнение (1’) будет однородным, когда P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одной и той же степени.

Теорема: пусть однородное уравнение (1) в G удовлетворяет след требованиям:

1. f(x,y) непрерывна в G
2. уравнение к-к f(1,к)=0   (2), не имеет корней в G
3. через каждую точку G проходит единственная интегральная кривая, и интегрирование (1) сводится к интегрированию с разделяющимися переменными

Если  к0 – корень (2), то кривая к0х – решение (1), это может быть особым решением.

Пример:xdy=(x+y)dx

P(x,y)=-(x+y), Q(x,y)=x

P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0

P(t_x,t_y)=-(tx+ty)=-t(x+y)=t*P

Q(tx,ty)=tx=t*Q

y=u(x)*x

dy=xdu+udx

xdu+udx=dx+udx

xdu=dx      x=0

∫du=∫dx/x

u=+

y=x*lnc

y’=f((a₁x+b₁y+c₁)/(ax+by+c))

Данное  уравнение сводится к однородному:

1. переносом начала координат в т пересечения прямых
2. если прямые не пересекаются, то тогда a1x+b1y+c1=к(ax+by)

y’=F(ax+by),которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

z= ax+by(или z= ax+by+c)

Рассмотрим (2x-4y+6)dx+ (x+y+3)dy=0

 

(2u+2-4v-8+6)du+(v+1+v+2-3)dx=0

(2u-4v)du+(u+v)dv=0

v=z(u)*u

2u-4z(u)*u+(u+z(u)u)d(z(u)u)=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 19.  Уравнения в полных дифференциалах.

P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0                         (1)

В дальнейшем будем считать, что P,Q непрерывно дифференцируемыи одновременно в 0 не обращаются. Если (x₀,y₀)D:

, - решение (1)

Определение: будем говорить, что (1) – диф уравнение в полном диф в Д, если левая часть этого уравнения является полным диф u(x,y)

du=u’_xdx+ u_ydy – полный диф

((1) –  уравнение в полном диф)u(x,y)

du=Pdx+Qdy

Теорема: если (1) в области Д – уравнение в полном диф, то для этого уравнения выполняется тождество:

 

Если (1) является уравнением в полном дифференциале  в Д, те тогда через каждую точку Д проходит единственная интегральная кривая.

u(x,y)=c

Пример: (2x+3x²y)dx+(x³-3y²)dy=0

P=2x+3x²y, Q=x³-3y²

∂P/∂y = ∂Q/∂x

3x²=3x²

du=(Pdx+Qdy)/(u(x,y)+c)

u’_x=P

u’_y=Q

u(x,y)= ∫(2x+3x²y)dx=x²+x³y+c(y)

u’_y=x³+c’_y

x³+c’_y= x³-3y²

c’_y=-3y²

c=-3∫y²dy=-y³

u(x,y)=c

x²+x³y-y³=c

Вопрос 20. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть дано уравнение y’=f(x,y)        (1)

y(x₀)=y₀                                               (2) 

(1) и (2) –задачи Коши

Теорема: пусть в замкнутой области R={(x,y), ≤a, |y-y₀ |≤b,}

f и f’- непрерывны, тогда на некотором отрезке существует единственное решениеу равнения (1), удовлетворяющее (2)

Замечание: f’y можно заменить требованием ее ограниченности или условие Липшица, которое выглядит след образом:

k=const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 21.  Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

F(x,y,y’,y”, …, y⁽ⁿ⁾)=0               (1)

1) в уравнении (1) не входит искомая функция у и производные до н-порядка, тогда порядок можно понизить, взяв за:

F(x,y⁽ⁿ⁾,y⁽ⁿ⁺¹⁾,…,y^(k))=0

новую неизвестную функцию, низшую из производных, входящих в уравнение, те сделать замену: z=y^(k) 
Пример:

f(x,y’,y”)=0

z=y’

F(x,z,z’)=0

y’=z(x,c1)

y=∫z(x,c1)dx+c1

y=   

2)  Уравнение (1)не входит в нез. х, тогда

F(y,y’, …, y^(k))=0

порядок уравнения можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизв. функцию y’=p(y)

Пример: 2yy”-(y’)²+1

p(y)=y’

d/dx(p(y))=dp/dy*dy/dx=p’*p

2y*p’*p=p²+1

dydp/dyp=p² +1

∫(2pdp/(p²+1))=∫dy/y

ln(p²+1)=lny+lnc

p²+1=cy

3. если уравнение (1) относительно у, ее производных и показатель равен м, тогда порядок понижается с помощью замены:

 y’=zy

Пример: y”y’+y²=0

y’=y’z+z’y=yz²+z’y

y²(z²+z’)z+1=0

Вопрос 22.  Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные). Задача Коши.

Дифференциальные  уравнения вида

ay”+by’+ cy = 0,

где a,b,c – числа, называют линейными однородными дифференциальными

уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решение таких  уравнений осуществляется по следующей  схеме:

1) Сначала решается квадратное уравнение

aλ² +bλ +c = 0 ,

которое называют характеристическим уравнением для исходного диффе-

ренциального уравнения.

2) Если характеристическое уравнение имеет два различных веществен-

ных корня λ₁ и λ₂ , то общее решение исходного дифференциального урав-

нения имеет  вид

y=c₁e ^λ1x+c₂e ^λ2x

где 1 c и 2 c –  произвольные числа.

3) Если характеристическое уравнение имеет два совпавших веществен-

ных корня λ₁ = λ₂ = λ , то общее решение исходного дифференциального

уравнения имеет  вид

y=e ^λx(c1+c2x)

где 1 c и 2 c –  произвольные числа.

4) Если характеристическое уравнение имеет два комплексно-