Шпаргалка по "Высшей математике"

Вопрос 1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных неопределённых интегралов.

 

Пусть функция  f(x)  задана на некотором интервале (a;b) с R  . Если найдётся такая функция F(x) , что при всех  имеет место равенство F’(x)=f(x),  то функция F(x)  называется первообразной для функции f(x).

 

Выражение вида ∫ f(x)dx называется интегралом от функции f(x), где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x, с символом ∫  всегда присутствует dx.

 

Неопределенным интегралом ∫ f(x)dx  называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное  C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. ∫ f(x)dx = F(x)+C или d(F(x) + c)=  f(x)dx 

 
Решить интеграл – это значит найти определенную функцию F(x)+C , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Свойства неопределённого интеграла

Свойство 1.  Производная от неопределённого  интеграла равна подынтегральной  функции, то есть если   F’(x)=f(x),  то

                                                                       (∫ f(x)dx)’=( F(x) + C)’=f(x)

Свойство 2.  Дифференциал от неопределённого  интеграла равен подынтегральному выражению d( ∫ f(x)dx) = f(x)dx

 

Свойство 3.  Неопределённый  интеграл от дифференциала некоторой функции  равен сумме этой функции и  произвольной константы

 

Свойство 4.  Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме  неопределённых интегралов

  Свойство 5.  Неопределённый  интеграл от разности функций  равен соответствующей разности неопределённых интегралов

Свойство 6.  Постоянный множитель  можно выносить за знак интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов.

 

 

Вопрос   2. Методы интегрирования (замена переменной в неопределенном интеграле и формула интегрирования по частям).

I. Метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала.

– Замена переменной.

1. Замена переменной

Пусть требуется  найти неопределенный интеграл ∫ f(x)dx. Сделаем замену в подынтегральном выражении, положив x=φ(t) , где φ(t) — монотонная непрерывная функция, которая имеет непрерывную производную. Тогда dx = φ’(t)dt  . В этом случае имеет следующее равенство:

∫ f(x)dx=∫f [φ(t)]) φ’(t)dt 

 

2) Подведение функции под знак дифференциала

Пусть требуется  вычислить ∫ f(x)dx  Предположим, что существуют дифференцируемые функции u = φ(x) и g(u) , такие, что f(x)dx=g[φ(x)]) φ’(x)dx, тогда

 

 ∫  f(x)dx=∫g [φ(x)]) φ’(x)dx= ∫ g(u)du

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением  под знак дифференциала.

 

 II. Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого  интеграла:                 

для определенного:

 

 

Вопрос 3. Интегрирование рациональных дробей. Простейшие рациональные дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби.

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Если дробь неправильная (т.е. степень  числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим  следующее выражение:

 где - правильная рациональная дробь.

 

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

 

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

Общее число неопределенных коэффициентов  Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).

 

 Затем умножим обе части  полученного уравнения на знаменатель  Q(x) и приравняем коэффициенты  при слагаемых с одинаковыми  степенями x. В результате мы  получим систему линейных уравнений  относительно неизвестных коэффициентов  Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

 

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

  

 

Простейшие  рациональные дроби.

К ним относятся:

1)  

2) , где m - целое число, большее единицы;

3) ,где , т.е квадратный трехчлен не имеет действительных корней  

4) , где n - целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен  не имеет действительных корней

Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a - действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, IV типов.

 

Вопрос 4. Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование от биномиального дифференциала. Подстановки Эйлера.

 

Существует  нес-ко методов интегрирования иррациональных дифференциалов.

1. Метод замены переменной
2. Формула интегрирования по частям
3. Рассмотрим еще 1 метод вычисления интеграла иррац. выражений, который называется методом рационализации.

Нужноподобрать замену переменной так, чтобы интеграл от ир.выражения стал интегралом от рац. дроби.

1. ∫R(x, λλ)dx - всегда вычисляется в эл-х функциях, т.к. подынтегральное выраж-е рационализируется след. Подстановкой:

t=

∫R(x, ; …)  - рационализируется след. Подстановкой t=, где - нименьший общий кратное в знаменателе r₁, r₂…r_n.

 

Интегрирование биномиальных дифференциалов

Теорема. рационализуется лишь в трех случаях:

1. подстановка где k - общий знаменатель m и n;
2. подстановка где k - знаменатель p;
3. подстановка где k - знаменатель p.

 

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида где у =(ах² + bх+ с)^1/2 и R (х, у) - рациональная функция от x и у, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 5. Интегралы от тригонометрических функций.

Интегралы вида

всегда  рационализует универсальная подстановка :

Специальные подстановки 

 

     1) Если R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.

 

     2) Если R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.

 

     3) Если R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t.

 

 

 

Вопрос 6. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к определенному интегралу. Определение интеграла по Римана. Необходимое условие интегрируемости.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом  интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых  стремится к нулю:

Где

Задачи, приводящие к определенному интегралу

 

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

 

В декартовой прямоугольной системе  координат хОу дана фигура (рис. 153), ограниченная осью х, прямыми х=а,х=Ь (а <Ъ) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а, Ь] функции у = f(х); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.

 

Решение. Геометрия дает нам рецепты для  вычисления площадей многоугольников  и некоторых частей круга (сектор, сегмент). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая  следующим образом.

 

Разобьем отрезок [а, Ь] (основание  криволинейной трапеции) на п равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек

 

 

 Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [x_n; x_n-1]  Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(х_к) (рис. 154). Площадь прямоугольника равна длина отрезка [x_n; x_n-1]; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади к-то столбика.

 

Если теперь сделать то же самое  со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь 5 заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади 5. ступенчатой  фигуры, составленной из п прямоугольников (рис. 155). Имеем:

Здесь ради единообразия обозначений  мы считаем, что

Задача 2 (о вычислении массы стержня).

Дан прямолинейный неоднородный стержень (рис. 156), плотность в точке х  вычисляется по формуле р=р(х). Найти массу стержня.

Решение. Масса тела, как известно из курса физики, равна произведению плотности на объем (вместо объема берут  площадь — если речь идет о плоской  пластине; вместо объема берут длину  — если речь идет о прямолинейном  стержне без учета его толщины). Но этот закон действует только для  однородных тел, т.е. в тех случаях, когда плотность постоянна. Для  неоднородного стержня используется тот же метод, что был применен при решении задачи 1.

Задача 3 (о перемещении  точки).

 

По  прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t); пусть для определенности t>(f) >0. Найти перемещение точки за промежуток времени [а, Ь].

Решение. Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач.

 

1)    Разделим промежуток времени  [а, Ь] на п равных частей.

2)    Рассмотрим промежуток времени [x_n; x_n-1]  и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени. Итак, мы считаем, что v = v (t4).

3)    Найдем приближенное значение  перемещения точки S_k за промежуток времени

4. Найдем приближенное значение перемещения S:

5. Точное значение перемещения вычисляется по формуле 

 

 

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Пусть на отрезке  определена действительная функция f. Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a;b]  на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков , где называется диаметром разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения  по точке  .  Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении диаметра разбиения  к нулю интегральные суммы стремятся  к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции f на отрезке [a;b], т.е.

 

 

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a;b]; в противном случае f  является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a;b].

 

 

Теорема. Необходимое условие интегрируемости.  
Если ф-ия f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то она обязательно и ограничена на этом отрезке.

 

Вопрос 7. Классы интегрируемых функций. Свойства интегрируемых функций.

Классы интегрируемых  функций

1. Интегрируемость непрерывных функций

Теорема

Если функция непрерывна на отрекзке [a;b] и ограничена на нем, то такая функция интегрируема на  [a;b]

2. Интегрируемость монотонных функций

Если функция y=f(x) монотонно возрастает(убывает) на [a;b] и ограничена на нем, то такая функция интегрируема на  [a;b]

3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций