Шпаргалка по "Высшей математике"

 Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна всюду за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода, то такая функция интегрируема на  [a;b]

Теорема.

Если ф-ия кусочно-непрерывна на отр.  [a;b], то такая функция интегрируема на  [a;b]

Свойства  интегрируемых функций

Теорема 1. Если функция y=f(x)  интегрируема на отрекзке [a;b], то и ф-ия kf(x),        k –const, интегрируема на отрекзке [a;b]

Теорема 2. Если функция f(x) и g(x) интегрируемы на отрекзке [a;b],то их разность, сумма и произведение – интегрируемые функции

Теорема 3. Пусть ф-ия f(x) интегрируема на отрекзке [a;b], отр. [α; β] [a;b], тогда ф-ия f(x) будет интегрируема на отр. [α; β]

Емли отрезок [a;b] разбит на 2 части точкой С и ф-ия f(x) будет интегрируема на каждом из полученных открезков, тогда y=f(x) – интегрируема на [a;b].

Теорема 4.

Если  ф-ия y=f(x) интегрируема на [a;b], то она останется интегрируемой, если значение ее изменить в конечно числе точек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 8. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем значении

1. Интеграл по ориентированному промежутку

Опред. Под ориентированным отрезком [a,b] понимается множество точек, заключенных между a и b с заданным на нем направлением.

1. a<b, то аргумент  x      от a до b, axb
2. a>b, то аргумент  x      от a до b, axb

Если  функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] в направлении от a к b, то имеет место равенство 

2. Если интегрируемую функцию умножить на const, то полученная функция будет интегрируемой и имеет место равенство

 

3. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы, то их сумма и разность также являются интегрируемыми функциями и имеет место равенство

 

4. Если функция интегрируема на [a,b]  и отр. [a,b]  делится на 2 части точкой С, то функция интегрируема на каждом из отрезков и имеет место формула:

                            

 

5. Пусть y=f(x) –интегрируема на [a,b] и для т. X выполнено следующее неравенство f(x)>0;

• a<b, тогда     ;     следствие    
• a>b , тогда   .

6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b],

Тогда

Замечание: Если )

                то          a<b   

Если a>b, знак меняется на противоположный.

7. Если ф-ия f(x) интегрируема на [a,b] , то на этом же промежутке интегрируема и ф-ия |f(x)| и имеет место формула:

  a<b

ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ

Если ф-ия y=f(x) - интегрируема на [a,b] и существуют числа M и m;  : m, то тогда существует число , такое, что m

       

       Следовательно 

 

В случае, если y=f(x) - непрерывна на [a,b], то т.о среднем формулируется след образом: числа M и m;  : m

 

 

Вопрос 9. Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу.

Рассмотрим функцию  , заданную на отрезке , и предположим, что она интегрируема на отрезке . Тогда при любом   эта функция будет интегрируема на отрезке и, следовательно, функция

  определена при всех , непрерывна

ТЕОРЕМА 1

Если  ф-ия f(x) интегрируема на отр. [a;b], то ф-ия непрерывна на [a;b]

ТЕОРМА 2

Пусть y=f(x)  непрерывна на [a,b] , тогда интеграл с переменным верхним пределом

будет дифференцируемой  ф-ей на [a;b]

имеет место формула () = f(x)

Следствие: из т.вытекает, что всякая непрерывна на отрезке [a,b] функция имеет первообразную на этом отрезке. Одной из этих первообразных является функция

 

Вопрос 10. Основная теорема интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница). Приложения интегрального исчисления (вычисление длины дуги кривой, нахождение площади криволинейной трапеции, вычисление объемов тел вращения). Принцип Кавальери.

 

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) одна из ее первообразных

                                                                        b

тогда      = F(b) – F(a)

                                                                        a

1. Вычисление длины дуги всевозможных ломаных вписанных в кривую ограниченных сверху одним и тем же числом, то такую кривую называют спрямляемой, а верхнюю грань длиной кривой.

Если же длины ломаных не ограничены сверху, то кривая – неспрямляемая.

 

Теорема 2. Пусть y=f(x) непрерывна, дифференцируема на [a;b], тогда кривая, являющаяся графиком этой функции будет спрямляемая и длина ее вычисляется по следующей формуле

Предположим, что  кривая l задается параметрическим уравнением

(l)_i  =                 где

  

Будем считать, что функции x(t) и y(t) определены непрерывны и непрерывно дифференцируемы на ;         x’(t) > 0

              

 

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

 

В декартовой прямоугольной системе  координат хОу дана фигура (рис. 153), ограниченная осью х, прямыми х=а,х=Ь (а <Ъ) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а, Ь] функции у = f(х); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.

Решение. Геометрия дает нам рецепты для  вычисления площадей многоугольников  и некоторых частей круга (сектор, сегмент). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем  отрезок [а, Ь] (основание криволинейной  трапеции) на п равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек

 Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [x_n; x_n-1]  Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(х_к) (рис. 154). Площадь прямоугольника равна длина отрезка [x_n; x_n-1]; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади к-то столбика.

 

Если теперь сделать то же самое  со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь 5 заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади 5. ступенчатой фигуры, составленной из п прямоугольников (рис. 155). Имеем:

Здесь ради единообразия обозначений  мы считаем, что

 
Площадь поверхности  тел вращения

    Пусть кривая АВ задана  уравнением y = f (x), а ≤ х ≤ b, и пусть функция y = f (x) неотрицательна  и непрерывна вместе со своей  первой производной на отрезке  [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением кривой АВ вокруг оси ОХ, имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле                          S =

Принцип Кавальери —Если любая плоскость, параллельная данной, пересекает два тела по фигурам равной площади, то объемы этих тел равны.

 

 

 

 

 

 

Вопрос 11. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) – непрерывны дифференцируемы на [a,b], тогда имеет место формула :

 

 

 

ЗАМЕНА переменной.

Теорема. Пусть требуется вычислить интеграл , где непрерывна на отр. [a;b]. 
Предположим, что есть функция, которая удовлетворяет следующим условиям:  
1) Ф-ия u(t) – определена и непрерывна и непрерывно дифференцируема при

2. При изменении t от функция u(t)  не выходит за пределы отрезка [a;b]. Или по крайней мере за область определения функции f(x)
3.      

следовательно интеграл можно вычислить по след формуле:

=

 

Вопрос 12.  Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

 

Пусть функция f(x) определена на полуоси   и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при   называется несобственным интегралом функции f(x) от a до   и обозначается .

 

Итак, по определению                                                                                                 

 

Если  этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Примеры.

этот  предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

 

 

 

 

 

 

 

Абсолютная  и условная сходимость.

Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку ,

сходится и интеграл по этому же промежутку, то первый интеграл называется Абсолютно сходящимся.

Если интеграл  Сходится, а интеграл   расходится, то первый интеграл называется Условно сходящимся.

 

Признаки сходимости.  
1) Пусть даны 2 несобственных интеграла (1) и (2) от неотрицательных функций

 

Тогда 

• из сходимости интеграла (2)  следует сходимость  интеграла (1)
• Если интеграл (1) расходится, то расходится интеграл (2)

3. Пусть даны интегралы (1) и (2) и существует    (0<k<+),

Тогда интегралы 1 и 2 ведут себя одинаково:

• Если сходится 1, сходится 2
• Если расходится 2, расходится 1

Несобственный интеграл от неограниченной функции

Пусть дана функция y=f(x) определенная на пр. [a,b],

Определение.

 Под интегралом на промежутке  [a,b] от неограниченной функции называется след выражение

 

 

                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 13. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.

z=f(x;y)   определена в прямоуг. P

(P) = {(x; y); a   } и пусть при каждом y из отрезка [c; d]  функция интегрируема по аргументу x на отрезке [a; b]

Определение. Рассмотрим функцию (1) J(y) =

1)Теорема. Пусть функция z=f(x;y) непрерывно в прямоугольнике (P), тогда интеграл (1) будет также непрерывной функцией на отр. [c; d]

2) (2) J*(y) =       

Теорема. Если функция z=f(x;y)   непрерывна в прямоугольнике P; функции - непрерывны на отрезке [c; d], то и интеграл (2) будет непрерывной функцией на [c; d].

Замечение. Если один из пределов в интеграле (2) будет const, то результат будет тем же самым.

 

Дифференцирование интегралов по параметру.

Будем считать, что в прямоугольнике P функция z=f(x;y)   -непрерывна дифференцируема и существует частная производная f ’(y)

Теорема Лейбница.

Если функция  f(x; y) непрерывна и имеет непрерывные частную производную от f’_xy в прямоуг. Р,  то интеграл (1) будет фукцией, дифференцируемой по н и имеет место формула:

 

Теорема. Пусть  функция  непрерывна и дифференцируема в прямоугольнике P, имеет непрерывную частную производную в прямоугольнике P, ; функции - непрерывны на отрезке [c; d], то и интеграл (2) будет дифференцируемой функцией по y и имеет место формула:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВОПРОС 14. Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Сведение двойного интеграла к повторному.

Понятие интеграла  может быть расширено на функции  двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

где R - область  интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Рис.1                                                                 Рис.2

Формально двойной  интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник

(рисунок 2). Используя ряд чисел  { x0, x1, ..., xm }, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение

Аналогично, пусть множество чисел  является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства

Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение

 

Где (u_i, v_i)  - некоторая точка прямоугольнике  и .