Решение алгебраических неравенств с одной переменной

где действительные корни многочлена кратности соответственно и - трехчлены, которые не имеют действительных корней.

Подставив разложение f(x) в неравенство, получим:

Пусть для определенности первые s корней многочлена, стоящего в левой части неравенства (2), нечетной кратности, то есть а остальные корни четной кратности .

Применяя последовательно  теорему 15 и эквивалентные преобразования 2 и 3, получим:

~ ~

Разделив неравенство  число a, получим эквивалентную конструкцию неравенств:

~

где

Корни нечетной кратности  многочлена f(x) разбивают числовую ось на промежутки знакопостоянства (для определенности их занумеровали в порядке возрастания): В каждом из этих числовых промежутков функция имеет постоянный знак. Действительно, только при переходе через однократный корень функция меняет знак, ибо в этом случае один и только один из сомножителей изменит знак (тот из сомножителей, который при обращается в нуль). Установив числовые промежутки, в которых тождественно истинным является неравенство или неравенство , и, исключив из них те значения переменной, при которых многочлен f(x) обращается в нуль (корни четной кратности), получим множество всех решений неравенства f(x)>0. Решения будут содержаться ИЛИ в первом числовом промежутке, ИЛИ во втором, ИЛИ и т. д., ИЛИ в последнем числовом промежутке, то есть полученные числовые промежутки объединяются операцией дизъюнкции.

Рассмотренный метод  решения неравенств высших степеней называется методом интервалов.

Пример. Решить неравенство

Решение: Неравенство можно записать так: . При всех значениях выражение положительное. Значит, решением неравенства будут все значения . Искомое решение состоит из объединения двух числовых промежутков.

Ответ:

 

 

3.5. Решение  конструкций неравенств второй и высших степеней

Рассмотрим вопрос практического  нахождения множества всех решений  конструкции неравенств, компонентами которой являются неравенства степени  выше первой. Пусть дана конструкция неравенств   (1). Множество всех ее решений состоит из тех значений переменных, которые являются решением И компонента , И компонента , и т. д., И компонента , ибо компоненты объединяются операцией конъюнкции. Для определения искомого множества решений находим решения каждого компонента и отмечаем их на оси, затем выделяем множество тех значений переменной, которые являются решениями И компонента , И компонента , и т. д., И компонента , то есть определяем пересечение множеств решений каждого компонента. Оно и составит множество всех решений конструкции (1).

Пример.

Решить конъюнкцию неравенств

Решение: Проведем следующие эквивалентные преобразования:

~

Решением первого компонента являются два интервала х<-2 и x>-1(рис. 5а), второго компонента – интервал – 1<x<1 (рис. 5б), а третьего компонента –

 

а)

 

б)

 

в)

 

интервалы x<0 и x>3 (рис. 5в). Наносим решения каждого компонента на числовую ось и находим решение данной конъюнкции неравенств (рис. 6).

Ответ: -1<x<0.

 

 

 

Рассмотрим теперь, как  находятся решения конструкции неравенств, у которой все компоненты объединены операцией дизъюнкции

   (2)

Множество всех решений  конструкции (2) состоит из тех значений переменных, которые являются ИЛИ  решением компонента , ИЛИ компонента , ИЛИ и т. д., ИЛИ Компонента . Практически решение конструкции (2) часто находят, используя геометрическую иллюстрацию решения. Находим множество всех решений каждого компонента, наносим их на числовую ось и определяем на этой оси объединение всех решений.

 

 

3.6. Решение  нестрогих неравенств второй и высших степеней

Рассмотрим решение  нестрогого неравенства f(x) , где f(x) многочлен степени .

Предварительно рассмотрим следующие эквивалентные преобразования.

4. ~ Действительно, неравенство тождественно истинное, поэтому произведение двух сомножителей И неотрицательное, когда ИЛИ ИЛИ , то есть ~

5. ~

Действительно, запишем следующую последовательность эквивалентных преобразований: ~ ~ ~ ибо является решением нестрогого неравенства . Применим эквивалентные преобразования 4 и 5 к решению неравенства .Разложив левую часть неравенства на произведение неприводимых многочленов, получим эквивалентное нестрогое неравенство

Применив последовательно  теорему 15 и преобразования 4 и 5, получим:

~    

где - корни нечетной кратности, а - корни четной кратности многочлена f(x).

Итак, решение нестрогого неравенства  сводится к решению дизъюнкции неравенств (1).

Пример. Решить нестрогое неравенство

Решение: ~

Применив метод интервалов для решения нестрогого неравенства  получим:

~ 

 

 

3.7. Решение дробно-рациональных неравенств

Дробно-рациональным неравенством называется такое неравенство, которое  можно привести с помощью эквивалентных  преобразований к виду

 (1)     или    (2)

Неравенство (1) можно заменить эквивалентным неравенством а неравенство (2) – эквивалентной конструкцией неравенств

Неравенства и представляют собой, вообще говоря, неравенства степени выше первой и решения их рассмотрены в пунктах 4, 5, 6.

Пример. Решить неравенство

Решение: Неравенство эквивалентно неравенству . Приведя выражение, стоящее в левой части последнего неравенства, к общему знаменателю, получим неравенство (знаменатель не отбрасывается!), которое эквивалентно неравенству (теорема 4). Далее находим корни многочлена, стоящего в левой части неравенства, и, применяя метод интервалов, получим, что решением неравенства будут все значения х из промежутков -3<x<-2, . (рис. 7).

Ответ:

 

 

3.8. Решение иррациональных неравенств

Иррациональным неравенством называется неравенство вида, где - алгебраическая иррациональная функция. Функция будет иррациональной, если ее закон соответствия задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задан с помощью рационального алгебраического выражения.

В начале отмечалось, что  неравенства рассматриваются только в поле действительных чисел. Поэтому, решая иррациональное неравенство, нужно учитывать, что допустимые значения для переменных и для  радикалов должны удовлетворять следующим дополнительным условиям:

А. Подкоренное выражение радикалов четной степени должно быть неотрицательным.

Б. Значения радикалов четной степени неотрицательны, то есть .

При решении иррациональных неравенств или уравнений, содержащих только один радикал четной степени, применяются следующие эквивалентные преобразования:

6. ~

7. ~

8. ~

9. ~

Пример. Решить неравенство .

Решение: Заменим данное неравенство эквивалентной конъюнкцией неравенств (эквивалентное преобразование 7) и решим ее, используя свойства конъюнкции и дизъюнкции:

~ ~ ~ ~ ~  ~ x>2.

Решение можно несколько  упростить, если использовать метод  интервалов.

При решении иррациональных неравенств и уравнений иногда полезно  ввести новые вспомогательные переменные.

Пример. Решить неравенство .

Решение: Обозначим через y, получим где (условие Б). Данное неравенство перепишем так:

Решаем его: ~ ~ ~ y>1.

Итак, ~

Решение последнего неравенства состоит из совокупности двух числовых промежутков

 

 

3.9. Решение  иррациональных неравенств и  уравнений, содержащих переменную  под знаком двух и более радикалов четной степени

Пусть дано иррациональное неравенство 

(1)

В неравенстве (1) левая  правая части положительные, поэтому  при возведении в четную степень  эквивалентность не нарушается, если будет выполнено условие А, отмеченное в начале §3.8 (эквивалентное преобразование 6). Поэтому имеют место следующие эквивалентные преобразования:

10. ~

11. ~

В первой конъюнкции неравенств записано f(x)>0, потому что в неравенстве (1) левая часть не может равняться нулю, так как правая его часть неотрицательная.

Если неравенство содержит два и более радикала четной степени  с переменными и переменную, которая  не содержится под знаком радикала, то решение неравенства иногда усложняется.

Пример. Решить неравенство

Решение: Предварительно упростим данное неравенство, умножив его на положительное выражение (по условию Б ), и проведем эквивалентные преобразования:

~ ~ ~ ~ ~ ~ x>81.

 

3.10. Решение  иррациональных неравенств и  уравнений, содержащих переменную  под знаком радикала нечетной степени

 

Рассмотрим решение неравенств, содержащих переменную под знаком радикала нечетной степени. Решение проводится таким же путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования.

12. ~

13. ~

Пример. Решить неравенство

Решение: ~ ~ ~ ~ ~

Ответ:

Пусть требуется решить неравенство вида

      (4)

или  

   (5)

Для решения таких  неравенств целесообразно использовать метод интервалов.

Сначала установим, при  каких значениях переменной левая  часть неравенства равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение, которое назовем соответствующим 

. (6)

Далее находим область  определения данного неравенства. Затем находим корни уравнения (6) на числовую ось, на которой отмечаем также область определения неравенства. Пусть, например, область определения неравенства (4) или (5) состоит из двух числовых промежутков a<x<b и c<x<d (рис. 6), а - корни уравнения (6).

Корни уравнения (6) разбивают  область определения неравенства  на промежутки знакопостоянства. Функция  меняет знак при переходе через корень нечетной кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный. В рассматриваемом на рисунке 6 примере такими числовыми промежутками будут промежутки ,

 

 

 

.Далее определяем в каждом  из отмеченных числовых промежутков  знак функции Для определения знака функции достаточно взять любое число из соответствующего промежутка, подставить в функцию вместо переменной x и установить знак полученного числового выражения. Те числовые промежутки, в которых функция положительная, будут решением неравенства (4), ибо любое значение переменной, взятое из этих числовых промежутков, обращает его в истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки образуют множество решений неравенства (5).

Пример. Решить неравенство

Решение: Сначала находим решение соответствующего уравнения Корнем уравнения будет . Областью определения неравенства является множество действительных чисел. Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два числовых промежутка: и . Взяв любое число (например, х=0) из первого промежутка и подставив в неравенство, получим: - ложное числовое неравенство. Значит, числовой промежуток  не входит в решение неравенства. Значение х=2, взятое из числового промежутка , обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство . Значит, числовой промежуток является решением неравенства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Примеры

 

1. Решить неравенство: ax+3>x-1.

Решение:

ax+3>x-1 ~ ax-x>-4 ~ x(a-1)>-4 ~

~ ~ .

Ответ: .

Решить следующие конъюнкции неравенств:

2. .

Решение: ~ ~ ~ x>1,9.

Ответ: x>1,9.

3. .

Решение: ~ ~ ~ Л.

Ответ: нет решения.

4. .

Решение: ~ ~ .

Ответ: .

Найти область определения  функции:

5. .

Решение: ~ ~ .

Ответ: .

Решить следующие неравенства:

6.

Решение: ~ ~ ~ .

Ответ: .

7. .

Решение: ~ ~ ~ .

Ответ: .

8. .

Решение: ~ ~ ~ Л.

Ответ: нет решения.

9. .

Решение: ~ ~ ~ ~ .

Ответ: .

10. .

Решение:

ОДЗ:

,

~ ~

~                            или                    ~ ~ Нет решения т. к. .

~                        или                   ~ ~ Нет решения.

Ответ: 1<x< .