Решение алгебраических неравенств с одной переменной

Федеральное агентство  по образованию  
Новосибирский государственный  
педагогический университет 
Институт физико–математического и  
информационно–экономического образования 
Кафедра математического анализа

 

 
 
 
 
КУРСОВАЯ РАБОТА

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

                                                  
   Выполнила: студентка  
2 курса, 26Э группы                    
Скорлыгина Е.А. 
 
 
Научный руководитель: доцент, кандидат физико-математических наук  
Аносов В.П.

 

 

 

 

 

 
Новосибирск – 2012

Введение

О, чуть больше – и  как много добавляется,

А чуть меньше – и какие  миры исчезают!

Р. Браунинг

Неравенства занимают важную часть нашей жизни. Мы встречаем  их в детстве, но осознанно начинаем изучать в школе и кто-то продолжает изучать в университете.

В своей курсовой работе, я исследовала основные методы решения  различных видов неравенств. Объектом исследования является процесс решения неравенств.

Предмет исследования: различные  виды неравенств и методы их решения.

Целью работы является рассмотрение различных видов неравенств и методов их решения.

Гипотеза исследования: освоение умений различать основные виды неравенств, применять необходимые приемы и методы их решения, выбирать наиболее рациональный способ решения, применять разные способы решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

1. Введение
2. Неравенства

2.1 Определения

2.2 Эквивалентность  неравенств

2.3 Конъюнкция и дизъюнкция неравенств

2.4 Конструкции  неравенств

2.5 Основные свойства конструкций неравенств

3. Решение алгебраических  неравенств с одной переменной

3.1 Решение  неравенств 1- ой степени с одной переменной

3.2 Решение  конъюнкции неравенств 1- ой степени

3.3 Решение  дизъюнкции неравенств 1-ой степени

3.4 Решение  неравенств второй и высших степеней с одной переменной

3.5 Решение  конструкций неравенств второй и высших степеней

3.6 Решение  нестрогих неравенств второй и высших степеней

3.7 Решение дробно-рациональных неравенств

3.8 Решение иррациональных неравенств

3.9 Решение  иррациональных неравенств, содержащих  переменную под знаком 2-х и  более радикалов четной степени

3.10 Решение  иррациональных неравенств, содержащих  переменную под знаком радикала нечетной степени

4. Примеры

5. Заключение

6. Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Неравенства

2.1.Определения

 

Неравенство — одно из фундаментальных понятий математики.

Определение 1. Неравенством относительно переменной x называется высказывательная форма , имеющая вид f(x)>g(x) или f(x)<g(x).

Пример.

3x+1>x+2

Функции, стоящие в  левой и правой частях неравенства, называются его компонентами.

Неравенства отношений , называют строгими, неравенства , называют нестрогими.

Неравенства отношений  и , а также неравенства и называются неравенствами одного знака (одного смысла), неравенства и , а также и ,< и , и называются неравенствами разного смысла (разного знака).

Неравенство может быть истинным (верным, справедливым) или ложным (неверным,  несправедливым).

Пример. и — истинные неравенства;      

— ложное  неравенство;  
истинно при и  ложно при ;  
неравенство  истинно при всех .

Если из  истинности первого неравенства следует  истинность второго, то второе неравенство называют следствием первого и используют символ .

При задании функции, кроме соответствия, с помощью которого по заданному  значению переменной определяется соответствующее  значение функции, указывается также  и область изменения переменных, называемая областью определения (или областью задания) функции. Если область определения функции не указана, то под областью ее определения понимают множество тех значений переменных, для которых аналитическое выражение функции имеет смысл.

Пример. y= cos x, x (-∞; ∞).

Определение 2. Областью определения (или множеством допустимых значений) неравенства называется пересечение областей пересечения его компонентов.

Пример. Рассмотрим уравнение 3x=x +lg x . Компонент 3x определен для всех действительных значений переменной x, а компонент x +lg x определен для положительных значений переменной. Пересечением  областей определения, то есть областью определения уравнения, будет множество положительных чисел.

Неравенство при подстановке  в него вместо переменной х каких-либо значений, взятых из области определения, обращается в числовое (истинное или ложное).

Определение 3. Совокупность значений переменных, взятая из области определения неравенства (уравнения) и обращающая его в истинное числовое неравенство, называется решением неравенства (уравнения).

Пример. Значения x= - 11 принадлежит области определения неравенства 2x+10 x-1 и обращают его в истинное числовое неравенство -12 -12, значит являются решением.

Если совокупность значений переменных является решением неравенства, то говорят, что она удовлетворяет неравенству.

Решения уравнения обычно называют корнями уравнения. Решить неравенство – значит найти множество всех его решений.

Определение 4. Неравенство называется тождественно истинным, если при всех допустимых значениях переменных оно обращается в истинное числовое неравенство. Если же не существует значений переменных, которые обращают неравенство в истинное числовое неравенство, то такое неравенство называется тождественно ложным.

Пример. Неравенство x +1>0 – тождественно истинное, а неравенство x <0 – тождественно ложное.

2.2. Эквивалентность  неравенств

Относительно неравенств можно поставить две задачи:

1. Решить неравенство, то есть найти множество всех его решений.
2. Доказать неравенство, то есть установить, является оно тождественно истинным или тождественно ложным.

Вторая задача непосредственно  связана с первой. При решении  обеих задач основную роль играет понятие эквивалентности (равносильности).

Определение 5. Два неравенства называются эквивалентными, если любое решение одного неравенства является решением второго неравенства и наоборот.

Для записи утверждения, что неравенство   f (x)>g (x)    эквивалентно неравенству   f (x)>g (x)    употребляется знак эквивалентности ~ : f (x)>g (x) ~ f (x)>g (x).

Пример. Неравенства 6x<2x-4 (1) и 3x<x-2 (2) – эквивалентны. Действительно, пусть x=a – произвольное решение неравенства (1), тогда 6a<2a-4 – истинное числовое неравенство.  Применяя теорему о умножении числовых неравенств, получим истинное числовое неравенство 3a<a-2 (3). Сравнивая неравенство (3) с неравенством (2), замечаем, что x=a обращает неравенство (2) в истинное числовое неравенство, то есть является его решением. Аналогично доказывается обратное утверждение.

Рассмотрим  основные теоремы об эквивалентных неравенствах.

Теорема 1. Неравенства f(x)>g(x) (4) и f(x) + w(x)>g(x) + w(x) (5)  эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения.

Доказательство: Докажем, что произвольное решение неравенства (4) является решением неравенства (5). Пусть x=a – произвольное решение неравенства (4). Тогда f(a)>g(a) – истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число w(a) (по условию это число существует, ибо неравенства (4) и (5) имеют одну и ту же область определения). На основании теоремы о сложении числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство f(a) + w(a)>g(a) + w(a) – истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (4) является решением  неравенства (5). Обратно, пусть x=b – произвольное решение неравенства (5), значит f(b) + w(b)>g(b) + w(b) – истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа w(b) получим истинное числовое неравенство f(b)>g(b). Итак, произвольное решение неравенства (4) является решением неравенства (5), и произвольное решение неравенства (5) является решением неравенства (4). Теорема доказана.

Следствие. Любой член неравенства можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком. В частности неравенства f(x)>g(x) и f(x) – g(x)>0 эквивалентны.

Пример. Неравенство 2x+1+x >2+x эквивалентно неравенству 2x+1>2, так как второе неравенство получено из первого вычитанием из обеих частей выражения x и областью определения обоих неравенств является множество действительных чисел.

Теорема 2. Неравенства f(x) > g(x) (6) и f(x) w(x) > g(x) w(x) (7) эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения и неравенство w(x)>0 в этой области тождественно истинное.

Доказательство: Пусть x=a – произвольное решение неравенства (6). Тогда f(a)>g(a) – истинное числовое неравенство. Умножив это неравенство на положительное (по условию) число w(a), получим истинное числовое неравенство: f(a) w(a)>g(a) w(a). Следовательно, значения переменных x=a являются решением и неравенства (7). Аналогично доказывается обратное утверждение, что произвольное решение неравенства (7) является решением неравенства (6).

Теорема 3. Неравенства f(x) > g(x) и f(x)w(x) < g(x) w(x)эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения и неравенство w(x)<0 в этой области тождественно истинное.

Пример. Неравенства (lg x – 1)x>3x и lg x – 1>3 эквивалентны. Действительно, область определения рассматриваемых неравенств состоит из множества положительных чисел и в этой области неравенство x>0 тождественно истинное.

Теорема 4. Неравенства >0 и f(x) g(x)>0– эквивалентны.

Доказательство: теоремы следует из того, что если при некоторых значениях переменных функций f(x) и g(x)одновременно положительные или одновременно отрицательные, то их частное и произведение f(x) g(x) будут положительными для этих значений переменных. Если же при некоторых значениях переменных функции f(x) и g(x) имеют разные знаки (одна положительная, а другая отрицательная), то их частное и произведение будут отрицательными.

 

 

2.3 Конъюнкция и дизъюнкция неравенств

Рассмотрим неравенство (x+1)(x+2)>0. Исходя из возможных комбинаций знаков, решения неравенства находим ИЛИ из условия, что x+1>0 И x+2>0, ИЛИ из условия, что x+1<0 И x+2<0.

Следовательно, для нахождения решения неравенство необходимо рассмотреть высказывательные формы, в которых неравенства соединены с помощью союза И и  с помощью союза ИЛИ, то есть рассмотреть конъюнкцию и дизъюнкцию неравенств.

Определение 6. Конъюнкцией неравенств называется высказывание, составленное из неравенств с помощью союза И. Конъюнкция неравенств – истинная, если истинным является каждое неравенство, входящее в конъюнкцию. В противном случае конъюнкция является ложной.

Конъюнкцию неравенств обозначим фигурной скобкой.

Определение 7. Дизъюнкцией неравенств называется высказывание, составленное из неравенств с помощью союза ИЛИ. Дизъюнкция неравенств истинная, если истинным является хотя бы одно неравенство, входящее в дизъюнкцию. В противном случае дизъюнкция является ложной.

Дизъюнкцию неравенств обозначим квадратной скобкой.

Областью определения конъюнкции неравенств является пересечение областей определения ее компонентов.

Определение 8. Решением конъюнкции неравенств называется совокупность значений переменных, которая является решением И первого компонента конъюнкции, И второго ее компонента, И и т. д.

Решить конъюнкцию неравенств – значит найти множество всех ее решений.

Пример. Дана конъюнкция неравенств

                                                 

Значения x=1 и y=1 принадлежат И к области определения первого компонента, И к области определения второго компонента, т. е. к области определения конъюнкции неравенств. Подставим их в данную конъюнкцию, получим ложную конъюнкцию числовых неравенств

                                                   

Если же взять значения x=10 и y= - 20 также из области определения и подставить в конъюнкцию, то получим истинную конъюнкцию числовых неравенств

                                                   

Следовательно, пара чисел x=1 и y=1не является решением данной конъюнкции неравенств, а пара чисел x=10 и y=-20 – есть одно из ее решений.

Областью определения дизъюнкции неравенств является объединение областей определения ее компонентов.

Определение 9. Решением дизъюнкции неравенств называется совокупность значений переменных, которая является решением ИЛИ первого неравенства дизъюнкции, ИЛИ второго неравенства, ИЛИ и т. д.

Пример. Дана дизъюнкция неравенств

                                                  

Возьмем значения x=2 и y=2 и подставим в данную дизъюнкцию числовых неравенств. Получим ложную дизъюнкцию числовых неравенств

                                                  

При подстановке вместо x и y значений 3 и 2 получим истинную дизъюнкцию числовых неравенств

                                                  

у которой первый компонент 36>27 истинный, причем x=3 и y=2 содержатся в области определения этого компонента дизъюнкции. Значит, x=3 и y=2 есть одно из искомых решений.

 

 

2.4 Конструкции неравенств

Если решение неравенства  выразить с помощью операций конъюнкции и дизъюнкции, то получим следующую  конструкцию неравенств.