Решение алгебраических неравенств с одной переменной

Знак конъюнкции и  знак дизъюнкции указывают на порядок  следования связей одного неравенства  с другим. Последовательность связей вытекает из условия той конкретной задачи, из которой получены неравенства.

Перейдем к определению  понятия решения конструкции неравенств. Рассмотрим две конструкции неравенств:

                                                                       

Возьмем значения x=2 и y=3 и подставим их в конструкции числовых неравенств (1) и (2). Получим конструкции числовых неравенств:

                                                                                     

у которых первый компонент  ложный, а второй истинный. Так как  в конструкции (1) первой стоит операция конъюнкция, а в конструкции (2) – операция дизъюнкции, то в соответствии с определениями 9 и 8 значения x=2 и y=3будут являться решением конструкции (1).

Если обозначить через  А , А , …, А различные конструкции неравенств, то можно сформулировать два индуктивных определения.

Определение 10. Совокупность значений переменных x =a , x =a , …,x =a называется решением конструкции неравенств

                                                       

если она является решением компонента А , И компонента А , И и т.д., И компонента А .

Определение 11. Совокупность значений переменных x =a , x =a , …, x =a называется решением конструкции неравенств

                                                               

если она является решением компонента А , ИЛИ компонента А , ИЛИ и т.д., ИЛИ компонента А .

Решить конструкцию  неравенств – значит найти множество  всех ее решений.

Пример. Значение x=a будет решением конструкции

                                                       

если x=a является решением дизъюнкции неравенств

                                                       

ИЛИ решением конъюнкции неравенств

                                                       

В свою очередь x=a будет решением дизъюнкции неравенств

                                                         

 

если x=a является решением неравенств

3x+1>2 ИЛИ x-y<2,

а решением конъюнкции неравенств

                                                         

если x=a является решением неравенств

x+y>3 И 3y>1.

Отметим, что понимается под областью определения конструкции  неравенств.

Областью определения конъюнкции

                                                                

является пересечение областей определения компонентов А , А , …, А .

Областью определения  дизъюнкции

                                                                

является объединение областей определения компонентов А , А , …, А .

Если множество всех решений конструкции неравенств совпадает с ее областью определения, то говорят, что данная конструкция неравенств тождественно истинная. Если же ни одна допустимая совокупность значений переменных не обращает ее в истинную числовую конструкцию, то такая конструкция неравенств называется тождественно ложной.

Определение 12. Две конструкции неравенств эквивалентны, если любое решение одной конструкции неравенств является решением другой конструкции и наоборот.

Теорема 5. Если в данной конструкции неравенств заменить входящие в нее компоненты эквивалентными, то получим конструкцию, эквивалентную данной.

Пример. Дана конъюнкция неравенств

                                                         

Преобразовав каждый ее компонент, получим:

~ ~

 

2.5 Основные свойства конструкций неравенств

Условимся обозначать буквой И тождественно истинное неравенство, а буквой Л – тождественно ложное.

Теорема 6. Конъюнкция, содержащая тождественно ложный компонент, тождественно ложная.

Доказательство: По определению 10 конъюнкция неравенств имеет решение только в том случае, когда существует совокупность значений переменных, при которых все компоненты конъюнкции будут истинны. Но так как для тождественно ложного компонента такой совокупности значений переменных не существует, то ее нет и для всей конъюнкции, то есть конъюнкция неравенств тождественно ложная.

Пример.

~ Л,

ибо компонент x <0 – тождественно ложный.

Теорема 7. Конъюнкция , содержащая тождественно истинный компонент А , эквивалентна компоненту А , если область определения этого компонента принадлежит области определения конъюнкции.

Теорема 8. Дизъюнкция , содержащая тождественно ложный компонент А , эквивалентна компоненту А .

Доказательство: По определению 11 значения переменных x = a , x =a , …, x =a является решением данной дизъюнкции, если они являются решением ИЛИ первого компонента А , ИЛИ второго компонента А . Но компонент А тождественно ложный и решений не имеет, поэтому любое решение данной дизъюнкции является решением компонента А . Обратно, любое решение компонента А является решением одного компонента дизъюнкции, значит, решением самой дизъюнкции. Эквивалентность доказана.

Пример. Дизъюнкция неравенств ~ x+1>0, ибо компонент x <0 – тождественно  ложный.

Аналогично доказывается следующая  теорема.

Теорема 9. Дизъюнкция ,содержащая тождественно истинный компонент А , эквивалентна этому компоненту, если его область определения совпадает с областью определения дизъюнкции.

Пример. Дизъюнкция неравенств эквивалентна неравенству x +1>0, ибо оно тождественно истинное и его область определения совпадает с областью определения данной дизъюнкции неравенств.

Отметим основные свойства конструкций неравенств. Все они справедливы для конструкций нескольких неравенств со многими переменными.

1. Переместительное свойство конъюнкции и дизъюнкции:

а)     ~   

б)     ~    

2. Сочетательное свойство конъюнкции и дизъюнкции:

а)   ~    ~ 

б)   ~     ~ 

Свойства 1 и 2 непосредственно  следуют из определений дизъюнкции и конъюнкции и их эквивалентности.

3. Распределительные свойства конъюнкции и дизъюнкции.

Первое распределительное  свойство:

                             ~     

Следствие. Имеет место эквивалентность:

                        ~     

Второе распределительное  свойство:

                            ~        

 

 

3.Решение алгебраических неравенств с одной переменной

 

3.1.Решение неравенств  первой степени с одной переменной

Неравенство первой степени  с одной переменной с помощью  эквивалентных преобразований может  быть приведено к виду

ax>b,       (1)

где a и b – числовые коэффициенты.

В зависимости от значения числа а возможны следующие случаи решения:

1. а>0.Разделив неравенство (1) на положительное число а, получим (теорема 20):

~       (2)

Числа больше числа  и только эти числа составляют множество всех решений неравенства (1) при условии, что а – число положительное.

Отметим на числовой оси точку  . Все числа, расположенные на оси правее точки , образуют множество решений неравенства (1) при a>0 (рис. 1).

2. a<0. Разделив неравенство (1) на отрицательное число а, получим (теорема 21):

~    (3)

Все действительные числа  меньше числа  и только эти числа обращают неравенство (1) в истинное числовое неравенство и составляют множество всех его решений при a<0 (рис. 1).

 

3. а=0. Имеем неравенство 0x>b, которое эквивалентно неравенству 0>b.

а) Если числовое неравенство 0>b истинное, то неравенство 0x>b тождественно истинное, то есть имеет решение при любом действительном значении x;

  ~      (4)

б) Если b истинное числовое неравенство, то неравенство 0x>b тождественно ложное, то есть не имеет решений:

   ~      (5)

Множеством всех решений  неравенства (1) будет объединение  множеств решений конъюнкции неравенств (2), (3), (4) и (5). Используя обозначения  операций конъюнкции и дизъюнкции, решение неравенства (1) можно записать так:

ax>b   ~  

   ~  

Пример. Решить неравенство (а+1)x+3<5a+1.

Решение: (a+1)x+3<5a+1 ~ (a+1)x<5a-2 ~

~

    ~       ~   

3.2. Решение конструкции неравенств первой степени

 

Рассмотрим решение  конъюнкции неравенств первой степени  с одной переменной. Предварительно отметим следующие теоремы.

Теорема 9. Если то   ~   x>a .

Доказательство: Пусть с – произвольное решение конъюнкции. Тогда - истинная конъюнкция числовых неравенств. В частности c>a - истинное числовое неравенство. Следовательно, любое решение конъюнкции является решением неравенства x>a . Обратно, если число b – произвольное решение неравенства x>a , то b>a – истинное числовое неравенство, а так как a >a >…>a – истинные числовые неравенства, то в силу свойства транзитивности истинными будут числовые неравенства b>a , b>a , …, b>a , то есть произвольное решение неравенства x>a является решением конъюнкции неравенств. Эквивалентность доказана.

Теорема 10. Если  b >b > … >b , то ~ x<b .

Теорема 11. Если  a=max , а b=min , то ~              ~   .

Очевидно, конъюнкция неравенств имеет решение тогда и только тогда, когда числовое неравенство a<b истинное (рис. 2а). При a рассматриваемая конъюнкция неравенств ложная (рис. 2б).

 

а)

 

 

б)

 

Пример. Решить конъюнкцию неравенств

Решение: Проведем следующие эквивалентные преобразования:

~ ~ ~ ~   ~ 

Ответом является последняя  конструкция неравенства.

 

 

3.3. Решение  дизъюнкции неравенств первой степени

При решении дизъюнкции неравенств, кроме ранее рассмотренных  теорем, используются следующие три  теоремы.

Теорема 12. Если a >a > …> a , то ~ x>a .

Доказательство: Если число с – произвольное решение дизъюнкции неравенств, то оно является решением, хотя бы одного неравенства этой дизъюнкции. Пусть для определенности с является решением неравенства x>a , то есть с>a - истинное числовое неравенство. Тогда в силу свойства транзитивности - тоже истинные неравенства. Итак, с – решение неравенства . Обратно, если число b – решение неравенства , которое также является одним из компонентов дизъюнкции неравенств, то b будет решением самой дизъюнкции неравенств. Эквивалентность доказана.

Теорема 13. Если , то ~

Теорема 14. Если a=min ,то ~ (1)

Легко доказать, что если - истинное числовое неравенство, то решением дизъюнкции (1) является множество чисел x<b ИЛИ x>a (рис. 3а, 3б). Если же a<b, то рассматриваемая дизъюнкция неравенств тождественно истинная (рис. 3в).

 

а)

 

 

б)

 

 

в)

 

Пример. Решить дизъюнкцию неравенств

Решение. Проведем следующие эквивалентные преобразования:

~ ~

Ответ можно записать в виде объединения двух множеств (- ;- ) (0; ) или в виде дизъюнкции неравенств (рис.4).

 

 

 

3.4. Решение  неравенств второй и высших степеней с одной переменной

Пусть дано неравенство f(x)>0, где f(x) – многочлен степени n.

Неприводимыми многочленами во множестве действительных чисел  называются такие многочлены, которые нельзя представить в виде произведения двух других отличных от постоянного числа многочленов с действительными коэффициентами.

Теорема 15. Квадратный трехчлен, не имеющий действительных корней, знакопостоянен, причем знак его при всех действительных значениях переменной совпадает со знаком старшего коэффициента.

Доказательство: По условию теоремы квадратный трехчлен не имеет действительных корней, значит (1). Проведем следующие эквивалентные преобразования: Принимая во внимание условие (1), заключаем, что . Но так как (равенство нулю будет иметь место при ), то Если а – положительное число, то произведение при любом действительном значении х является числом положительным. Если же а – отрицательное, то произведение есть число отрицательное при любом действительном значении х.

Итак, если трехчлен не имеет действительных корней, то при любом действительном значении х он знакопостоянен, то есть либо положительный (если a>0), либо отрицательный (если a<0). Теорема доказана.

Отметим следующие эквивалентные  преобразования, которые в дальнейшем будут использованы при решении неравенств высших степеней.

2. ~

Действительно, т. к. при  всех неравенство - тождественно истинное, то, разделив неравенство на (теорема 1), получим ~

Значение  обращает левую часть неравенства в нуль, поэтому не является его решением и ~ Свойство доказано.

3. ~

Действительно, при неравенство тождественно истинное, и от деления данного неравенства на эквивалентность не нарушается (теорема 1).

Рассмотрим теперь решение  неравенства f(x)>0, где f(x) – многочлен степени выше первой.

Представим многочлен f(x) в виде произведения неприводимых многочленов во множестве действительных чисел.