Особенности работы по формированию вычислительных навыков на уроках математики в начальной школе

Методы борьбы с двумя другими  видами ошибок совсем иные. В этих случаях причина ошибок кроется в самом арифметическом знании и навыке; следовательно, исправление ошибки должно, прежде всего, касаться именно данного знания и навыка.

Нередко ставится вопрос так: имеет  ли положительное значение для преодоления ошибки анализ, разбор этой ошибки, или концентрация внимания ученика на ошибке может принести только вред, а основным мероприятием является упражнение в правильном решении соответствующих примеров?

Как показали исследования, такая  постановка вопроса о сравнительной  ценности методов безотносительно к природе ошибок является неправомерной. В од ном случае анализ ошибки играет очень большую роль при ее преодолении, а в другом – он совершенно бесполезен. В том случае, когда мы имеем дело с ошибками, основанными на ложном понимании правила, очень важно проанализировать самую ошибку, показать ученику, как она возникла, нужно стремиться к тому, чтобы ученик осознал ошибку. Напротив, совершенно бесполезно (если не вредно) приковывать внимание ученика к ошибке, которая возникла в результате недостаточного закрепления навыка. В этом случае единственный метод борьбы с ошибкой – это дополнительное упражнение в слабо закрепленном навыке.

Большое внимание в борьбе с ошибками должно быть уделено «профилактике», или предупреждению, ошибок. Всякий учитель хорошо знает, что необходимо, прежде всего, обеспечить действительное понимание учащимися учебного материала для того, чтобы предохранить их в дальнейшем от ошибок.

Но есть ещё и другой раздел в  работе по предупреждению ошибок, значение которого недооценивается некоторыми учителями. Мы имеем здесь в виду систему подбора упражнений. При достаточно глубоком понимании правила у школьников может возникнуть ошибка только в силу того, что упражнения на это правило носили слишком однообразный характер.

Дело в том, что для  психической деятельности характерна следующая закономерность: при повторном применении однородных действий в одинаковых условиях те элементы ситуации, которые сохранялись на протяжении повторения постоянными, перестают восприниматься. Эта закономерность проявляется не только в области математических навыков, но и во всех других областях. Если учащиеся решали подряд много примеров на одно и то же действие, то они перестают обращать внимание на знак. Но если следовать при подборе упражнений принципу разнородности, причина появления ошибок будет устранена. Ученик, решающий примеры на различные действия в порядке чередования, будет каждый раз обращать внимание на знак. При этом нужно постоянно вырабатывать у детей установку на возможность различных изменений в условии решаемых примеров. Вместо предупреждения, носящего общий характер «будьте внимательны», можно давать время от времени специальные указания: «следите за знаками действия», «следите за тем, можно или нельзя применять в данном случае правило» и т. п.

Имеются все основания думать, что  те недостатки, которые ещё имеют  место в практике вычислений наших  учащихся, объясняются не столько тем, что учащиеся не знают правил, сколько тем, что недостаточно организована система упражнений по практическому использованию этих правил⁸.

 

 

§4. Основные положения системы ознакомления с вычислительными приёмами и формирования вычислительного навыка.

Раскроем основные положения  системы формирования  вычислительных навыков, которая определяется действующей программой. Для этого  рассмотрим суть вычислительного приёма и вычислительного навыка, дадим характеристику сформированного вычислительного навыка, а также методики работы по формированию вычислительных навыков.

Рассмотрим прежде всего, что такое приём вычисления (вычислительный приём). Пусть надо сложить числа 8 и 6. По принятой в настоящее время  методической системе прием вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций:

1) замена числа 6 суммой  удобных слагаемых 2 и 4;

2) прибавление к числу  8 слагаемого 2;

3) прибавление к полученному  результату, к 10, слагаемого 4. Здесь  выбор операций и порядок их  выполнения определяется соответствующей теоретической основой приёма – применением свойства прибавления к числу суммы  (сочетательное свойство); замена числа 6 суммой удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при выполнении первой операции используется знание состава чисел первого десятка; 10=8 + 2 и 6=2 + 4.

Таким образом, можно  сказать, что приём вычисления над  данными числами складывается из ряда последовательных операций (системы операций), выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве его теоретической основы.

В большинстве случаев  уже в начальных классах школы  для нахождения результата арифметического  действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приёмам вычислений (различным способам вычислений).

Операции, составляющие приём вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции  играют особую роль в процессе овладения вычислительными приёмами: выполнение приёма в свернутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными.

Число операций, составляющих приём, определяется, прежде всего, выбором  теоретической основы вычислительного приема.

Число операций, выполняемых  при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приёмом.

Дадим теперь характеристику вычислительного навыка.

Вычислительный  навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки – значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью,    осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.

Правильность  – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т. е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность – ученик осознаёт, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свёртываться.

Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приёмов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщённость – ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщённость так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого – одни и те же теоретические положения.

Автоматизм (свёрнутость) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свёрнутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

Программа предусматривает  разную степень автоматизации различных случаев выполнения арифметических действий. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям  (5 + 3, 8 – 5, 9 + 6, 15 – 9, 7 6, 42:6). Здесь должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них. В этом смысле и говорят об автоматизации вычислительных навыков. Заметим, что осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операций осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операций происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развёрнутое обоснование выбора системы операций.

Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Перейдём к методике формирования вычислительных навыков.

Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением начального курса математики и использованием соответствующих методических приемов.

В целях формирования осознанных, обобщённых и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приёма происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема.

Все вычислительные приёмы строятся на той или иной теоретической основе, причём в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это – реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов к раскрытию вычислительных приёмов каждой группы – есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приёмов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46 + 19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.

В принятой сейчас системе изучения арифметических действий предусматривается такой порядок введения приёмов, при котором постепенно вводятся приёмы, включающие большее число операций, а ранее усвоенные приёмы включаются в качестве основных операций в новые приёмы.

В методике работы над  каждым отдельным приемом можно предусмотреть ряд этапов.

1. Подготовка  к введению нового приёма.

На этом этапе создается  готовность к усвоению вычислительного  приёма, а именно: учащиеся должны усвоить  те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём. Следовательно, чтобы обеспечить соответствующую подготовку к введению приёма, надо проанализировать приём и установить, какими знаниями должен овладеть ученик и какие вычислительные навыки он должен уже приобрести. Центральное же звено при подготовке к введению нового приема овладение учеником основными операциями, которые войдут в новый приём.

2. Ознакомление  с вычислительным приёмом.

На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

При введении большинства  вычислительных приёмов целесообразно использовать наглядность. Для приёмов первой группы это – оперирование множествами. При ознакомлении с приёмами второй группы в качестве наглядности используется развёрнутая запись всех операций, что весьма положительно влияет на усвоение приёма. В ряде случаев наряду с развёрнутой записью используется и оперирование множествами (например, при ознакомлении с приёмами сложения и вычитания в пределах 100).

Выполнение каждой операции важно  сопровождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняются под руководством учителя, а затем учащиеся выполняют их самостоятельно. В пояснении указывается, какие выполняются операции, в каком порядке и называется результат каждой из них, при этом не поясняются ранее изученные приёмы, входящие в качестве операций в рассматриваемый прием (основные операции).

Пояснение выбора и выполнение операций приводит к пониманию сущности каждой операции и всего приёма в целом, что в дальнейшем станет основой овладения учащимися осознанными вычислительными навыками⁹.

Степень самостоятельности  учащихся должна увеличиваться при переходе от приёма к приему одной группы. Следует учитывать, что во многих случаях ученики могут самостоятельно найти новый вычислительный приём и выполнить соответствующее обоснование.

3. Закрепление  знания приёма и выработка  вычислительного навыка.

На этом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих приём, и предельно  быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком.

В процессе работы здесь  важно предусмотреть ряд стадий в формировании у учащихся вычислительных навыков.

На первой стадии закрепляется знание приёма: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие приём, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе. Таким образом, здесь учащиеся выполняют самостоятельно то же, что на предыдущем этапе выполняли под руководством учителя. Подробное объяснение и развёрнутая запись позволяют им осознанно усвоить вычислительный приём. Начинается эта стадия, как правило, на том же уроке, на котором учитель знакомит детей с новым приёмом. Заметим, что не следует слишком долго задерживать учащихся на этой стадии, иначе они настолько привыкают к подробной записи и подробному объяснению, что всегда пользуются ими, а это тормозит свертывание выполнения операций.

На второй стадии происходит частичное свёртывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, т. е. промежуточных вычислений. Надо специально учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме.

На  третьей стадии происходит полное свёртывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции. Чтобы добиться этого, надо и на этой стадии руководить деятельностью учащихся: учитель предлагает детям выполнять про себя и промежуточные вычисления (основные операции), а называть или записывать только окончательный результат. На этой стадии свёртывание основных операций будет несколько отставать от свёртывания вспомогательных операций, благодаря чему основные операции будут актуализироваться, т. е. ученики воспроизведут именно те операции, выполнение которых позволит им правильно и быстро найти результат арифметического действия. Актуализация основных операций и выполнение их в свёрнутом плане и есть вычислительный навык.