Особенности работы по формированию вычислительных навыков на уроках математики в начальной школе

При изучении темы «Второй  десяток» дети овладевают основными приёмами устных и письменных вычислений (представление числа в виде суммы разрядных единиц, способы сложения и вычитания без перехода и с переходом через десяток) и поэтому очень важно довести до их сознания именно эти общие принципы, не ограничиваясь запоминанием таблицы сложения в пределах 20. Знание этих принципов не только поможет детям сознательно использовать тот или иной вычислительный приём – оно послужит хорошей подготовкой к рассмотрению в дальнейшем свойств арифметических действий.

В концентре «Сотня» продолжается работа над формированием и совершенствованием навыков устных вычислений. Значительно смелее, чем это делалось до сих пор, можно опираться при изучении действий в пределах 100 во II классе на знания, приобретенные детьми в I классе. Нужно сделать все, чтобы дети увидели, как много общего в решении новых примеров с теми, которые решались в I классе. А для этого необходимо, прежде всего, сопоставить аналогичные по способу решения примеры. Демонстрируя способ решения на наглядных пособиях, лучше для этого использовать те же пособия, что и в I классе, словесные пояснения давать в той же форме и т. п.

Дети довольно легко  улавливают сходство между сложением (и вычитанием) в пределах 20 и в  пределах 100. Однако, заметив сходство, они не всегда так же хорошо видят отличия, а поэтому допускают ошибки в решении. В связи с этим полезно так организовать упражнения, чтобы примеры этих видов давались в противопоставлении.

Во II классе дети практически  знакомятся с некоторыми новыми свойствами арифметических действий. Так, кроме переместительного и сочетательного свойства, они широко используют при вычислениях распределительное свойство умножения и др. Соответствующие законы и здесь обычно не формулируются, Но фактически дети могут уже при решении соответствующих примеров производить действия на основе общего правила, отнюдь не обращаясь каждый раз к использованию наглядного материала.

Опыт применения свойств  арифметических действий и десятичной системы счисления при изучении приемов устных вычислений в I-II классах является прекрасной базой для окончательной отработки соответствующих обобщений в IV классе. При обучении письменным вычислениям в III-IV классах огромное значение имеет осознание детьми смысла тех операций, которые производятся в каждом конкретном случае.

Уделяя большое внимание сознательности усвоения детьми приёмов  устных и письменных вычислений, учителя не всегда, однако, в полной мере используют приобретаемые детьми общие знания в дальнейшей работе. Так, при переходе от одного концентра к другому, от изучения действий с числами в пределах 1000 к изучению действий во все большей области чисел много времени расходуется нерационально на объяснения учителя, которые очень немногое добавляют к тому, что говорилось прежде.

Больше внимания следует уделить осознанию детьми общих особенностей чисел десятичной системы счисления при переходе от одного концентра к другому. На этой основе, уловив сходство действий с числами разной величины, дети смогут самостоятельно перенести знания, умения и навыки, приобретённые, например, при изучении сложения и вычитания в пределах 1000, на выполнение этих действий с числами любой величины.

Известно, что возможность  активно мыслить достигается  только при условии, если значительная часть известных детям арифметических операций выполняется без особого напряжения, достаточно быстро и тем самым освобождается время для интенсивной умственной работы но отношению к новому, более сложному материалу. Поэтому очень важно при обучении арифметике сформировать такие навыки, которые носят автоматизированный характер, что обозначает переход от осознанного к механическому выполнению действии.

Важнейшее условие формирования полноценных навыков состоит в том, чтобы обеспечить достаточную осознанность их на самом начальном этапе и не спешить с переводом их в разряд автоматизированных действий. Соблюдение этого условия даст возможность ученикам быстро выполнять большое количество необходимых действий и в то же время осуществлять их под контролем сознания. В этом случае ученики всегда могут (при первом же требовании со стороны, или если они сами чувствуют неуверенность, давая ответ) вернуться к пройденному этапу осознанного выполнения действий.

Учащиеся, выполняющие  вычисления без достаточного их осознания, обнаруживают полную беспомощность в том случае, если они допустили ошибку. В этих случаях учителю не надо жалеть времени на то, чтобы возвратить такого ученика к пройденным ранее этапам обучения и восстановить весь тот путь рассуждений, который лежит в основе выполнения той или иной операции; нужно привлечь для этой цели и наглядные пособия. Навыки, которые формируются в процессе обучения арифметике, различны по степени сложности. Одни из них представляют собой прямую связь (ассоциацию) между восприятием условия и ответом. Другая категория навыков представляет цепь связей, в этом случае ответ может быть получен только через ряд промежуточных звеньев, причём каждое предшествующее звено непосредственно влечёт за собой последующее. На первоначальном этапе обучения в основе этих операций лежит серия определённых правил, но когда навык вычислении уже выработай, ученик выполняет действия, не вспоминая соответствующих правил. Эти действия можно назвать поэтому правилосообразными действиями⁶. При этом правила, в соответствии с которыми совершаются действия, носят обобщенный характер, то есть они охватывают широкий круг различных конкретных явлении. Возможность опереться на общее правило при выработке навыков является средством экономии времени и сил в учебной деятельности, в частности при выполнении вычислений. Общее правило освобождает ученика от необходимости заучивать все частные случаи. Для автоматизированного выполнения учеником действий имеет значение не только понимание им правил, лежащих в основе действия, но и система упражнений.

§3. Ошибки в  вычислениях и пути их преодоления.

Основная идея, выдвигаемая  в психологии применительно к проблеме ошибок, сводится к следующему: ошибка не есть только отсутствие правильного ответа, она является результатом определенного процесса, природу которого необходимо выявлять. В практике обучения этим положением нередко пренебрегают, интересуясь только тем, в каких примерах или задачах ошибаются дети, и делая во всех этих случаях один и тот же вывод: раз есть ошибка, значит, нужно дополнительное упражнение. Этот вывод не ко всем случаям применим. Различная природа ошибки диктует и различные методы борьбы с ней. В одном и том же примере могут быть разные по своему происхождению ошибки. Больше того, даже одна и та же ошибка может иметь различную природу.

Необходимо руководствоваться  определённой классификацией ошибок, для того чтобы разобраться во всем их многообразии. Изучение ошибок в счете у наших школьников дает возможность наметить такую классификацию.

Все ошибки в области  счёта можно распределить на две основные группы в зависимости от того, в чем лежит причина ошибки – в условиях выполнения данной операции или в качестве усвоения арифметического знания и навыка.

Ошибки, вызванные условиями  выполнения операции, являются «механическими» ошибками. Они возникают тогда, когда в силу тех или иных условий (утомления, утраты интереса, волнения, отвлечения внимания и т. п.) у школьника ослабляется сознательный контроль при решении примеров. Эти ошибки свидетельствуют не о незнании или недостаточном усвоении той или иной арифметической операции – они связаны только с ослаблением внимания в процессе выполнения данной операции. Поэтому ошибки этого вида неустойчивы. Пример, решённый ошибочно в первый раз, решается правильно во второй раз, даже тогда, когда первая ошибка не была исправлена. К числу таких механических ошибок относятся, прежде всего, оговорки, описки, когда вместо одного числа произносится или пишется другое число, которое с ним имеет какое-либо сходство. Это сходство может проявляться в различных отношениях – в звучании произносимых чисел или в начертании цифр; оно может иметь акустическую, оптическую или моторную основу.

Замена одного представления  другим – сходным, может происходить не только в конечном звене процесса – при написании или произнесении готового результата, но и на более ранних этапах при восприятии чисел (слуховом или зрительном).

В эту группу ошибок входят также так называемые «персеверативные»  ошибки, когда одно какое-либо число  навязчиво удерживается в сознании. Такова природа следующей ошибки 43 + 7=70; в этом случае в сумме ошибочно написана та цифра, какая была дана во втором слагаемом.                     

В некоторых случаях  это явление выражается в форме ассимиляции или уподобления одного числа другому. Такова ошибка в примере 6 + 7=12, когда, по-видимому, второе слагаемое было уподоблено  первому (6 + 6). Аналогичное происхождение имеет следующая ошибка: 47 + 9=66. В данном случае цифра десятков уподоблена цифре единиц.

Эти ошибки механического типа очень разнообразны и с трудом поддаются объяснению. Поэтому попытки выяснить, при каких условиях создается более легкая возможность для появления ошибок подобного рода, заслуживают большого внимания. Исследования обнаружили, что при выполнении всех четырёх действий примеры, содержащие одинаковые цифры, дают наибольшее количество ошибок. В ряде случаев при наличии одинаковых цифр усиливалась персеверативная тенденция.

Ослабление сознательного  контроля в силу утомления своеобразно проявляется в письменных вычислениях: наблюдается рост ошибок по мере перехода от низших разрядов к высшим. Этот факт был подвергнут специальному изучению А. С. Пчёлко.

На основании решения ряда подобных примеров А. С. Пчёлко делает следующий  вывод: «При сложении нескольких слагаемых число ошибок увеличивается по мере продвижения к старшим разрядам. По-видимому, множество чисел и обилие операций над ними быстро утомляют учащихся и  рассеивают, их внимание, кроме того, каждая ошибка в предыдущих разрядах влияет на результаты сложения единиц последующих разрядов»⁷.

Эта же причина – ослабление сознательного контроля – лежит в основе очень распространённой ошибки, когда учащиеся выполняют не то действие, какое указано имеющимся в примере знаком. Выбор действия в этом случае может определяться своеобразием чисел, данных в примере. Некоторые числа создают очень благоприятные условия для определенной операции. Такова, например, комбинация чисел 56 и 6, которая создает лёгкие условия для операции вычитания. В этом случае при ослаблении сознательного контроля может быть выполнено вычитание, несмотря на то, что в примере стоит другой знак.

Выполнение действия, не соответствующего знаку, может обусловливаться также  влиянием предыдущих действий, что  можно условно назвать «инерцией» действия. Так, например, ученик решает подряд несколько примеров на сложение; через некоторое время он перестает обращать внимание на знак и делает сложение в том случае, если в примере стоит какой-либо новый знак, например вычитание. Такого рода ошибка довольно типична и встречается на различных ступенях обучения.

Характерной чертой второй группы ошибок является то, что причина их лежит  в недостаточном овладении арифметическими  навыками. Эта вторая группа ошибок делится на две большие подгруппы, в зависимости от того, какова природа психических процессов, лежащих в основе знаний и навыков.

Если навык вычисления основан на заучивании определённых числовых результатов и если он недостаточно закреплен, то ошибочный ответ в этом случае бывает различен, а иногда он может даже чередоваться и с правильным ответом. В отличие от ошибок этого вида, ошибки второй подгруппы относятся к навыкам, основанным на общем правиле. Характер ошибки определяется в этом случае характером усвоения правила, степенью обобщённости правила, в соответствии с которым выполняется операция. Ошибки такого рода относительно постоянны.

Какие процессы лежат  в основе этих ошибок? Какому видоизменению подвергается известное ученику правило при выполнении ошибочной операции?

Изучение ошибок позволяет ответить на этот вопрос. Правило, ранее усвоенное учеником, приобретает неправомерно широкий объем, некоторые необходимые его звенья выпадают, в результате чего правило переносится на случаи, которые ему не подчинены.

Особую разновидность ошибок второй подгруппы (основанных на общих правилах) составляют ошибки, которые порождаются наличием двух сходных правил. Существуют, например, два сходных правила относительно сокращённого прибавления и отнимания 9. В обоих случаях нужно произвести соответствующие действия сначала с десятком и затем обратное ему действие с единицей. Таким образом, в первом случае единицу нужно отнять, а во втором – её нужно прибавить. В ряде случаев эта последняя, частная и дифференцированная задача учениками не осознается. Она осознается ими только в общей и неопределённой форме (нужно произвести некоторое действие с единицей). В этом случае неверный ответ может иметь даже больше шансов на возникновение, чем правильный, поскольку учащиеся имеют тенденцию выполнять с единицей то же самое действие, какое они выполняли перед этим применительно к 10.

В особую группу ошибок ряд  исследователей выделяет ошибки, обусловленные привычкой. Проведенный нами анализ ошибок показывает, однако, что понятие «привычки» в применении к ошибкам нуждается в расчленении. Привычка может выражаться в психологически различных процессах. Во-первых, она может выражаться в установке на привычное действие. В этом случае она легко преодолима с помощью усилия внимания. Во-вторых, она может проявляться в форме привычного обобщения (ошибки второй подгруппы только что описанные). В этом последнем случае одного усилия внимания для преодоления ошибки недостаточно – необходимо раскрыть ошибочность обобщения и выработать новое знание, а затем и новый навык.

Методы борьбы с ошибками должны быть различны, и выбор метода определяется природой ошибки. Причины ошибок «механического»  типа лежат вне самого арифметического  знания и навыка. Следовательно, борьба с этими ошибками должна идти путем  повышения у школьника интереса к арифметическим упражнениям, мобилизации его внимания, повышения у него чувства ответственности и т.д.