Методика обучения младших школьников решению задач на движение

     Скорость – это величина, характеризующая изменение во времени. По скорости, как и по другим величинам, можно сравнить протекающие во времени процессы. Однако есть существенные различия в способах непосредственного прямого сравнения большинства других величин, изучаемых в курсе математики. Скорость – величина производная от двух величин: величины изменения расстояния и времени этого изменения. Непосредственное сравнение скорости – это непосредственное сравнение «количества изменения» и непосредственное сравнение времени. Сравнение процессов по скорости может происходить на уровне установления отношений «больше», «меньше», «равно» и на уровне измерения. В первом случае результат сравнения выражается словами «быстрее»,  «медленнее», «скорее», «с одинаковой скоростью», «одинаково быстро» и т.д. [30, с.324].

     Рассмотрим  задачи на движение двух тел в одном направлении.

• Тела сближаются.

     Движение двух тел начинается одновременно из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁, а движение второго – s₂, v₂, t₂    (рис. 2).

     

      Если при движении в одном направлении  первое тело догоняет второе, то v₁ > v₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается ко второму на  определённое расстояние. Это расстояние называется скоростью сближения и вычисляется по формуле: v _сбл. = v₁ – v₂.

     Расстояние  s, представляющее длину отрезка AB, находят по формулам: s = s₁ – s₂ и s = v _сбл.∙ t _встр.

       Задача: «Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного – 40 км/ч, другого – 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?»

     Решение.

     Построим  вспомогательные модели – схематический чертёж (рис. 3) или таблицу (табл. 1).

     

                                                                                                               Таблица 1

 

     Сравнение скоростей мотоциклистов говорит о том, что в течение часа первый мотоциклист приближается ко второму на 10 км. Расстояние, которое ему надо пройти до встречи со вторым, на 30 км больше, чем расстояние, которое за такое же время пройдёт второй мотоциклист. Поэтому первому потребуется столько времени, сколько раз 10 км укладываются в 30 км. Запишем решение задачи по действиям:

     1) 50 – 40 = 10 (км/ч) – скорость сближения мотоциклистов.

     2) 30 : 10 = 3 (ч) – за это время первый мотоциклист догонит второго.

     Ответ: через 3 часа.

     Сложность в изучении данного вида задач  связана с тем, что слово «сближение»  ассоциируется со знаком сложения, но сама скорость сближения находится в данном случае действием вычитания. Это несовпадение можно объяснить наглядно. Если бы двигалось только то тело, которое догоняет, то тела сближались бы со скоростью, равной скорости догоняющего тела. Но, так как и второе тело тоже совершает движение, причём как бы убегая от первого, то сближаются тела не так быстро. То есть скорость их сближения меньше, чем была бы в том случае, если бы «убегающее» тело стояло на месте.

• Тела удаляются.

     Тела  могут начинать движение одновременно или в разное время, из одного пункта или из разных пунктов. Но в любом случае, первое тело будет двигаться с меньшей скоростью, чем второе, то есть v₁ < v₂. За единицу времени первое тело будет отставать от второго на определённое расстояние. Это расстояние называется скоростью удаления и вычисляется по формуле:            v_уд. = v₂ - v₁ (рис. 4)

                     

     Задача: «Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км, выехали одновременно в одном направлении два велосипедиста. Скорость велосипедиста, ехавшего впереди, – 12км/ч, скорость другого – 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения расстояние между велосипедистами будет 26 км?»

     Решение. Построим вспомогательную модель – схематический чертёж (рис. 5) 

     

       

       

     Исходя  из того, что в момент начала движения между велосипедистами уже было 18 км, а через определённое время, которое является искомым, расстояние стало составлять 26 км, узнаем, что оно увеличилось на 8 км. Затем по формуле найдём скорость удаления велосипедистов. Потом найдём время, которое потребуется для того, чтобы расстояние между велосипедистами стало на 8км больше.

     Запишем решение задачи по действиям:

1. 26 – 18 = 8(км) – на столько увеличилось расстояние между велосипедистами;
2. 12 – 10 = 2 (км/ч) – скорость удаления велосипедистов;
3. 8 : 2 = 4 (ч) – через столько времени расстояние между велосипедистами будет 26 км.

     Ответ: через 4 часа.

     Рассмотрим  задачи на движение двух тел в противоположных направлениях.

• Тела сближаются.

       Этот вид задач также принято  называть задачами на встречное  движение. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁, движение второго – s₁, v₁, t₁. Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 6).

       

     Если  два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, то есть t₁ = t₂ = t _встр.

     Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты  за единицу времени, называется скоростью сближения, то есть v _сбл. = v₁+v₂.

     Всё расстояние, пройденное движущимися  телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: s = v _сбл.∙ t _встр.

     Задача: «Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретились?»

     Решение.

     Вспомогательными  моделями к этой задаче могут служить схематический чертёж (рис. 7) или таблица (табл. 2). 

     

     Таблица 2

 

      

     Поиск плана решения в данном случае удобно вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как скорости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения. Зная скорости сближения пешеходов и всё расстояние, которое им надо пройти, можем найти время, через которое пешеходы встретятся. Запишем решение задачи по действиям:

1. 5 + 4 = 9 (км/ч);
2. 18 : 9 = 2 (ч).

     Ответ: 2часа.

• Тела удаляются.

     В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки одновременно или в разное время, а могут начинать своё движение из двух разных точек, находящихся на разном расстоянии, и в разное время.

     Общим теоретическим положением для них  будет следующее:                   v _удал. = v₁ + v₂, v₁ и v₂ соответственно скорости первого и второго тел, а v_удал. – это скорость удаления, то есть расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

     Рассмотрим  случай, когда два тела начинают движение одновременно из одной точки.

       Задача: «Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?»

     Решение.

     Вспомогательные модели – схематический чертёж (рис. 8) или таблица (табл. 3).

      Таблица 3

 
 

     Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояния, пройденные первым и вторым поездами за 3 часа, и полученные результаты сложить:

       1) 60 ∙ 3 = 180 (км);

       2) 70 ∙ 3 = 210 (км);

       3) 180 + 210 = 390 (км).

     Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:

       1) 60 + 70 = 130 (км/ч) – скорость удаления поездов;

       2) 130 ∙ 3 = 390 (км) – расстояние между поездами через 3 часа.

     При решении этого вида задач возникает ситуация, обратная той, которая возникает в задачах на сближение двух тел при движении в одном направлении. Слово «удаление» вызывает ассоциацию с действием вычитания, но скорость удаления находится действием сложения. Эту ситуацию можно объяснить следующим образом: если бы двигалось только одно тело, то скорость удаления была равна скорости этого тела. Но так как второе тело тоже совершает движение, причём в обратном от первого тела направлении, то тела удаляются друг от друга быстрее. И скорость удаления равна сумме скоростей двух тел.

     Особенность задач на движение по реке в том, что кроме собственной скорости движущегося в них объекта необходимо учитывать скорость движения реки. В зависимости от того, движется тело по течению реки или против него, рассматривают также скорость движения тела по течению и скорость движения тела против течения. Отношения между ними выражаются по формулам:

     v _{по теч.} = v _соб. + v _{теч. реки};

     v _{пр. теч.} = v_соб. – v _{теч. реки};

     v _соб. = (v _{по теч.} + v _{пр. теч}.)/2.

     Задача: «Расстояние 360 км катер проходит за 15 часов, если двигается против течения реки, и за 12 часов, если двигается по течению. Сколько времени потребуется катеру, чтобы проплыть 135 км по озеру?»

     Решение.

     В данном случае в качестве модели задачи удобно использовать таблицу  (табл. 4).  

        Таблица 4