Лекции по "Математическому моделированию электрических машин"

Постоянная времени ОВ :

T_ш = w_ш · dФ_ш0 / dt = y_ш0 / Е₀ = ( L_ш · i_в0 ) / ( R_в · i_в0 ) = L_щ / R_в ;

Dе = Т_ш · dE_a / dt  – уравнение с разделяющимися переменными .

dt / T_ш = dE_a / De : при интегрировании этого выражения получим закон изменения ЭДС :

 – относительное время  возбуждения.

В качестве исходной информации используются характеристика холостого хода и  нагрузочная характеристики.

Построенные кривые нарастания ЭДС якоря и тока возбуждения  показывают, что начальная стадия процесса самовозбуждения характеризуется резким увеличением ЭДС и тока возбуждения. Окончание переходного процесса самовозбуждения замедлено, кривые ЭДС и тока возбуждения медленно асимптотически приближаются к своим установившимся значениям.

11 Исследования переходных процессов в ЭМ с взаимно перемещающимися осями обмоток.

11.1 Исследование переходных процессов АД с использованием математической модели в неподвижной системе координат a-b.

Переходные процессы АД в соответствии с математической моделью обобщённой ЭМ в осях a - b описываются двумя системами уравнений:

а) система дифференциальных уравнений.

pY_1a = u _a – R₁· i _1a

pY_1a = u _b – R₁· i _1b

pY_{2 a} = – w · Y_{2 b} – R₂ · i _{2 a}

pY_{2 b} = w · Y_{2 a} – R₂ · i _{2 b}

pw = ( m – m _c ) / J

б) система алгебраических уравнений

Y_{1 a} = ( X_1s + X _m ) · i _1a + X _m · i _{2 a}

Y_{1 b} = ( X_1s + X _m ) · i _1b + X _m · i _{2 b}

Y_{2 a} = ( X_{2 s} + X _m ) · i _{2 a} + X _m · i _1a

Y_{2 b} = ( X_{2 s} + X _m ) · i _{2 b} + X _m · i _1b

M = Y_{1 a} · i _1b – Y_1b · i _{1 a}

Напряжение статора  определяется проекциями изображающего вектора на координатные оси:

u _1a = U₁ · cos (w₁ · t + j ₀ )    ;   u _1b = U₁ · sin (w₁ · t + j ₀ )

или с учетом w₁ = 1 о.е.

u _1a = U₁ · cos ( t + j ₀ )     ;     u _1b = U₁ · sin ( t + j ₀ )

При переходе к реальному  времени необходимо учесть:

 t(c)=t(о.е.)·t _s=t(о.е.)/(2 p f₁)

Расчет переходных процессов  сводится к совместному численному решению приведенных выше уравнений исходя из заданных начальных условий. Для более простой формализации расчетов целесообразно интегрируемые величины объединить в одномерный массив пятого порядка , а токи и коэффициенты индуктивности соответственно в одномерный и двумерный массив четвертого порядка.

Алгоритм расчёта переходного  процесса можно проиллюстрировать  следующей блок – схемой:

Координатные преобразования в  АД.

Для получения реальных величин ротора следует перейти в систему координат связанную с ротором ( I_ab ® I_dq):

I_d =I_a · cos g+I_b·sing ; I_q =–I_a · sing+I_b · cosg,

где - угол положения ротора.

 

 

11.2 Система дифференциальных уравнений АД в системе координат d–q.

Для системы координат d–q w_k=w (частота вращения ротора двигателя).

dy_cd / dt = U_d + w·y_cq – R₁ · i_cd ;

dy_cq / dt = U_q + w·y_cd – R₁ · i_cq ;

dy_pd / dt = – R₂ · i_pd ;

dy_pq / dt = – R₂ · i_pq ;

dw / dt = ( M – M_C ) / J ;

dd / dt = w₁ – w ;

              _t

d = d₀ + ò (1 – w ) dt ;

             ⁰

U_d = – U_c · sin d ;

U_q = U_c · cos d ;

y_cd = x₁ · i_cd + x_n1 · i_pd ;

U_c – модуль питающего напряжения статора.

11.3 Cистема дифференциальных уравнений АД в системе координат u–u.

u-u – система координат вращающаяся с синхронной частотой вращения. w_к=w₁ (частота вращения магнитного поля ) : w₁=1 (о.е.)

dy_cu / dt = U_c + y_cu – R₁ · i_cu ;

dy_cu / dt = y_cu – R₁ · i_cu ;

dy_pu / dt = (1 – w ) · y_pu  – R₂ · i_pu ;

dy_pu / dt = (1 – w ) · y_pu– R₂ · i_pu ;

dw / dt = ( M – M_C ) / J ;

12 Математическое моделирование переходных процессов в СМ.

12.1 Уравнение СМ в физической системе координат.

СМ – явнополюсные, неявнополюсные.

Явнополюсная машина отличается магнитной несимметрией.

Неявнополюсная машина – частный случай явнополюсной.

Уравнения баланса напряжений статора :

U_a = dy_a / dt + R₁ · i_a    ;        U_b = dy_b  / dt + R₁ · i_b   ;

U_c = dy_c / dt + R₁ · i_c    ; 

R₁ – активное сопротивление обмотки фазы.

Уравнения баланса  напряжений ротора :

U_f = dy_f / dt + R₁ · i_f  – уравнение обмотки возбуждения.

В общем случае присутствует демпферная короткозамкнутая обмотка. Уравнений  столько, сколько стержней в демпферной обмотке. Заменим эти уравнения двумя эквивалентными уравнениями :

0 = dy_уd / dt + R_уd · i_уd      ;          0 = dy_уq / dt + R_уq · i_уq

 

Эти 6 уравнений характеризуют  электромагнитное состояние машины, но при рассмотрении электромеханических  переходных процессов, нужно добавить уравнение движения :

dw/dt=(M–M_c )/J

Также добавляется уравнение, описывающие угловое положение  ротора g :  dg / dt = w ;

        Запишем, уравнения определяющие потокосцепления y соответствующих обмоток :

y_a = l_a · i_a  +  l_ab · i_b + l_ac · i_c  +  l_ap · i_p  +  l_aуd · i_уd  +  l_aуq · i_уq

y_b = l_ba · i_a  +  l_b · i_b + l_bc · i_c  +  l_bf · i_f  +  l_bуd · i_уd  +  l_bуq · i_уq

y_c = l_ca · i_a  +  l_cb · i_b + l_c · i_c  +  l_cf · i_f  +  l_cуd · i_уd  +  l_cуq · i_уq

y_f = l_fa · i_a  +  l_fb · i_b + l_fc · i_c  +  l_f · i_f  +  l_fуd · i_уd

y_уd = l_уda · i_a  +  l_уdb · i_b + l_уdc · i_c  +  l_уdf · i_f  +  l_уd · i_уd 

y_уq = l_уqa · i_a  + l_уqb · i_b + l_уqc · i_c  +  l_уq · i_уq

где  l_a , l_b , l_c – собственная индуктивность фаз а, b, c; остальные коэффициенты – индуктивности взаимоиндукции соответствующих контуров.

12.2 Индуктивности статорных обмоток:

Собственные :

l_a = y_a / i_a = w_a · Ф_a / i_a ; для неявнополюсных  l_a = const , l_b = const , l_c = const .

Изменение магнитного сопротивления  приводит к изменению магнитного потока.

L_a=f (2 g); через пол-оборота ситуация полностью повторяется, поэтому угол g удваивается.

L_a = L₀ + L₂ · cos g + L₄ · cos 4·g + ¼

L₂ = ( L_d – L_q ) / 2  – амплитуда переменной составляющей.

L₀ = ( L_d + L_q ) / 2 – постоянная составляющая.

L_max = L_d – такая индуктивность, которая получается при совпадении оси обмотки с магнитной осью ротора.

L_min = L_q – при взаимно перпендикулярном положении.

Учтём различия углового положения  статорных обмоток:

L_b = f ( 2 · ( g – 2p/3 ) )  ;  L_c = f ( 2 · ( g + 2p/3 ) )

l_b = L₀ + L₂ · cos 2 · ( g – 2p/3 ) ;

l_c = L₀ + L₂ · cos 2 · ( g + 2p/3 ) ;

Обмотки в статоре  СМ как правило симметричные: для  явнополюсных машин L_d , L_q для разных фаз одни и те же ; для  неявнополюсных машин: l_a=l_b=l_c ; l_f , l_уd , l_уq = const.

12.3 Взаимные индуктивности

l_ab = l_ba = – m₀ + L₂ · cos ( 2g – 2p/3 )

        g_ab = g – p/3

        m₀ – постоянная составляющая.

При положении ротора как на рисунке (угол между продольной осью ротора и осью симметрии обмоток  фаз a и b составляет g_ab = 90⁰ ) l_ab = l_ba = max , потому что магнитное сопротивление между обмотками минимально.

l_cb = l_bc = – m₀ + L₂ · cos 2g

l_ac = l_ca = – m₀ + L₂ · cos ( 2g + 2p/3 )

При неявнополюсном роторе:

l_ab = l_ba = l_cb = l_bc = l_ac = l_ca = – m₀ = const

Взаимные индуктивности между обмотками статора и ротора :

l_af = L_afd · cos g   – max , когда ось обмотки фазы a и f совпадают (g=0).

l_bf = L_bfd · cos ( g – 2p/3 )

l_cf = L_cfd · cos ( g – 2p/3 )

Средние значение взаимоиндукции – нулевое.

Взаимные индуктивности с демпферными  обмотками.

l_aуd = L_aуd · cos  g  

l_bуd = L_aуd · cos ( g – 2p/3 )

l_cуd = L_aуd · cos ( g – 2p/3 )

l_aуq = – L_aуq · sin  g  

l_bуq = – L_aуq · sin ( g – 2p/3 )

l_cуq = L_aуq · sin ( g – 2p/3 )

4. Уравнения СМ в системе координат a-b статора и d-q ротора.

 

Переходные электромеханические процессы СД описываются двумя системами уравнений, полученными в результате замены трёхфазного статора двухфазным:

а) система дифференциальных уравнений 

Напряжение статора  определяется проекциями изображающего вектора на координатные оси:

или с учётом w₁=1 о.е. :

Необходимо иметь ввиду: t(с)=t(о.е.)*t_б= t(о.е.)/(2pf₁)

б) система алгебраических уравнений

12.5 Уравнения СМ в системе координат d-q ротора.

Переходные электромеханические  процессы СД описываются двумя системами  уравнений, полученными в результате координатных преобразований с переходом  к единой системе координат связанной  с ротором:

а) система дифференциальных уравнений 

Напряжение статора  определяется проекциями изображающего  вектора на координатные оси:

б) система алгебраических уравнений

13 Расчет установившихся режимов и характеристик СМ.

 

Уравнения статического режима СМ получаются из уравнений переходного процесса, записанных в координатах d-q если учесть что производные констант равны нулю:

dy_i / dt = 0   ;   dw / dt = 0   ; w =1 ;

0 = U_cd + y_cq – R₁ i_cd ;

0 = U_cq - y_cd – R₁ i_cq ;

0 = U_f – R_f i_f ;                                         i_уd = i_уq = 0    ;   i_f = U_f / R_f

0 = – R_уd i_уd ;

0 = – R_уq i_уq ;

U_cd = – U_c · sin q ; U_cq = U_c · cos q ;

y_cd =L_d i_cd + L_ad i_f ; y_cq =L_q i_cq ;

Подставим потокосцепления в уравнения  баланса напряжений статора:

U_c · sin q = L_q · i_cq – R₁ · i_cd ;

U_c · cos q = L_d · i_cd – L_ad · i_f + R₁ · i_cq ;

где L_q = L_aq + L_cs   ;    L_d = L_ad + L_cs

Разрешим уравнения  относительно токов статора:

При R₁ = 0 :   

Определим электромагнитный момент СМ:

M_ЭМ=y_d · i_cq–y_q · i_cd=(L_d · i_cd+L_ad · i_f) · i_cq–L_q · i_cq · i_cd=

=L_q · i_cd · i_cq+l_ad · i_f · i_cq–l_cq · i _cq · i_cd=i_cd · i_aq · (L_d–L_q)+L_ad · i_f · i_cq

После преобразований:

Комплексная мощность определяется произведением  комплексов тока и потокосцепления статора:

S = U · I^* = ( U_d + j U_q ) ( I_d – j I_q ) =  [ U_d I_d + U_q I_q ] + j [ U_q I_d – U_d I_q ]

Или после разделения компонент получаем активную и реактивную мощности

P₁ = U_c [ I_q cos q – I_d sin q ] = U_c · I_ca

Q₁ = U_c [ I_d cos q + I_q sin q ] = U_c · I_cp

tg j = I_cp / I_ca   ;

I_c  =     I_d² + I_q²   =     I_a² + I_p²