Лекции по "Математическому моделированию электрических машин"

y₁=y₀+Dt·f(t)|_t=0; y_i=y_i-1+Dt·f(t_i-1).

Методы Рунге - Кутта.

а) Метод Рунге - Кутта 2 - го порядка.

y'=f(x,y) ;

y_m+1=y_m+(k₁+k₂)·h/2 ,

где   k₁=f(x_m,y_m)

        k₂=f(x_m+h; y_m+h·k₁)

б) Метод прогноз - коррекция.

Y_m+1=Y_m+h·k₂

где   k₂=f(x_m+h/2; y_m+k₁· h/2)

k₁=f(x_m, y_m)

в) Метод Рунге - Кутта 4-го порядка.

Y_m+1=Y_m+(k₁+2·k₂+2·k₃+k₄)·h/6

где   k₁=f(x_m, y_m)

        k₂=f(x_m+h/2; y_m+k₁·h/2)

k₃=f(x_m+h/2; y_m+k₂·h/2)

k₄=f(x_m+h; y_m+k₃·h)

 

Практическое правило  оценки погрешности по Рунге

Ошибка интегрирования :

O(h)=[y(h)–y(h/2)]/(2^r–1), где где r – порядок метода, y(h) – значение интеграла определённое с шагом h, y(h/2) ) – значение интеграла определённое с шагом h/2. Для метода 4-го порядка

O(h)=[y(h)–y(h/2)]/15

9 Исследование переходных процессов  в ЭМ с взаимно неподвижными  осями обмоток

9.1 Дифференциальные уравнения  двухобмоточного трансформатора.

Уравнения баланса напряжений обмоток  трансформатора :

u₁ =R₁ i₁ + L₁₁·dy₁₁/dt

-u₂ =R₂ i₂ + L₂₂·dy₂₂/dt   (9.1)

Принимаем, что насыщение магнитной  цепи отсутствует Þ

L₁₁ , L₂₂ , L₁₂ , L₂₁ = const

Взаимоиндуктивности : L₁₂ = L₂₁

Собственные индуктивности : L₁₁ = L_1s + L₁₂ , L₂₂ = L_2s + L₂₁

L_1s , L_2s – индуктивности рассеяния.

Потокосцепления : y₁₁ = L₁₁ i₁ + L₁₂ i₂ , y₂₂   = L₂₂ i₂ + L₂₁ i₁

 

u₁ = R₁ i₁ + L₁₁·di₁/dt + L₁₂·di₂/dt

-u₂ = R₂ i₂ + L₂₂·di₂/dt + L₂₁·di₁/dt   (9.2)

Применим операторный метод.

U₁(p) = (R₁ + p L₁₁) i₁(p) + p L₁₂ i₂(p)

- U₂(p) = p L₁₂ i₁(p) + (R₂ + p L₂₂ i₂(p)   (9.3)

В относительных единицах L₁₁ = x₁₁ , L₂₂ = x₂₂ , L₁₂ = x₁₂ .

Разрешим систему уравнений  относительно токов обмоток:

  (9.4)

U₂ можно выразить через ток нагрузку :

U₂ = R_N i₂ + x_N di₂ / dt     ;       U₂(p) = (R_N + p x_N) i₂(p)

где R_N , x_N – сопротивления нагрузки.

 

Пример : ВКЗ двухобмоточного  трансформатора.

ВКЗ – внезапное короткое замыкание.

Считая U₂(p) = 0, получим :

  (9.5)

Z₁(p) – полное операторное сопротивление первичной обмотки;

G₂(p) – полная операторная проводимость вторичной обмотки.

  (9.6)

где X₁₁(p) – индуктивное операторное сопротивление первичной обмотки, равное

  (9.7)

Пренебрегаем активными сопротивлениями, т.к. они в трансформаторах большой  мощности значительно меньше индуктивных : R₁ =0 ; R₂ = 0.

Тогда : X₁₁(p)=X₁₁ – X₁₂² / X₂₂ = X₁₁' – переходное сопротивление трансформатора, сопротивление ограничивающее ток короткого замыкания.

Если U₁(t) = U_1m · sin (w₁t + a₀ ) и w₁=1 о.е. то изображение напряжения питания

U₁(p) = U₁(p·cos a₀ + p²·sin a₀) / ( p² + 1 ) (9.8)

Подставим (9.8) в (9.5)

  (9.9)

F₂(p) = p² + 1 = 0 характеристическое уравнение, корни которого равны: p_1,2 = ± j .

F₂'(p) = 2p – производная характеристического уравнения.

Тогда по теореме разложения (теорема  Хевисайда) оригинал равен:

 (9.10)

или после преобразований

  (9.11) , что при неблагоприятном  моменте коммутации соответствует  незатухающим колебаниям с амплитудой 

Формула (9.11) весьма удобна для оценки ударного тока.

При a₀ = 0 апериодическая составляющая i_a наибольшая и наоборот при a₀= p / 2, i_a = 0 .

i_1max=2·U_1m /x₁₁'= i_уд (a₀ =0) При учёте активных сопротивлений обмоток (R₁¹0, R₂¹0) апериодическая составляющая затухает с постоянной времени T_k= x_k / R_k .

9.2 Дифференциальные уравнения  МПТ (на примере ДПТ параллельного  возбуждения)

Ключ К – для коммутации обмотки якоря в процессе пуска  ДПТ параллельного возбуждения. Уравнение баланса напряжений цепи возбуждения

U = R_в · i_в + dy_вш / dt

R_в= R_рег+ R_ш – сопротивление цепи возбуждения.

Уравнение баланса напряжений цепи якоря

U = R · i_в + dy / dt + w · y_ad

R = R_д + R_a + R_k – сопротивление цепи якоря, где R_д – активное сопротивление добавочных полюсов ; R_k – компенсационной обмотки , y – собственное потокосцепление якоря :

y = ( L_д + L_a + L_k ) · i_a + 2 ( L_kд – L_ka – L_да ) · i_а

где L_kд – коэффициент взаимоиндукции между компенсационной обмоткой и обмотками дополнительных полюсов.

Уравнение движения : J · dw / dt = M – M_c ,где J – момент инерции ;

M = y_ad · i_a – электромагнитный момент.

В результате получилась полная система  уравнений, описывающая электромеханические переходные процессы ДПТ. В общем случае система уравнений нелинейная, т.к. содержит нелинейные составляющие:

А) ЭДС вращения (w · y_ad ) – произведение двух величин;

Б) М - нелинейная функция тока возбуждения  и тока якоря;

В) Наличие нелинейных свойств кривой намагничивания – индуктивности  – переменные коэффициенты уравнений;

Г) М_с = f(w) – тоже нелинейная.

Все это приводит к тому, что с учетом всех факторов аналитическое решение этой системы получить в общем виде невозможно. Но с учетом упрощений в частных случаях можно получить и аналитическое решение.

9.3 Аналитическое решение для  безреостатного пуска ДПТ параллельного возбуждения (до 30 кВт )

Допущения :

1.  Насыщение магнитной цепи постоянно Þ L = const;

2.  Пренебрегаем реакцией якоря. Реакция якоря отсутствует Þ Ф=const; Одновременно пренебрегаем влиянием обмотки добавочных полюсов и компенсационной обмотки, тогда:

y = ( L_д + L_k + L_a ) · i_a

3.  Переходный процесс в цепи возбуждения завершается до включения цепи якоря, тогда потокосцепление главных полюсов с обмоткой якоря по продольной оси постоянно: y_ад= const Þ ЭДС вращения является линейной функцией от частоты вращения. Е_вр=w·y. Аналогично электромагнитный момент является линейной функцией  тока якоря: М=y_ad·i_a;

4.  Пренебрегаем влиянием момента сопротивления (М_с = 0) или считаем его постоянным при изменении частоты вращения. Допущение правомерно, т.к. М_с не влияет на динамику, а влияет на длительность процесса.

С учетом допущений :

1.  U = R · i_a + L · di_a / dt + w · y_ad

2.  J · dw / dt = y_ad · i_a

Продифференцируем уравнение 1 по времени, а из 2 выразим dw / dt и подставим в 1:

0 = R · dw / dt + L · d²i_a / dt² + y_ad · dw / dt

dw / dt = y_ad · i_a / J

Получим выражение  

Введем условное обозначение: J / y²_ad = C_э - эквивалентная динамическая емкость якоря, тогда

Характеристическое уравнение : ;

Корни характеристического уравнения:

Обозначим: d=R/(2L) - коэффициент, характеризующий затухание переходного процесса, - частота собственных колебаний, тогда:

Возможны следующие  варианты:

а) d > w₀

дискриминант положителен  и получаются два различных корня:

- апериодический переходный процесс.

При нулевых начальных  условиях i_a(0)=0; w(0)=0 при t=0 i_a(0)=A₁+A₂=0 Þ A₁= -A₂ , соответственно

Из уравнения баланса напряжений U=R·i_a+L·di_a/dt+w·y_ad при нулевых начальных условиях следует di_a/dt=U/L.

С другой стороны исходя из уравнения  тока якоря 

.

Из сопоставления уравнений  получаем или окончательно

Закон изменения скорости получим интегрируя уравнение движения: .

После подстановки i_a и интегрирования получим выражение

.

Учитывая что  , окончательно запишем уравнение частоты вращения 

Процесс пуска характеризуется резким нарастанием I_a и медленным спаданием благодаря затуханию свободных составляющих I_a .

Установившийся режим  соответствует моменту времени t=¥, при этом частота вращения равна скорости идеального холостого хода , что обусловлено пренебрежением статическим моментом.

 

б) d = w₀

дискриминант равен  нулю и получаются два равных корня:

- предельный апериодический переходный  процесс.

После определения постоянных интегрирования

в) d< w₀

дискриминант отрицательный, корни  комплексные и сопряженные :

i_a =( A₁ · cos bt + A₂ · sin bt ) · e ^{– d t} , где - затухающий колебательный процесс.

После определения постоянных интегрирования и преобразований получим

Колебательный характер изменения  частоты при пуске нежелателен. Для устранения колебательности  требуется повысить динамическую емкость  якоря за счет :

• Увеличения момента инерции (J);
• Уменьшения потокосцепления (y_ad).

 

10 Графоаналитические методы расчета

10.1  Расчета пуска ДПТ параллельного возбуждения

Расчёт производится с учётом статического момента М_с . Предполагается, что электромагнитные переходные процессы затухают значительно быстрее механических: Т_эм << Т_мех и поэтому расчет переходных процессов производится с использованием статических механических характеристик.

Предположим, что механические характеристики двигателя и механизма  заданы в виде графиков: M = f (w)  ; M_c = f (w) . Тогда можно определить динамический момент

DM = M – M_c = j · dw / dt.

Данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение  с разделяющимися переменными

dt = dw · J / DM .

Проинтегрируем и получим  выражение определяющее время разгона привода до скорости вращения w:

 – аналитическая предпосылка метода.

От абсолютных величин w и М переходим к относительным:

n = w / w_н – относительная частота вращения .

M = DM / M_н – относительный динамический момент.

В результате замены переменных получим :

T_m = J · w_н /  M_н – механическая постоянная времени разгона двигателя.

Относительное время  разгона двигателя : 

Механическая характеристика двигателя  и механизма :

DM_x – динамический момент, соответствующий скорости w_х.

Переход к относительным величинам  производится при делении на номинальную величину. При w=w_н , n = 1.

Операция численного интегрирования сводится к вычислению площадей ограниченных графиками.

10.2 Графоаналитический расчет процесса самовозбуждения ГПТ параллельного возбуждения

Условия самовозбуждения:

1. Наличие остаточного магнитного потока;
2. ОВ должна быть включена согласно по отношению к остаточному магнитному потоку;
3. Сопротивления ОВ должно быть меньше критического.

Уравнения баланса напряжений :

U_в = R_в · i_в + dy_ш / dt ;

E_a – U_a = R_a · i_a + dy_a / dt ;

y_ш = L_ш i_в  – потокосцепление обмотки возбуждения.

 

i_a = i_в ; U_a = U_в – в процессе самовозбуждения, так как. цепь ОЯ замкнута только на ОВ.

 

E_a = ( R_a + R_в ) · i_в + dy_ш / dt + dy_a / dt ;

R_в = R_ш + R_p ;

R_p – регулировочное сопротивление.

y_a = L_a · i_a = L_a · i_в ;

E_a = ( R_a + R_p ) · i_в + d [ ( L_ш + L_a ) · i_в ] / dt ;

Учтём R_a << R_в , L_a << L_ш

Электродвижущая сила, наводимая  в обмотке якоря может быть представлена : E_a = e_h + e_i ,

где e_h – ЭДС, создаваемая остаточным магнитным потоком;

e_i – ЭДС, создаваемая приращением магнитного потока.

E_a = d ( L_ш · i_в ) + R_в · i_в = w_ш · dФ_ш / dt + R_в · i_в ;

E_a – R_в · i_в = w_ш · dФ_ш / dt = De – изменение ЭДС.

Известно, что ЭДС ОЯ всегда пропорциональна потоку ÞE_a /E₀=Ф_ш /Ф₀;

Где E₀ , Ф_ш – установившиеся значения ЭДС и магнитного потока.

Скорость изменения  магнитного потока :

 подставим в выражение разностной ЭДС: