Лекции по "Математическому моделированию электрических машин"

.  (5.6)

Распределение индук-ции магнитного поля в воздушном зазоре опреде-ляется магнитной прово-димостью воздушного зазора. Амплитуда основ-ной гармонической  составляющей индукции в воздушном зазоре, созданная обмоткой статора, равна:

 

, (5.7)

 

где l_d - магнитная проводимость воздушного зазора; k_d=B_1m1/B_ad – коэф-фициент формы поля статора по продольной оси.

С учётом (5.6) и (5.7) получаем выражение для основной гармонической составляющей индукции магнитного поля созданного обмоткой статора:

 

.  (5.8)

 

Основная гармоническая составляющая индукции магнитного поля в воздушном  зазоре явнополюсной СМ, созданная  сосредоточенной обмоткой возбуждения:

.  (5.9) где

k_f=B_fm1/B_fm – коэффициент формы поля ротора по продольной оси, w_f – число витков обмотки возбуждения на один полюс.

Основная гармоническая составляющая индукции в воздушном зазоре машины, созданная приведённой обмоткой ротора равна:

.  (5.10)

Приведённый ток ротора I_f^', протекая по приведённой обмотке, должен создавать такую же амплитуду основной гармонической составляющей индукции магнитного поля, какую создаёт оеальный ток ротора. Из равенства (5.9) и (5.10) следует:

.  (5.11)

5.3 Определение коэффициента приведения  напряжений

 

Коэффициент приведения напряжения определяется из условия сохранения полной мощности приводимой обмотки, т.е.:

.  (5.12)

Откуда следует:

.  (5.13)

Если m₂£2, то

.  (5.14)

5.4 Определение коэффициента приведения  сопротивлений

Рассмотрим уравнения баланса  напряжений двух индуктивно связанных  контуров:

  (5.14)

Умножим второе уравнение на k_u и заменим в обоих уравнениях I₂=I₂^'/k_i, получим:

 (5.15)

Введём обозначения:

 (5.16)

где R₂^', X₂₂^' – приведённые активное и индуктивное сопротивления вторичного контура; X₁₂^' – приведённое сопротивление взаимной индуктивности контуров.

С учётом обозначений (5.16) уравнения  приведённой электрической цепи имеют вид:

  (5.17)

6 Определение эквивалентных параметров короткозамкнутых обмоток

Если не требуется определение  распределения токов в стержнях короткозамкнутых обмоток, то обычно их заменяют эквивалентными сосредоточенными обмотками, расположенными на продольной и поперечной осях машины. При эквивалентировании обмоток исходят из инвариантности основных гармонических составляющих МДС и мощностей энергии рассеиваемой в этих обмотках.

6.1 Замена короткозамкнутых обмоток  ротора эквивалентными контурами

 

Рассмотрим схему распределения  токов в демпферной обмотке по продольной - d и поперечной - q осям (Рис.6.1,а и б). Составляющие токов в стержнях по продольной оси возникают под действием пульсирующего магнитного поля созданного МДС статора F_d (Рис_..6.2). При синусоидальном распределении F_d вдоль поверхности ротора максимальное значение тока будет в стержнях смещённых от оси поля на половину полюсного деления t₁/2. В первом приближении можно принять распределение составляющих токов в стержнях по оси d синусоидальным. Тогда ток в любой паре стержней, смещённых от оси полюса на расстояние t_k/2 и образующих короткозамкнутый контур, равен:

.  (6.1)

Ток  I_kdm протекая в k-й паре стержней, создаёт МДС, которая изменяется в пространстве по прямоугольному закону. Амплитуда основной гармонической составляющей этой МДС:

. (6.2)

Амплитуда основной гармонической  составляющей МДС на один полюс, созданная  продольными составляющими токов  стержней, определяется суммой МДС  всех короткозамкнутых контуров демпферной обмотки по продольной оси:

. (6.3)

Так как стержни на полюсах, как правило, распределены равномерно, то угол между двумя  соседними стержнями можно обозначить - a_с, тогда:

. (6.4)

С учётом (6.3) и (6.4) получим:

. (6.5)

При протекании по эквивалентной  демпферной обмотке ротора по продольной оси тока с амплитудой I_уdm, амплитуда первой гармоники МДС, создаваемой этой обмоткой будет равна:

 

. (6.6)

Исходя из равенства  основных гармоник МДС реальной и эквивалентной обмоток F_уdm=F_эdm, получим:

. (6.7)

Аналогично, составляющие токов стержней по поперечной оси  создаются пульсирующим магнитным  полем, созданным МДС F_q:

.  (6.8)

Тогда МДС, создаваемая k-й парой стержней:

. (6.9)

Для обмотки в целом:

. (6.10)

Или после соответствующих  преобразований получим:

. (6.11)

Для эквивалентной обмотки:

. (6.12)

Исходя из равенства F_уqm=F_эqm, получим:

. (6.13)

В асинхронных машинах (АМ) с короткозамкнутым ротором  эквивалентирование производится аналогично. Учитывая равномерное распределение  пазов по окружности ротора, число  стержней, приходящихся на одно полюсное деление равно:

,  (6.14)

где Z₂ – число пазов ротора.

Подставляя (6.14) в (6.7) и (6.13), а также учитывая, что в АМ a_с=p/n_с, находим число витков эквивалентных обмоток по осям:

. (6.15)

6.2 Определение сопротивлений эквивалентных обмоток ротора

 

Сопротивления эквивалентных  обмоток определяются исходя из сохранения мощности потерь. Для эквивалентных  обмоток:

 

  (6.16)

 

Потери в реальной обмотке определяются как сумма  потерь в отдельных её элементах (стержнях и короткозамыкающих кольцах):

  (6.17) - потери мощности в k-м элементе, где I_kdm – максимальное значение продольной составляющей тока в k-м стержне (6.1), R_kd – активное сопротивление k-го стержня и приведённого сопротивления примыкающих элементов короткозамыкающих колец.

Полные потери мощности в демпферной обмотке ротора по продольной оси

. (6.18)

Приравнивая правые части P_эd из (6.16) и P_уd из (6.18) найдём выражение для активного сопротивления эквивалентной обмотки по продольной оси:

. (6.19)

Аналогично определим  активное сопротивление эквивалентной  обмотки по поперечной оси:

. (6.20)

Для индуктивностей рассеяния  критерием эквивалентирования служит условие сохранения энергии магнитных полей рассеяния, из которого получаем:

; (6.21)

. (6.22)

Для асинхронного двигателя  с короткозамкнутым ротором активные сопротивления стержней одинаковы:

.

Тогда из (6.19) получаем:

. (6.23)

С учётом (6.15), следует 

. (6.24)

Аналогично 

. (6.25)

Коэффициенты приведения для АД :

  (6.26)

С учётом приведения параметры эквивалентной короткозамкнутой обмотки АД равны:

 (6.27)

7 Обобщенная электрическая машина

 

Все электрические машины характеризуются  общностью происходящих в них  электромагнитных и механических процессов. ЭМ подразделяются на пять типов:

• Машины постоянного тока;
• Трансформаторы;
• Асинхронные двигатели;
• Синхронные машины;
• Коллекторные машины переменного тока.

 

В качестве обобщённой электрической  машины принимается двухфазная двухполюсная электрическая машина с двумя взаимно перпендикулярными обмотками на статоре и роторе. Независимо от числа фаз и полюсов все электромагнитные и механические процессы те же самые. Достоинства принятой модели определяются тем, что:

1. В двухфазной двухполюсной ЭМ все электрические углы совпадают с пространственными;
2. Перпендикулярное положение обмоток обуславливает отсутствие индуктивной связи между ними (упрощение уравнений);
3. Вращающееся круговое поле создаётся при фазовом сдвиге питающих напряжений 90° (одно напряжение синусоидальное, а другое косинусоидальное)

 

Расчётные модели ЭМ:

1. Расчётная схема машины постоянного  тока.

Ось a статора совмещается с осью главных полюсов (U_ac=U_в). Ось b статора совмещается с осью дополнительных полюсов. Магнитное поле якоря в связи с наличием счёточно-коллекторного устройства остаётся неподвижным по отношению к статору. Поэтому координатные оси ротора совпадают со статорными. Обмотка якоря совмещается с осью b (U_bp =U_я ).

2. Расчётная схема асинхронного  двигателя.

Обмотки статора совмещены  с осями a и b, питаются напряжением с частотой сети (U_ac, U_bc – var;  f₁=f_c). Обмотки ротора закорочены и U_ap=U_bp=0. Исключение составляет двигатель двойного питания ( U_ap, U_bp создаются преобразователем частоты – f₂¹f₁). При вращении ротора поля статора и ротора взаимно неподвижны.

3. Синхронные машины.

U_ac, U_bc аналогично АД определяются источником питания переменного тока (f₁). На роторе демпферные обмотки учитываются короткозамкнутыми контурами как в случае АД, а обмотка возбуждения совмещается с осью a ротора (U_ap=U_в, f₂=0 - постоянное напряжение).

4. Расчётная схема трансформатора.

Подход аналогичен принятому в  АД, но оси вторичной обмотки ("ротора") совпадают с осями первичной  обмотки ("статора"). В модели отсутствуют  уравнения движения.

7.1 Переход от трехфазной к  двухфазной системе координат.

 

Изображающий вектор тока статора  может быть определён исходя из значений фазных токов статора:

I_s =2/3·(i_a +a·i_b+a²·i_c), где a = e ^j120° - поворотный коэффициент. Иначе изображающий вектор может быть записан в системе координат a-b:

I_s=i_ac+j·i_bc.

После разложения изображающего вектора  на компоненты i_ac,·i_bc системы координат, получаем:

 

I_s=2/3·(i_a+i_b·(cos120⁰+j·sin(120⁰))+I_c·(cos(-120⁰)+j·sin(-120⁰))=

=2/3·(i_a+i_b·(-1/2+j· /2)+i_c·(-1/2-j· /2))=

=2/3·(i_a–1/2·(i_b+i_c)+j· /2·(i_b-i_c)).

 

Из сопоставления компонент  следуют уравнения преобразования трёхфазной системы координат в  двухфазную:

i_ac=2/3·(i_a–1/2·(i_b+i_c)); i_bc=1/ ·(i_b–i_c).     (7.1)

Аналогично, проецируя компоненты изображающего вектора i_ac, i_bc на оси фаз получим уравнения обратного преобразования (из двухфазной ситемы координат в трёхфазную):

i_ac=i_ac;  i_bc=–1/2·i_ac+ /2·i_bc;  i_cc=–1/2·i_ac– /2·i_bc .    (7.2)

Приведённые уравнения координатных преобразований применимы также и к U_c ,F_c , Ф_с и для роторных величин.

7.2 Уравнения обобщенной электрической машины в независимой системе координат статора и ротора.

 

Для каждой обмотки записываются уравнения  баланса напряжений :

  (7.3)

В этих уравнениях потокосцепления  определяются суммой МДС все обмоток  за исключением ортогональных:

  (7.4)

где L – собственные индуктивности обмоток (коэффициенты самоиндукции), l – взаимные индуктивности обмоток (коэффициенты взаимоиндукции).

При постоянном воздушном зазоре и  ненасыщенной магнитной цепи ЭМ коэффициенты самоиндукции обмоток машины – величины постоянные (L=const). Симметрия машины по осям a, b и синусоидальное распределение МДС позволяют записать равенство :

  (7.5)

где g – угол между осями статора и ротора (угол положения ротора);

L_m – коэффициент взаимной индукции при совпадении осей обмоток.

Уравнения движения ротора:

  (7.6)

где J –эквивалентный момент инерции привода, m_c – статический момент (момент сопротивления), m – электромаг-нитный момент ЭМ, который может быть выражен через потокосцепления и токи:

.  (7.7)

Компоненты напряжений статора  и ротора могут быть получены проецированием изображающих векторов на соответствующие  координатные оси:

 

 (7.8)

7.3 Уравнения обобщенной электрической  машины в единой системе координат, вращающейся с произвольной частотой.

 

Рассмотрим новую систему координат  х-y , которая вращается с произвольной частотой вращения w_x. Спроецируем изображающие вектора на оси этой системы координат:

 (7.9)

Разрешим (7.9) относительно изображающих векторов в исходной системе координат:

 (7.10)

и подставим в уравнение баланса  напряжений статора, записанное в векторной  форме:

. (7.11)

После подстановки получим

 

 (7.12)

или после дифференцирования изображающего  вектора потокосцепления

  (7.13)

Сократив в выражении (7.13) повторяющийся  во всех слагаемых сомножитель в  виде экспоненты приведём уравнение  к виду:

. (7.14)

Разложив комплексное выражение  по компонентам координатных осей, окончательно запишем:

   (7.15)

Напряжения питания из (7.9) определяются:

(7.16)

Аналогично преобразуем уравнение  баланса напряжений ротора, записанное в векторной форме:

.  (7.17)

С учётом проецирования изображающих векторов в систему координат  x-y:

 (7.18)

После преобразований уравнение (7.17) принимает вид: