Лекции по "Математическому моделированию электрических машин"

. (7.19)

Или после разложения на компоненты координатных осей:

   (7.20)

Компоненты напряжения обмоток  ротора равны:

(7.21)

Отличительной чертой уравнений (7.15) и (7.20) является наличие наряду с  трансформаторной ЭДС (dy/dt) слагаемых вида w_x×y и (w-w_x)×y , которые называются ЭДС вращения и учитывают перемещение векторов потокосцеплений по отношению к обмоткам.

Существенным отличием системы  координат x-y является то, что она единая для статора и ротора и поэтому обмотки статора и ротора взаимно неподвижны, следовательно, коэффициенты взаимоиндукции – величины постоянные:

  (7.22)

Отсутствие периодических коэффициентов  в уравнениях потокосцеплений (7.22) существенно  упрощает анализ переходных и статических  режимов ЭМ.

7.4 Уравнения обобщённой электрической  машины в различных системах координат.

 

Уравнения получаются из (7.15) и (7.20) подстановкой соответствующей частоты вращения системы координат - w_x.

 

а) Неподвижная система координат a – b, w_x=0. Ось a совмещается с осью одной из фаз статора.

  (7.23)

Электромагнитные процессы в статоре  соответствуют реальным, роторные параметры  требуют координатных преобразований.

б) Cистема координат d – q жёстко связанная  с вращающимся ротором, w_x=w.

  (7.24)

По осям d и q получаем токи, соответствующие роторным контурам. Статорные величины нуждаются в координатных преобразованиях.

в) Синхронно – вращающаяся система  координат u – u (w_x=w₁ – угловая частота сети).

  (7.25)

Напряжения в уравнениях определяются в соответствии с (7.16) и (7.21).

 

8 Методы расчёта переходных  процессов, применяемые при анализе электрических машин.

8.1 Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

 

Пусть есть система линейных алгебраических уравнений вида :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ¼ + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ¼ + a_2nx_n = b₂

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ¼ + a_nnx_n = b_n

Решением системы уравнений  является совокупность значений a₁, a₂, …a_n, которая при подстановке обращает все уравнения в верные равенства.

8.1.1 Метод Гаусса.

Суть метода заключается в том, что система уравнений посредством  последовательных линейных преобразований приводится к треугольному виду.

Пример :

x + x₂ + 2·x₄ + 3·x₅ = 5

2·x₁ + 4·x₂ – x₃ + 5·x₄ + 4·x₅ = –1

x₁ + 3·x₂ + 5·x₄ + 2·x₅ = –3

3·x₁ + 7·x₂ – 3·x₃ + 9·x₄ + 2·x₅ = –14

2·x₁ + 8·x₂ – 4·x₃ + 2·x₄ + 7·x₅ = –10

Используем расширенную матрицу (добавлена правая часть ), опускают x. Умножаем первую строчку на коэффициенты и складываем с остальными строками, чтобы получились ноли в первом столбце.

 

1	1	0	2	3	5				1	1	0	2	3	5
2	4	-1	5	4	-1				0	2	-1	1	-2	-11
1	3	0	5	2	-3				0	2	0	3	-1	-8
3	7	-3	9	2	-14				0	4	-3	3	-7	-29
2	8	-4	2	7	-10				0	6	-4	-2	1	-20

 

Аналогично повторяются преобразования до полного исключения элементов расположенных ниже главной диагонали. Получаем конечный вид ступенчатой системы уравнений :

1	1	0	2	3	5			x5 =	2
0	2	-1	1	-2	-11			x4 =	0
0	0	1	2	1	3			x3 =	1
0	0	0	3	-2	-4			x2 =	-3
0	0	0	0	6	12			x1 =	2

 

Если в первой строке первый элемент  нулевой, то строки нужно переставлять.

Система может быть такова, что  после триангуляции получим все  нули (система вырожденна), в этой ситуации какой бы ни было x, решение правильно (бесконечное множество взаимосвязанных решений).

А может быть и так, что в последней строке все нули, кроме последнего, следовательно система несовместна и не имеет решения. Такие ситуации возникают, когда система уравнений изначально была линейно зависимой (дважды использовалось одно условие или не учтена какая либо связь параметров).

Этот метод хорош тем, что  он хорошо алгоритмизируется.

Недостаток: значительный объём иррациональных преобразований приводит к накоплению ошибки, что существенно проявляется  при высоком порядке решаемой системы уравнений.

8.1.2 Правило Крамера

 Корни системы уравнений при условии, что D ¹ 0 (главный определитель уравнения не равен нулю), можно определить по формуле :

x_i  = D_i / D      ; где D_i – дополнительный определитель.

Для матрицы второго порядка:

 

D² =   a₁₁  a₁₂   = a₁₁·a₂₂–a₁₂·a₂₁

          a₂₁  a₂₂ 

Для матрицы третьего порядка:

 

          a₁₁   a₁₂   a₁₃

D³ =   a₂₁   a₂₂   a₂₃   = a₁₁·a₂₂·a₃₃+a₁₂·a₂₃·a₃₁+a₂₁·a₃₂·a₁₃–

          a₃₁   a₃₂   a₃₃       a₁₃·a₂₂·a₃₁–a₁₂·a₂₁·a₃₃–a₁₁·a₂₃·a₃₂

 

В общем случае определитель равен  сумме всех произведений элементов матрицы, не совпадающих по номерам строк и столбцов. Существуют алгоритмы разложения определителя по элементам столбца или элементам строки. Расклад по элементам 1-го столбца :

Dⁿ=a₁₁·A₁₁· (-1)¹⁺¹ + a₂₁·A₂₁· (-1)²⁺¹ + ¼ + a_ij·A_ij· (-1)ⁱ⁺¹ ,

где A – алгебраическое дополнение.

 

Для вычисления используются :

Метод рекурентных обращений (обращений само на себя). Алгоритм вычисления Dⁿ сводится к рекурсированию (создание новой матрицы и вычисление ее).

Другой алгоритм вычисления определителей  подразумевает собой комбинацию метода Гаусса и правило Крамера.

8.1.3 Матричный метод.

Систему уравнений можно записать в матричной форме : А·X=B, тогда X=A^-1´B   ,где А^-1 – обратная матрица.

При этом выполняются следующие  правила умножения матриц:

Если А=(a_ij)_m´n – матрица из m строк и n столбцов, B=(b_ik)_n´p – матрица из n строк и p столбцов, тогда: A´B=C=(c_ik)_m´p– матрица из m строк и p столбцов. У матрицы A количество столбцов должно быть равно количеству строк матрицы B. Элементы результирующей матрицы определяются:

  ;    i = 1,2,¼,m  ;   j = 1,2,¼,p

Пример :

A =   4   -1          B =   1   2   3       A´B =   0   3   6

         5   -2                   4   5   6                    -3   0   3 

 

Если А, В – квадратные матрицы, то выполняется свойство:

А´В=(В´А)^Т , где (В´А)^Т – транспонированная матрица (строки меняются местами со столбцами ).

Е – единичная матрица ( все элементы матрицы равны нулю за исключением лежащих на главной диагонали, которые равны единице).

А^-1´А=Е , где А^-1 – обратная матрица.

 

Методы получения  обратной матрицы :

1. Метод решения систем уравнений.

a_k1·x₁ + a_k2·x₂ + ¼ + a_kn·x_n =   0 , k ¹ i

                                                1 , k =i   k = 1, 2, ¼ , n

Таким образом получаем n уравнений.

2. Прямой метод.

   A₁₁, A₂₁, A_n1 – алгебраические дополнения. A_i,j -определитель, полученный после исключения i-й строки и j-го столбца.

A₁₁     A₂₁    ¼      A_n1

|A|      |A|               |A|

 

A₁₂     A₂₂     ¼     A_n2

|A|      |A|               |A|

¼¼¼¼¼¼¼¼¼

A_1n     A_2n     ¼     A_nn

|A|      |A|               |A|

 

3. Метод элементарных преобразований.

Добавляем  в расширенную часть  единичную матрицу. Над основной и расширенной частями матрицы  выполняется последовательность одинаковых линейных преобразований с тем, чтобы привести исходную матрицу к виду единичной матрицы. Тогда в результате расширенная часть будет содержать матрицу обратную к исходной.

Пример :       А =   1   3  ;

                               4   5

   1   3   1   0        1   3   1   0          7/3   0   -5/3   1           1   0   -5/7   3/7

   4   5   0   1        0  -7  -4   1            0   -7    -4      1            0   1    4/7  -1/7

 

A^-1 =   -5/7    3/7

            4/7   -1/7

8.2 Методы решения дифференциальных  уравнений

8.2.1 Классический метод

Применяется к группе ЭМ с взаимно-неподвижными осями обмоток: МПТ, трансформаторы, коллекторные машины переменного тока.

Пример : рассмотрим переходный процесс включения ненагруженного трансформатора в сеть.

Так как вторичная обмотка трансформатора разомкнута, то процесс совпадает с включением индуктивной катушки в сеть переменного тока.

Уравнение баланса напряжений первичной  обмотки

u₁=-e₁+i₁R₁=U_m1·sin(wt+j_u); где e₁=–L₁·di₁/dt.

L₁·di₁/dt+R₁i₁=U_m1·sin(w₁t+j_u) – представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого имеет две составляющие:

i₁=i_1св+i_1в ( или иначе i₁ = i_1пер + i_1уст )

Определим i_cв как общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

L₁·di₁/dt+R₁i₁=0 – уравнение с разделяющимися переменными;

(L₁/R₁)·(di₁ /dt)=–i₁;  (L₁/R₁)·(di₁ /i₁)=–dt;

Обозначим t₁=L₁/R₁ – постоянная времени, тогда t₁·lni₁=–t+ c или после потенцирования

i₁=exp(–t/t+c'). Или иначе i₁ = A·e ^-t/t , где A = e^c'.

 

Определим i_1в как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (обычно определяется путём расчёта установившегося режима).

i_1в=I_1m·sin (w₁t + j₁) , где

- амплитудное значение установившегося  тока.

j=arctg(x₁/R₁)=arctg(w₁·t₁)

Таким образом ток определяется суммой составляющих:

i₁=I_1m·sin(w₁t+j_u–j)+A·e^-t/t.

Определим постоянную интегрирования исходя из начальных условий и  с учётом законов коммутации:

i₁(0_–)=i₁(0₊); i₁(0₊)=A+I_1m·sin(w₁t+j_u–j)=0;

Окончательное решение 

i₁=I_1m·[sin(w₁t+j_u+j)–sin(j_u–j)·e ^–t/t]

8.2.2 Операторный метод.

В основе метода положено преобразование Карсона - Хейвисайда .

Достоинства: изображение сохраняет  смысл физических величин, имеет  размерность оригинала.

F(p) = p · ò f(t)·e ^–pt·dt

f(t) – оригинал ; F(p) – изображение.

 

Изображения некоторых часто встречающихся функций:

Оригинал	Изображение
sin(at)	ap / (p2 + a2)
cos(at)	p2 / (p2 + a2)
e – a t	p / (p + a)
sin (bt ± a)	(bp·cos a ± p2·sin a) / (p2 + b2)
t×e-a×t	p/(p+a)2

Решение обратной задачи – поиск  оригинала по изображению. Если изображение  задано в виде степенной функции, то оригинал определяется в виде степенного ряда:

;

если изображение получено в  виде F(p)=F₁(p)/F₂(p), то

f(t)=F₁(0)/F₂(0)+å[(F₁(p_k)·exp(p_kt))/(p_k·F^'₂(p_k))].

8.2.3 Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений

Метод Эйлера.

Достоинство : простота алгоритмизации.

Если уравнение задано в виде: ¶y / ¶t = f(t) определить y(t).

Формулы численного интегрирования: