Лекции по "Математическому моделированию электрических машин"

Специальный курс электрических  машин (конспект лекций)     

Специальный курс электрических  машин (конспект лекций)     

  Пермский государственный технический  университет

 

Кафедра электротехники

 

 

 

 

 

 

 

Электрические машины

(специальный курс)

конспект лекций

 

 

 

 

Подготовил: ст. преподаватель Тюленёв М. Е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пермь-1999

 

 

Цель курса: получение теоретических и практических знаний по математическим методам исследования электромеханических переходных процессов в электрических машинах (ЭМ), влияния различных технологических факторов и параметров ЭМ и питающей сети на статические и динамические характеристики. Ясное понимание физических явлений, имеющих место при переходных процессах ЭМ, умение давать количественную оценку изменения величин токов, напряжений, для обоснованного выбора более технологичных конструктивных решений, наиболее рациональных технологических приемов и оборудования при организации выпуска ЭМ на современном специализированном предприятии.

 

Литература:

1. Сипайлов Г.А., Кононенко Е.В., Хорьков К.А. Электрические машины (специальный курс) – М.: Высшая школа, 1987.- 287с.
2. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. – М.: Высшая школа, 1987.- 248с.
3. Трещёв И.И. Электромеханические процессы в машинах переменного тока. – Л.: Энергия, 1980.- 344с.

 

Принятые условные обозначения:

 

ЭМ – электрическая  машина;

СМ, АМ, МПТ – синхронная, асинхронная машина и машина постоянного тока;

P, Q, S –активная реактивная  и полная мощности ЭМ;

I, I_m,i – действующее, амплитудное и мгновенное значения токов;

B, F, Y, F – индукция магнитного поля, магнитный поток, потокосцепление и магнитодвижущая сила;

w - угловая частота вращения ротора и угловая частота напряжения питающей сети;

М, М_с – электромагнитный момент и момент сопротивления ЭМ;

p – число пар полюсов ЭМ;

m, w – число фаз и число витков обмотки ЭМ;

R, X, Z – активное, реактивное и полное электрические сопротивления;

L, l – индуктивность самоиндукции и взаимная индуктивность обмоток ЭМ;

k_i, k_u, k_z – коэффициенты приведения обмоток.

l_d - магнитная проводимость воздушного зазора ЭМ;

s, r – индексы, соответствующие  статору и ротору;

a, b, c – наименование  фаз питающей сети и обмоток машин переменного тока;

d, q, a, b, u, v – оси систем координат;

 

Содержание:

 

 

 

Введение. Основные понятия и положения

 

Место электрических машин в  промышленности.

 

Тенденции развития электромашиностроения:

1. Рост единичной мощности установок (гидрогенераторы до 800-1000 МВт, турбогенераторы до 2000 МВт);
2. Повышение удельного использования материалов.

 

Задачи исследования:

1. Исследование переходных процессов в ЭМ:

А) Исследование электромагнитных переходных процессов в ЭМ (статические электромагнитные устройства либо электромеханические преобразователи энергии при неподвижном роторе или роторе вращающемся с неизменной частотой вращения);

Б) Исследование электромеханических  переходных процессов в ЭМ (с учётом изменения частоты вращения ротора).

2. Исследование статистических характеристик ЭМ. Установившийся режим – параметры постоянны или изменяются циклически. Из расчёта переходных процессов можно получить статистические режимы, а из расчёта статистических характеристик переходные режимы получить нельзя.

 

а)      б)

 

Рис.1 Статические а) и переходные б) характеристики ЭМ.

 

Методы исследования:

1. Экспериментальные исследования – не всегда доступно и часто опасно.
2. Математическое моделирование – очень эффективный метод. Основной вопрос – насколько модель адекватна объекту исследования.

 

Математическая модель – устанавливает взаимосвязь между параметрами объекта совокупностью формул.

Программа – это конкретная реализация математической модели (рассчитывает поведение модели при определённых условиях).

Характеристики математических моделей электрических машин:

• Сложность;
• Наличие периодических коэффициентов в уравнениях;
• Наличие нелинейных связей.

 

Математические модели ЭМ:

А) Уравнения баланса напряжений (описывается законом Кирхгофа).

1. Система дифференциальных уравнений pΨ_i=f(U_i,I_i).

2. Система алгебраических уравнений связи Y₁=f(L_i,M_ji,I_j).

Этой группы уравнений достаточно для анализа электромагнитных переходных процессов.

Б) Уравнения движения pw=f(m_i,m_c).

  А+Б= моделирование электромеханических переходных процессов.

Методы решения ММ –методы расчета  статических и переходных режимов:

1. Аналитические методы. Применяются с очень серьёзными допущениями. Сфера применения: качественный анализ процессов и характеристик.

2. Численные методы.

3. Комбинированные методы. С одной стороны - аналитическое преобразование уравнений (координатные преобразования, замена переменных и т.п.) и в то же время - использование численных методов их расчёта. В данное время наиболее эффективный подход.

1 Основные допущения, применяемые при анализе ЭМ

 

1.1 Насыщение магнитной цепи ЭМ.

А) Наиболее простой метод – насыщением пренебрегают (индуктивности определяются исходя из ненасыщенного состояния стали сердечников).

Б) Приближённый учёт насыщения. (индуктивности определяются исходя из среднего насыщенного состояния стали сердечников).

В) Насыщение учитывают косвенно. На каждом шаге интегрирования уравнений степень насыщения постоянна, значения индуктивностей корректируются с использованием характеристики холостого хода (кривой намагничивания).

1.2 Вытеснение токов в проводниках обмоток.

А) Пренебрегают вытеснением токов  – сопротивления обмоток считаются  постоянными.

Б) Приближённый учёт (применение функциональных зависимостей сопротивлений обмоток  например в зависимости от частоты вращения ротора или частоты изменения магнитного потока).

1.3 Синусоидальное распределение  МДС в пространстве. Считаем, что  МДС распределяется по синусоидальному  закону, а не ступенчато. Замена распределённой обмотки сосредоточенной, при сохранении величины эквивалентной МДС (F=const).

 

1.4 Независимость индуктивных сопротивлений рассеяния обмотки от угла положения ротора. L=f(a)=const.

1.5 Питание электрических машин от источника бесконечной мощности, т.е. R_ист=0 и напряжение источника не изменяется при изменении нагрузки. Для машин переменного тока напряжение питания синусоидально. Для машин постоянного тока напряжение постоянно.

2 Изображающие векторы и системы координат

 

Обмотки ЭМ питаются трёхфазным симметричным напряжением, следовательно и фазные токи обмоток изменяются по закону:

 

i_a=I_1msin(wt)

i_b=I_1msin(wt-120°)

 i_c=I_1msin(wt+120°)

 

МДС меняются также как ток, следовательно, результирующий вектор магнитного потока статора Ф в каждый момент времени будет определяться суммой:

Ф=Ф_а+Ф_b+Ф_с, или Ф=Ф_а+aФ_b+a²Ф_с,где а=е^j×120.

Ф=3/2 Ф_1mе^jwt – результирующий вектор характеризуется постоянной амплитудой в полтора раза превышающей амплитуду магнитного потока одной фазы, ориентация изменяется со скоростью, равной круговой частоте питающего тока.

Введём понятие изображающего вектора магнитного потока статора Ф_s=2/3 Ф_s=Ф_1mе^jwt. Причём, проекции вектора Ф_s на оси фазных обмоток в каждый момент времени будут соответствовать фазным магнитным потокам. По аналогии с Ф_s введём понятия изображающих векторов МДС, тока и напряжения статора:

F_s=2/3 (F_a+a×F_b+a²×F_c); I_s=2/3 (i_a+a×i_b+a²×i_c); U_s=2/3 (u_a+a×u_b+a²×u_c);

3 Системы координат

 

При анализе (расчёте) статических  и переходных режимов ЭМ используются различные системы координат:

1. a,b,c – фазовая система координат. Наиболее близкая по своей физической сущности к моделируемому объекту. Недостаток – коэффициенты индуктивной связи между обмотками переменные.
2. a,b - система, неподвижная относительно статора в пространстве. Ось a обычно тождественна оси фазы а. В этой системе уравнений электромагнитного состояния порядок в полтора раза меньше. В связи с проецированием изображающих векторов на эти оси, ток и напряжение статора по оси a совпадают с током и напряжением фазы а статора.
3. d,q – система, жёстко связанная с ротором. Применяется для анализа работы синхронных машин. Ось d совмещается с продольной осью ротора. По осям d и q воздушный зазор между ротором и статором является постоянным. Для модели характерно то, что в установившемся синхронном режиме компоненты изображающих векторов постоянны во времени, что существенно упрощает анализ статических характеристик синхронных ЭМ.
4. U,V – синхронно вращающаяся (обычно синхронно с вектором ЭДС или напряжения источника питания) система координат. Применяется для анализа и формирования законов управления систем автоматического электропривода.

4 Системы относительных единиц

 

Все параметры ЭМ выражаются в долях  базовых величин. Это позволяет  сравнивать характеристики машин разной мощности. Все величины имеют одинаковый порядок, что существенно влияет на точность расчётов на ЭВМ. Упрощаются системы уравнений. Совпадают численные значения разных физических величин, например: L_ое=X_ое,  F_ое=Y_ое,  U_ое=E_ое.

Базовые величины:

I_б=I_нм, U_б=U_нм – амплитудные величины фазных номинальных тока и напряжения статора. Поэтому при номинальном питающем напряжении и номинальной нагрузке:

I_{1м ое}=I_1м/I_б=1ое; U_{1м ое}=U_1м/U_б=1ое.

Р_б=S_н – номинальная полная мощность ЭМ. Соответственно для номинального режима: P_2ое=P₂/P_б=cosj_н×h_н ое.

f_б=f_н - номинальная частота сети. Или в номинальных условиях:

f_1ое=f₁/f_б=1 ое.

w_б=2pf_б=w₁– угловая частота, w_1ое=w₁/w_б=1 ое.

Z_б=U_б/I_б=U_н/I_н – базовое сопротивление, используется для определения относительных величин активных и индуктивных сопротивлений обмоток ЭМ;

L_б=Z_б/w_б – базовая индуктивность;

М_б=Р_б/w_б×p – базовый момент;

Y_б=U_б/w_б=L_б×I_б – базовое потокосцепление;

t_б=1/w_б – базовая единица времени – время, за которое синхронно вращающийся ротор поворачивается на 1 эл. рад;

5 Приведение обмоток электрических машин

 

Целесообразность приведения обмоток определяется удобством расчёта, т.к. в процессе приведения магнитная связь заменяется электрической связью. При этом для обмоток ротора и статора применяется единая система относительных единиц.

В общем случае обмотки статора  и ротора имеют несовпадающие численно параметры (w₁¹w₂, m₁¹m₂, разные законы распределения обмоток). Чаще роторная обмотка приводится к статорной, при этом обмотка ротора заменяется приведённой, с параметрами совпадающими со статорной обмоткой (w₂^¢=w₁, m₂^¢=m₁).

Критерий приведения – инвариантность энергетических процессов.

Коэффициенты приведения:

k_i=I₂^¢/I₂,  k_u=U₂^¢/U₂,  k_z=Z₂^¢/Z₂=k_u/k_i.  (5.1)

Основные подходы к определению  коэффициентов приведения обмоток  ЭМ:

А) исходя из равенства основных гармоник МДС приведённой и реальной обмоток – используется для обмоток ЭМ с постоянным воздушным зазором (обмотки ротора АД, демпферные обмотки СМ)

Б) исходя из равенства основных гармоник магнитной индукции в воздушном  зазоре, созданных приведённой и  реальной обмотками (обмотки возбуждения СМ).

Определение коэффициента приведения из условия равенства основных гармоник МДС

 

Для обмотки статора, равномерно распределённой по окружности расточки сердечника и  при m₁³3, амплитуда основной гармонической составляющей МДС равна:

.  (5.2)

Для обмотки ротора при m₂³3, амплитуда основной гармонической составляющей МДС равна:

.  (5.3)

Для приведённой обмотки ротора амплитуда основной гармонической  составляющей МДС равна:

.  (5.4)

По условиям приведения F_2m¢=F_2m, следовательно:

  (5.5)

Определение коэффициента приведения из условия равенства основных гармоник индукции

 

Для обмотки статора, равномерно распределённой по окружности расточки сердечника и  при m₁³3, амплитуда основной гармонической составляющей МДС равна: