Квадратичные формы

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ  ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ФИЛИАЛ «ВОСХОД»

Кафедра МиПОИС

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «алгебра и аналитическая геометрия»

                ВЫПОЛНИЛ  СТУДЕНТ ГРУППЫ   ДМ 1-27   КНЯЗЕВА М.___________________

                                                                                                              «____»______________2003г.                                                                                                                                                                                                                   ПРОВЕРИЛ ПРЕПОДАВАТЕЛЬ БЕЛОВОДСКАЯ Л.А._______________________                                          

                                                                                                              «____»______________2003г.                                                                                                                                                          

БАЙКОНУР

2003 г.

I.                    Теоретическая часть

Квадратичные формы (приведение к каноническому виду).

1.1              Линейная форма.

Определение: в линейном пространстве L задана линейная функция (форма), если каждому вектору x поставлено в соответствие число f(x) так, что для двух любых векторов x, y и числа λ выполняется:

1) f(x+y)=f(x)+f(y);

2) f(λx)=λf(x).

Если в линейном пространстве задан базис е1,е2,…,еn, то для любого  вектора x=x1e1+x2e2+…+xnen из L справедливо f(x)=x1f(e1)+x2f(e2)+…+xnf(en), где f(ei)=ai - числа (согласно определению).

Значит, f(x)=x1a1+x2a2+…+xnan, где ai – зависят от выбора базиса.

1.2              Билинейная форма.

Определение: линейная форма A(x,y) называется билинейной от векторов x, y, если:

1)     при фиксированном значении y A(x,y) -  есть линейная форма от x;

2)     при фиксированном значении x A(x,y) -  есть линейная форма от y.

1.2.1              Общий вид билинецной функции (формы) в линейном пространстве.

Пусть в линейном пространстве L задана функция A(x,y) и дан базис е1,е2,…,еn. Найдем A(ei,ek)=aik.

    n               n   

x=∑ xiei; y=∑ ykek

   i=1            k=1  

                  n           n          n     n                            n     

A(x, y)=A(∑ xiei, ∑ ykek)=∑    ∑ xiyk·A(ei,ek)= ∑ xiyk·aik

                 i=1       k=1      i=1 k=1                      i,k=1

Перепишем это равенство в матричном виде: A(x,y)=Xт·A·Y, где

Xт=(x1  x2  …  xn),

        y1                           a11  a12  …  a1n  

        y2                           a21  a22  …  a2n    

Y=    :           ,     A=       -  -  -  -  -  -  -  -     

         :                             an1  an2  …  ann

        yn                          

1.3              Квадратичная форма.

Пусть билинейная форма A(x,y) является симметричной:A(y,x)=A(x,y). Отождествим оба аргумента формы A(x,y). тогда получим A(x,x)= A(x,y) при y=x

Определение: функция A(x,x) называется квадратичной формой, отвечающей симметричной билинейной форме A(x,y), которая получается при замене вектора x вектором y.

1.3.1               Линейное преобразование переменных квадратичной формы.

Пусть дано n-мерное линейное пространство Ln, базис е1,е2,…,еn и базис е1’,е2’,…,еn’. Пусть в 1-ом базисе вектор x имеет координаты (x1,x2,…,xn), а во 2-ом базисе y=(y1,y2,…,yn).

Обозначим матрицу перехода от базиса е к базису е’

         q11  q12  …  q1n         

Q=    q21  q22  …  q2n       

         -  -  -  -  -  -  -  -      

         qn1  qn2  …  qnn    

X=Q Y                                                                                                                         (1)

  x1=q11y1 + q12y2 + … +q1nyn,

  x2=q21y1 + q22y2 + … +q2nyn,

   -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  - -  -  -                                                                                   (2)          

  xn=qn1y1 + qn2y2 + … +qnnyn

Формулы (2) называют линейным преобразованием переменных y1,y2,…,yn в переменные x1,x2,…,xn, если вектор x преобразуется с помощью формулы (1) в вектор y.

Определение: линейное преобразование переменных квадратичной формы называется невырожденным, если его матрица невырождена.

1.3.2       Канонический вид квадратичной формы.

Пусть квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования приведется к виду: g(y)=c1y1²+c2y2²+ …+cn·yn²  ,т.е. содержит квадраты переменных. Такую форму называют каноническим видом квадратичной формы.

1.4              Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Его основная идея состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов по каждой переменной.

Применяется в двух случаях:

1)     если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с квадратами переменных aii =0;

2)     когда необходимо записать формулы (2) преобразования переменных.

1.              В квадратичной форме все диагональные коэффициенты aii=0 . В этом случае необходимо добиться, чтобы появились члены с квадратами переменных.

Введем новые переменные xi=yi+yi, xj=yj–yj, а все остальные обозначим xk=yk, k≠i, j.

Если есть 2aij·xi·xj, то в этом случае оно преобразуется к виду 2aij·yi²-2aij·yj², после чего квадратичная форма приводится выделением полных квадратов к каноническому виду.

2.               В квадратичной форме хотя бы один из коэффициентов aii отличен от нуля. Пусть a11≠0

A(x,x)=a11x1²+2a12·x1x2+…+2a1n·x1xn+a22·x2²+…+ann·xn²

Сгруппируем все слагаемые с x1:

A(x,x)=1/a11·(a11·x1+a12·x2+…+a1n·xn)²+…+ann·xn²

Введем новые переменные:

   y1=a11·x1 + a12·x2 + … +a1n·xn;

   y2=x2;

    -  -  -

   yn=xn

A(y,y)=1/a11·y1²+g(y2,…,yn), где g – некоторая квадратичная форма аргументов y2,…,yn, т.е. g не включает y1.

С формой g можно поступить аналогичным образом. Результирующее преобразование переменных не больше, чем через (n-1) шагов будет иметь канонический вид.

1.5              Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

                                                                                  n 

Теорема: пусть дана квадратичная форма A(x,x)=∑ aik·xixk, которая расписана

                                                                                  i,k=1 

в координатах в некотором базисе е1,е2,…,еn, и пусть все определители матрицы А, где 

         a11  a12  …  a1n       

A=    a21  a22  …  a2n

-  -  -  -  -  -  -  -

         an1  an2  …  ann     , вида

Δ1=a11,     Δ2=   a11   a12       , … ,   Δn=DetA  отличны от 0.         

                          a21   a22             

Тогда существует новый базис е1',е2',…, еn’ , в котором квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов

                Δ0                 Δ1                      Δn-1    

A(x, x)=        ·ξ1² +           ·ξ2²  + …+            ·ξn² ,

               Δ1                 Δ2                      Δn    

где Δ0=1, а ξ1, ξ2,…, ξn – координаты вектора x в новом базисе.

Доказательство:

При этих предположениях ищется специальный новый базис такой, чтобы

  e1=P11·e1,

  e2=P21·e1 + P22·e2,

-  -  -  -  -  -  -  -  - -  -                                                                                                (1)

ek=Pk1·e1 + Pk2·e2 + … + Pkk·ek,

-  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -

en=Pn1·e1 + Pn2·e2 + … + Pnk·ek +…+ Pnn·en

Для того, чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, достаточно для любого k (1<k≤n) обеспечить условия

A(ei’,ek’)=aik’=0 при i=1,2,…,k-1.                                                                              (2)

Тогда aki’ тоже будут равны нулю (т.к. матрица квадратичной формы симметричная), и отличными от нуля окажутся лишь коэффициенты при квадратах числовых аргументов.

Чтобы выполнялись условия (2) должны выполняться равенства

A(ei,ek’)=0  при  i=1,2,…,k-1,  k=1,2,…,n.                                                               (3)

Из (1) и (3) имеем:

A(ei’,ek’)=A(Pi1·e1+…+Pii·ei,ek’)=Pi1·A(e1,ek’)+…+Pii·A(ei,ek’)=0.

Для упрощения дальнейших выводов добавим к (3) дополнительное равенство

A(ek,ek’)=1.                                                                                                                 (4)

При k=1 условия (3) исчезают и остается только (4), из которого, с учетом 1-ой строчки формул (1), находим

1= A(e1,e1’)= P11·A(e1,e1)= P11·a11.                                                                                  

Отсюда P11=1/a11, т.к. a11≠0.                                       Δ0      

Учитывая условия теоремы можно написать P11=         .

                                                                                    Δ1  

Пусть определены все коэффициенты, входящие в первые k-1 строк формул (1). Для нахождения коэффициентов, входящих в строку с номером k, запишем условия (3) и (4) вместе

A(e1,ek’)=0, … , A(ek-1,ek’ )=0, A(ek,ek’ )=1.                                                             (5)                                                                                                                                 

Отсюда, используя (1), получим для искомых коэффициентов систему уравнений

   a11·Pk1     +    a12·Pk2 + … +   a1k·Pkk=0,

     -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -                                                                 (5a)

    ak-1,1·Pk1 + ak-1,2·Pk2 + … + ak-1,k·Pkk=0,

    ak1·Pk1    +    ak2·Pk2 + … +   akk·Pkk=1    

Определитель системы (5a) совпадает с Δk и отличен от нуля (по теореме). Поэтому искомые коэффициенты Pk1,…,Pkk найдутся. Остается проверить, что построенное преобразование невырожденно. С этой целью найдем из системы (5а) коэффициент Pkk. Применяя правило Крамера, получим

                      a11    …  a1,k-1      0    

             1        -  -  -  -  -  -  -  -  -  -         Δk-1      

Pkk=              ak-1,1 …  ak-1,k-1    0      =                .                                                   (6)

            Δk      ak1    …  ak,k-1      1             Δk

Далее, используя треугольную структуру матрицы преобразования (1), найдем определитель D этой матрицы:

                                 Δ0       Δ1            Δn-1                      

D=P11·P22·…·Pnn=           ·         · … ·            .              

                                 Δ1       Δ2            Δn   

Таким образом, D≠0, а значит, преобразование (1) невырождено.

Теперь мы можем определить и коэффициенты квадратичной формы в новом базисе е1’,е2’,…,еn’. Достаточно вычислить лишь диагональные коэффициенты, т.к. остальные заведомо=0. Используя (1), (5) и (6), находим