Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Мая 2012 в 12:30, курсовая работа
1.1 Линейная форма.
Определение: в линейном пространстве L задана линейная функция (форма), если каждому вектору x поставлено в соответствие число f(x) так, что для двух любых векторов x, y и числа λ выполняется:
1) f(x+y)=f(x)+f(y);
2) f(λx)=λf(x).
1 Теоретическая часть_______________________________________________
2 Практическая часть________________________________________________
2.1 Линейные пространства_________________________________________
2.2 Евклидово пространство________________________________________
2.3 Квадратичные формы___________________________________________
Литература____________
2.10 Задание 1:
Методом Лагранжа привести
2x1²+5x2²-3x3²-4x1x2+4x1x3-8x2
Решение:
f=2x1²+5x2²-3x3²-4x1x2+4x1x3-
y2=x2, Q1 = 0 1 0
y3=x3
f=2y1²+3y2²-3y3²+4y1y3+4y2y3-
=2(y1+y3) ²+3y2²-5y3²-4y2y3
z2=y2, Q2 = 0 1 0
z3=y3
f=2z1²+3z2²-5z3²-4z2z3
g=3z2²-5z3²-4z2z=3(z2-2/3·z3)²
t2=z2-2/3·z3, Q3 = 0 1 2/3
t3=z3
f=2t1²+3t2²-19/3·t3² - канонический вид.
4) 2 0 0
C = 0 3 0
5) Q=Q1Q2Q3, C=QтAQ
1 1 0 1 0 -1 1 0 0 1 1 -1 1 0 0 1 1 -1/3
Q = 0 1 0 0 1 0 0 1 2/3 = 0 1 0 0 1 2/3 = 0 1 2/3
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 2 -2 2
Qт = 1 1 1 ; A = -2 5 -4
-1/3 2/3 1 2 -4 -3
1 0 0
2 -2 2 1 1 -1/3
2 -2 2 1
1 -1/3
C=QтAQ=
1 1 1
-2 5 -4 0 1 2/3
= 0 3 -2
0 1 2/3 =
-1/3 2/3 1 2 -4 -3 0 0 1 0 0 -19/3 0 0 1
2 0 0
= 0 3
0
0
0 -19/3
Ответ: преобразования переменных C = 0 3 0
приводят
данную квадратичную форму к каноническому
виду f=2t1²+3t2²-19/3·t3².
2.11 Задание
2: Квадратичную форму f(x1,x2,x3)=7x1²+5x2²+3x3²-8x1
привести к главным осям и указать ортогональные преобразования переменных, осуществляющих такое приведение.
Решение:
7x1²+5x2²+3x3²-8x1x2+8x2x3
Составим матрицу:
7 -4 0
А = -4 5 4
7-λ -4 0
-4
5-λ 4 = (7-λ)(5-λ)(3-λ)-16(7-λ)-16(3-
0
4 3- λ
λ1=11, λ2=5, λ3=-1
2) канонический вид квадратичной формы f=11y1²+5y2²-y3²
3) а)λ=11
-4x1-4x2=0,
x1=-x2,
-4x1-6x2+4x3=0,
x3=1/2 x2,
4x2- 8x3=0; 4x2-6x2+2x2=0
б)λ=5
2x1-4x2=0,
x2=1/2 x1,
-4x1+4x3=0,
x3=x1,
4x2-2x3=0;
2x1-2x1=0
в) λ=-1
8x1-4x2=0,
x1=1/2 x2,
-4x1+6x2+4x3=0,
x3=-x2,
4x2+4x3=0;
-2x2+6x2-4x2=0
-2/3 2/3 1/3
Q= 2/3 1/3 2/3
1/3 2/3 -2/3
4) x1=-2/3y1+2/3y2+1/3y3,
x2= 2/3y1+1/3y2+2/3y3,
x3= 1/3y1+2/3y2- 2/3y3
Ответ: преобразования переменных x1=-2/3y1+2/3y2+1/3y3,
приводят данную квадратичную форму к каноническому виду
f=11y1²+5y2²-y3².
2.12 Задание 3: Выяснить вопрос о знакоопределенности квадратичной формы с матрицей А. -8 6 4
Привести к каноническому виду методом Якоби.
Решение:
-8 6 4
А= 6 -9 2
-8 6
Δ1=-8<0; Δ2= 6 -9 =72-36=36>0; Δ3= 6 -9 2 =-72·4+48+48+16·9+32+36·4=
Δ0 Δ1 Δ2
A(x,x) = ·ξ1²+ ·ξ2²+ ·ξ3² = -1/8·ξ1² - 2/9·ξ2² + 9/32·ξ3²
Δ1 Δ2 Δ3
Ответ:
данная квадратичная форма является знаконеопределенной
и имеет
канонический вид f=-1/8·ξ1²-2/9·ξ2²+9/32·ξ3².
2.13 Задание 4: Привести уравнение кривой 2-го порядка
5x²+4xy+8y²-32x-56y=-80 к каноническому виду с помощью поворота осей координат и их последовательного параллельного переноса. Указать угол поворота и координаты нового начала. Определить тип кривой.
Решение:
5x²+4xy+8y²-32x-56y=-80
5 2
А= 2 8
Решим характеристическое уравнение:
5-λ 2
2 8-λ = λ²-13λ+36=(λ-4)(λ-8)=0;
λ1=4, λ2=9
канонический вид квадратичной формы: 4x’²+9y’²
λ=4,
2
X¹ = -1 , |X¹| =√(4+1)=√5, e1= 1/√5· -1
λ=9,
1
X² = 2 , |X²| =√(1+4)=√5, e2= 1/√5· 2
2) P 2/√5 1/√5
-1/√5 2/√5 ; Δp=1
cosφ=2/√5 ; sinφ=-1/√5
φ=2π-arccos(2/√5) – угол поворота.
3) x = P · x’ x = 2/√5 1/√5 · x’
y y’ ; y -1/√5 2/√5 y’
x= 2/√5 x’+1/√5 y’
y=-1/√5 x’+2/√5 y’
4) Выпишем линейную форму и преобразуем ее:
-32x-56y=-32(2/√5 x’+1/√5 y’)-56(-1/√5 x’+2/√5 y’)= -8/√5 x’-144/√5 y’
5) Поворачиваем систему и записываем кривую в системе координат Ox’y’:
4x’²+9y’²-8/√5 x’-144/√5 y’+80=0
4(x’-1/√5)²+9(y’-8/√5)²-36=0
x”= x’-1/√5, y”= y’-8/√5
4x”²+9y”²=36
x”² y”²
+ = 1
1/9
1/4
Эллипс с полуосями a=1/3, b=1/2.
C(1/√5;8/√5) – координаты нового начала.
Ответ: 4x’²+9y’²-8/√5
x’-144/√5 y’+80 – канонический вид данной
кривой 2-го порядка, φ=2π-arccos(2/√5) – угол
поворота, C(1/√5;8/√5) – координаты нового
начала, тип кривой – эллипс с полуосями
a=1/3, b=1/2.
2.14 Задание 5: Перейти к такой прямоугольной системе координат, в которой уравнение x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2x+8z-6=0 данной поверхности имеет канонический вид. Определить тип поверхности и написать формулы преобразования координат.
Решение:
x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2x+8z-6=0
1) x²+2y²+2z²-2xy-2xz – квадратичная форма
1 -1 -1
А= -1 2 0
-1 0 2
Решим характеристическое уравнение:
1-λ -1 -1
-1 2-λ 0 = (1-λ)(2-λ)²
- (2-λ) - (2-λ)=(2-λ)(λ²-3λ+2-2)=λ(λ-3)(
-1
0 2-λ
а) λ=2
-x1-x2-x3=0,
x1=0,
-x1=0,
x3=-x2
-x1=0;