Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Мая 2012 в 12:30, курсовая работа
1.1 Линейная форма.
Определение: в линейном пространстве L задана линейная функция (форма), если каждому вектору x поставлено в соответствие число f(x) так, что для двух любых векторов x, y и числа λ выполняется:
1) f(x+y)=f(x)+f(y);
2) f(λx)=λf(x).
1 Теоретическая часть_______________________________________________
2 Практическая часть________________________________________________
2.1 Линейные пространства_________________________________________
2.2 Евклидово пространство________________________________________
2.3 Квадратичные формы___________________________________________
Литература____________
б)λ=5
x1-x2-x3=0,
x1-1/2 x1-1/2 x1=0,
-x1+2x2=0,
x2=1/2 x1,
-x1+2x3=0;
x3=1/2 x1
в) λ=3
-2x1-x2-x3=0,
-2x1+x1+x1=0,
-x1-x2=0,
x2=-x1,
-x1-x3=0;
x3=-x1
2) 0 2/√6 1/√3
P= 1/√2 1/√6 -1/√3 ; Δp=1/6+2/6+1/6+2/6=1
-1/√2 1/√6 -1/√3
3) канонический вид квадратичной формы: 2x’²+3z’²
4) x x’ x 0 2/√6 1/√3 x’
y = P· y’ ; y = 1/√2 1/√6 -1/√3 · y’
z z’ z -1/√2 1/√6 -1/√3 z’
x= 2/√6y’+1/√3z’
y= 1/√2x’+1/√6y’- 1/√3z’
z=-1/√2x’+1/√6y’- 1/√3z’
5) с помощью этих формул приводим линейную форму -2x+8z к каноническому виду:
-2(2/√6 y’+1/√3 z’)+8(-1/√2 x’+1/√6 y’-1/√3 z’)= -8/√2 x’+4/√6 y’-10/√3 z’
2(x'-√2)²+4/√6 (y’-155√6/36)+3(z’-5√3/9)²=0
x”= x'-√2, y”= y’-155√6/36, z”= z’-5√3/9
2x”²+4/√6 y”+3z”²=0
y” = √6/4·(2x”²
- 3z”²)– параболоид.
x’= x”+√2,
y’= y”+155√6/36, z’= z”+5√3/9
x= 2/√6y’+1/√3z’= 2/√6y”+1/√3z”+55/6
y= 1/√2x’+1/√6y’- 1/√3z’= 1/√2x”+1/√6y”- 1/√3z”+19/4
z=-1/√2x’+1/√6y’-
1/√3z’=-1/√2x”+1/√6y”- 1/√3z”+11/4
Ответ: y” = √6/4·(2x”² - 3z”²)– параболоид,
x= 2/√6y”+1/√3z”+55/6
y= 1/√2x”+1/√6y”- 1/√3z”+19/4
z=-1/√2x”+1/√6y”- 1/√3z”+11/4- формулы преобразования
координат.
2.15 Задание 6: Даны две квадратичные формы f и g, где
f=x1²+17x2²+3x3²+4x1x2-2x1x3-
g=x1²-15x2²+4x1x2-2x1x3+6x2x3. Привести эти формы одним невырожденным преобразованием к каноническому виду. Найти невырожденные преобразования переменных, осуществляющих такое приведение.
Решение:
1. f=x1²+17x2²+3x3²+4x1x2-2x1x3-
y1=x1+2x2, 1 –2 0
y2=x2, T1= 0 1 0
y3=x3
f=y12+13y22+3y32-2y1y3-10y2y3=
z1=y1-y3, 1 0 1
z2=y2, T2= 0 1 0
z3=y3
f=z12+13z22+2z32-10z2z3= z12+1/2 z22+2(5/2 z2-z3)2
t1=z1,
t2=z2, T3= 0 1 0
t3=5/2 z2-z3
f=t12+1/2
t22+2t32 – канонический
вид
1 –2 0 1 0 1 1 0 0 1 -2 1 1 0 0
T=T1T2T3= 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 1 0 =
0 0 1 0 0 1 0 5/2 -1 0 0 1 0 5/2 -1
1 1/2 -1 - результирующее преобразование, приводящее квадратичную
= 0 1 0 форму f к каноническому виду
0 5/2 -1
x1=t1+1/2 t2-t3,
x2=t2,
x3= 5/2 t2-t3
g=t12+t1t2+1/4
t22-2t1t3-t2t3+t32-15t22+4t1t2
Приведем форму g к главным осям:
1 0 0
В= 0 -1/4 -5/2
0 -5/2 -1
Решим характеристическое уравнение:
1-λ 0 0
0
-1/4-λ -5/2 = (1-λ)(-1/4-λ)(-1-λ)-25/4(1-λ)=
0 -5/2 -1-λ λ1=1, λ2,3=(-5±√409)/8
Найдем преобразования переменных, осуществляющих переход квадратичной формы g к главным осям:
а) λ=1 0 t1=0,
t1-любое,
-5/4 t2-5/2 t3=0,
t2= t3=0
-5/2 t2-2t3=0;
б) λ≈-3.15
4.15 t1=0, t1=0, t3-любое, 0 0
2.9t2-2.5t3=0, t2=25/29 t3, t2=25/29 t3, X2= 25 ; e2=1/38 25
-2.5t2-2.15t3=0; 0t3=0; t1=0 29 29
в) λ≈1.9
-0.9t1=0, t1=0, t3-любое, 0 0
-2.15t2-2.5t3=0, t3=25/29 t2, t3=-25/29 t2, X3= 29 ; e3=1/38 29
-2.5t2-2.9t3=0; 0t2=0; t1=0 -25 -25
1 0 0
Q= 0 25/38 29/38 - матрица ортогонального преобразования
0 29/38 -25/38
z1=t1,
z2=25/38 t2+29/38 t3,
z3=29/38 t2- 25/38 t3
3. 1 1/2 -1 1 0 0 1 -33/76 79/76 - матрица искомого
0 5/2 -1 0 29/38 -25/38
0 67/76 195/76
x1=t1-33/76 t2+79/76 t3,
x2=25/38 t2+29/38 t3,
x3=67/76 t2+195/76 t3
Ответ: преобразования переменных x1=t1-33/76 t2+79/76 t3,
приводят данные квадратичные формы к каноническому виду.