Квадратичные формы

Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Мая 2012 в 12:30, курсовая работа

Краткое описание

1.1 Линейная форма.

Определение: в линейном пространстве L задана линейная функция (форма), если каждому вектору x поставлено в соответствие число f(x) так, что для двух любых векторов x, y и числа λ выполняется:
1) f(x+y)=f(x)+f(y);
2) f(λx)=λf(x).

1 Теоретическая часть_______________________________________________
2 Практическая часть________________________________________________
2.1 Линейные пространства_________________________________________
2.2 Евклидово пространство________________________________________
2.3 Квадратичные формы___________________________________________
Литература____________

Скачать в ZIP (83.42 Кб) Сколько стоит заказать работу?

Файлы: 7 файлов

аннотация.doc

— 27.50 Кб (Открыть, Скачать)

курс.1.doc

— 114.00 Кб (Открыть, Скачать)

курс.2.doc

— 42.50 Кб (Скачать)

2.8 Задание 1: Применяя процесс ортогонализации, ортогонализировать систему векторов а₁,а₂,а₃, где а₁=(-1,3,2), а₂=(3,-1,2), а₃=(2,-3,1).

Решение:

е₁,е₂,е₃ - ортогональный базис.

е₁ = а₁ = (-1,3,2)
е₂ = а₂ + α е₁ и (е₂,е₁) = 0

(е₁,е₂) = (е₁,а₂) + α (е₁,е₁) = 0

(е₁,а₂) -3 - 3 + 4

α = - = - = 1/7

(е₁,е₁) 1 + 9 + 4

21-1 5

е₂ = а₂ + 1/7 е₁= 1/7 -7+3 = 4/7 -1

4+2 4

Проверим: (е₁,е₂) = 4/7 (-5 - 3 + 8) = 0.

3. e₃ = a₃ + β e₂ + γ e₁ и (е₃,е₁) = 0

(е₃,е₂) = 0

(e₁,e₃) = (e₁,a₃) + β (e₁,e₂) + γ (e₁,e₁) = 0

(е₁,а₃) -2 - 9 + 2

γ = - = - = 9/14

(е₁,е₁) 1 + 9 + 4

(e₂,e₃) = (e₂,a₃) + β (e₂,e₂) + γ (e₁,e₂) = 0

(е₂,а₃) -4/7 (10 + 3 + 4)

β = - = - = -17/24

(е₂,е₂) 16/49 (25 + 1 + 16)

2 -1 5

е₃ = а₃ + 9/14 е₁ - 17/24 e₂ = -3 + 9/14 3 - 17/42 -1 =

1 2 4

84–27–85 1

=1/42 -126+81+17 = -2/3 1

42+54–68 -1

Проверим: (е₁,е₃)= -2/3 (-1 + 3 - 2) = 0; (e₂,e₃)= -8/21 (5 - 1 - 4) = 0.

Ответ: е₁=(-1,3,2), е₂= 4/7 (5,-1,4), e₃= -2/3 (1,1,-1).

2.9 Задание 2: Найти ортогональный базис подпространства Ek, заданного системой уравнений и базисом Ek┴

x₁+ 4x₂ -26x₃+x₄+x₅=0,

5x₁ -12x₂+22x₃+x₄- x₅=0.

Решение:.

x₁+ 4x₂ -26x₃+x₄+x₅=0, x₁= -4x₂ +26x₃-x₄-x₅,

5x₁ -12x₂+22x₃+x₄- x₅=0; -20x₂+130x₃-5x₄-5x₅-12x₂+22x₃+x₄-x₅=0;

x₁+ 4x₂ -26x₃+x₄+x₅=0, x₁= 1/4 (28x₃-2x₄- x₅),

x₂= 1/16 (76x₃-2x₄-3x₅); x₂= 1/16 (76x₃-2x₄-3x₅)

если x₃=x₄=0, x₅=16, то x₂=-3, x₁=-4. X¹ = (-4,-3,0,0,16)
если x₃=x₅=0, x₄=8, то x₂=-1, x₁=-4. X² = (-4,-1,0,8,0)
если x₄=x₅=0, x₃=4, то x₂=19, x₁=28. X³ = (28,19,4,0,0)

y₁,y₂,y₃ - ортогональный базис.

1. y₁ = X¹ = (-4,-3,0,0,16)

2. y₂ = X² + α y₁

(X¹,y₁) 16 + 3

α = - = - = -19/281

(y₁,y₁) 16 + 9 + 256

1124 - 76 131

y₂= X² - 19/281 y₁ = -1/281 281 - 57 = -8/281 28

0 + 0 0

-2248 + 0 -281

0 + 304 38

Проверим: (y₁,y₂) = -8/281 (524 + 84 - 608) = 0.

y₃ = X³ + β y₂ + γ y₁

(y₂, X³) -8/281 (3668 + 532)

γ = - = - = 3/2

(е₂,е₂) 64/(281)² (131² + 28² + 281² + 38²)

(y₁, X³) -4·28 - 3·19

β = - = - = 169/281

(y₁,y₁) 16 + 9 + 256

131 -4

y₃ = X³ + 3/2 y₂ + 169/281 y₁ = X³ - 12/281 28 +169/281 -3 =

0 0

-281 0

38 16

-1572 - 676 28 -8 5

= X³ + 1/281 -336 - 507 = 19 + -3 = 4 4

0 4 0 1

3372 0 12 3

-456 + 2704 0 8 2

Проверим: (y₁,y₃) = 4 (-20 – 12 + 32) = 0,

(y₂,y₃) = 4· (-8)·281 (655 + 112 – 843 + 76) = 0.

y₁ 1

|y₁|=√(16+9+256)=√281; q₁= = · (-4,-3,0,0,16)

| y₁ | √281

8 40√14

|y₂|= ·√(17161+784+78961+1444)= ;

281 √281

y₂ -1

q₂= = · (131,28,0,-281,38)

| y₂ | 5·√14√281

y₃ 1

|y₃|=4√(25+16+1+9+4)=4√55; q₃ = = ·(5,4,1,3,2)

| y₃ | √55

p = (p₁,p₂,p₃,p₄,p₅)

(q₁,p)=0, (-4p₁ - 3p₂ + 16p₅),

(q₂,p)=0, (131p₁ + 28p₂ – 281p₄ + 38p₅)=0,

(q₃,p)=0; (5p₁ + 4p₂ + p₃ + 3p₄ + 2p₅)=0

-4 -3 0 0 16 131, 5 -4 -3 0 0 16

131 28 0 -281 38 ·1/281 ~ 0 -1 0 –4 8 (-3), 1 ~

5 4 1 3 2 0 1 4 12 88

1 0 0 -3 2 p₁= 3p₄ - 2p₅,

~ 0 1 0 4 -8 p₂= -4p₄ + 8p₅,

0 0 1 2 24 p₃= -2p₄ - 24p₅

если p₄=0, p₅=1, то p₁= -2, p₂=8, p₃=-24

P¹ = (-2,8,-24,0,1)

если p₄=1, p₅=0, то p₁=3, p₂= -4, p₃= -2

P² = (3,-4,-2,1,0)

Ответ: P¹ = (-2,8,-24,0,1), P² = (3,-4,-2,1,0).

курс.3.doc

— 75.00 Кб (Открыть, Скачать)

курсач.doc

— 64.00 Кб (Открыть, Скачать)

сод_рж.doc

— 28.00 Кб (Открыть, Скачать)

список лит-ры.doc

— 27.00 Кб (Открыть, Скачать)

Информация о работе Квадратичные формы