Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Мая 2012 в 12:30, курсовая работа
1.1 Линейная форма.
Определение: в линейном пространстве L задана линейная функция (форма), если каждому вектору x поставлено в соответствие число f(x) так, что для двух любых векторов x, y и числа λ выполняется:
1) f(x+y)=f(x)+f(y);
2) f(λx)=λf(x).
1 Теоретическая часть_______________________________________________
2 Практическая часть________________________________________________
2.1 Линейные пространства_________________________________________
2.2 Евклидово пространство________________________________________
2.3 Квадратичные формы___________________________________________
Литература____________
-14 -9 -11 8 11 -2 -108 -89 -106
= 1/28· 24 14 18 · 2 -6 10 =1/28· 184 162 164
20 13 13 -2 -1 4 160 129 142
Ответ: Линейный оператор φ в базисе е1',е2',е3' имеет матрицу
-108 -89 -106
А*= 1/28· 184 162 164
160 129 142 .
2.6 Задание 6: Для оператора с матрицей А, действующего в действительном пространстве, найти собственные значения и собственные векторы.
А= 1 0 1 -1
Решение:
1.Составим характеристическое уравнение:
-λ 1 -1 1
1 -λ 1 -1 =0
-1 1 -λ 1
1 -1 1 -λ
-λ 1 -1 1 -λ 1 -1 1 1-λ 1-λ 0 1 -1 1
1 -λ 1 -1 = 0 1-λ 1-λ 0 = -λ 1 -λ 1 - 1-λ 1-λ 0 =
-1 1 -λ 1 1 -1 1 -λ 1 0 1-λ 1-λ 0 1-λ 1-λ
1 -1 1 -λ 0 0 1-λ 1-λ
=-λ(-λ(1-λ)²-(1-λ)²-(1-λ)²)-((
2. а)λ=-3
3x1+ x2- x3+ x4=0,
x1+3x2+ x3- x4=0,
-x1+ x2+3x3+ x4=0,
x1- x2+ x3+3x4=0
3 1 -1 1 0 4 8 4 (-1) 1/4 -1 1 3 1
1 3 1 -1 ~ 0 4 4 0 1/4 ~ 0 1 2 2 ~
-1 1 3 1 1, 3 -1 1 3 1
1 -1 1 3 0 0 4 4 1/4 0 0 -1 -1
-1 1 3 1
~ 0 1 2 1 ~ -1 1 0 -2 1 0 0 1
0 0 1 1 (-2), (-3) 0 1 0 -1 (-1) ~ 0 1 0 -1
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
x1+x4=0, x1=-x4, x1= C,
x2- x4=0, x2= x4, x2=-C, Значит, X1 = -C = C· -1
x3+x4=0; x3=-x4; x3= C,
б) λ=1
-x1+x2-x3+x4=0,
x1- x2+x3-x4=0,
-x1+x2-x3+x4=0,
x1- x2+x3-x4=0,
Откуда x1=x2-x3+x4.
-если x2=C, x3=x4=0, то x1= C;
-если x2=x4=0, x3=C, то x1=–C;
-если x2=x3=0, x4=С, то x1= C
Значит,
C -C C
X2 = C ; X3 = 0 ; X4 = 0 .
0 C 0
0 0 C
Ответ: 1,-3 – собственные значения;
С С -С С
-С , С , 0 , 0 - собственные векторы.
С 0 С 0
-С 0 0 С
2.7 Задание 7: Для матрицы А построить каноническое разложение. пользуясь им вычислить 100-ю степень матрицы А и ³√А. С помощью полученного канонического разложения матрицы А решить систему уравнений AX=B.
А= -2 6 0 , В= 1 .
Решение:
λ=Сˉ¹·А·С
1. ׀А-λЕ׀=0
5-λ -2 -2
-2 6-λ 0 =0 , т.е. (5-λ)(6-λ)(4-λ)-4(6-λ)-4(4-λ)=
-2 0 4-λ (5-λ)(λ²-10λ+16)=(5-λ)(λ-2)(λ-
2.а)λ=5
-2x2-2x3=0, x2+x3=0, 0x1=0, x1=C,
-2x1+x2=0, x2=2x1, x2=2x1, x2=2C,
-2x1- x3=0; x3= -2x1; x3= -2x1; x3= -2C.
б) λ=2
3x1-2x2-2x3=0, x1=2x2, 0x2=0, x2=C,
-2x1+4x2=0, x3=x1=2x2, x1=2x2, x1=2C, X2 = C
-2x1+2x3=0; 6x2-2x2-4x2=0; x3=2x2; x3=2C
в) λ=8
-3x1-2x2-2x3=0, x2= -x2, x1=2C,
-2x1-2x2=0, x3=-1/2x1, x2=-2C,
-2x1-4x3=0; 0x1=0; x3=-C
2 1 2
C= 1 2 -2
2 -2 -1
Найдем C‾¹:
2 1 2 1 0 0 (-1/2), (-1) 2 1 2 1 0 0 9 18 9 18 9 0 0
1 2 -2 0 1 0 ~ 0 3 -6 -1 2 0 1; (-3) ~ 0 -9 18 3 -6 0 ~
2 -2 -1 0 0 1 0 -3 -3 -1 0 1 0 0 -9 -2 2 1 2
18 9 0 5 4 2 1/18 1 0 0 2/9 1/9 2/9
~ 0 -9 0 -1 -2 2 1 (-1/9) ~ 0 1 0 1/9 2/9 -2/9
0 0 -9 -2 2 1 (-1/9) 0 0 1 2/9 -2/9 -1/9
2 1 2
C‾¹= 1/9· 1 2 -2
2 -2 -1
2 1 2 5 -2 -2 2 1 2
λ=Сˉ¹·А·С=1/9· 1 2 -2 · -2 6 0 · 1 2 -2 =
2 -2 -1 -2 0 4 2 -2 -1
4 2 4 2 1 2 18 0 0 2 0 0
=1/9· 5 10 -10 · 1 2 -2 = 1/9· 0 45 0 = 0 5 0
16 -16 -8 2 -2 -1 0 0 72 0 0 8
2. A=C·λ· Сˉ¹
2 1 2 2 0 0 2 1 2
A= 1 2 -2 · 0 5 0 ·1/9· 1 2 -2 - каноническое разложение
2 -2 -1 0 0 8 2 -2 -1
2 1 2 ³√2 0 0 2 1 2
³√A= 1 2 -2 · 0 ³√5 0 ·1/9· 1 2 -2 =
2 -2 -1 0 0 ³√8 2 -2 -1
2³√2 ³√5 4 2 1 2
=1/9· ³√2 2³√5 -4 · 1 2 -2 =
2³√2 -2³√5 -2 2 -2 -1
4³√2+ ³√5+8 2³√2+2³√5-8 4³√2- 2³√5-4
=1/9· 2³√2+2³√5-8 ³√2+4³√5+8 2³√2- 4³√5+4
4³√2- 2³√5-4 2³√2- 4³√5+4 4³√2+4³√5+2
2 1 2 2¹ºº 0 0 2 1 2
A¹ºº = 1 2 -2 · 0 5¹ºº 0 ·1/9· 1 2 -2 =
2 -2 -1 0 0 8¹ºº 2 -2 -1
2¹º¹ 5¹ºº 2³º¹ 2 1 2
=1/9· 2¹ºº 2·5¹ºº -2³º¹ · 1 2 -2 =
2¹º¹ -2·5¹ºº -2³ºº 2 -2 -1
2¹º² + 5¹ºº +2³º² 2¹º¹ +2·5¹ºº -2³º² 2¹º² -2·5¹ºº -2³º¹
=1/9· 2¹º¹ +2·5¹ºº -2³º² 2¹ºº +4·5¹ºº +2³º² 2¹º¹ -4·5¹ºº +2³º¹
2¹º² - 2·5¹ºº -2³º¹ 2¹º - 4·5¹ºº +2³º¹ 2¹º² -4·5¹ºº +2³ºº
3. AX=B
Перейдем к системе C·λ·Cˉ¹·X=B.
Умножим обе части равенства на Cˉ¹ слева: λ·Cˉ¹·X=Cˉ¹·B.
Обозначим Z=Cˉ¹·X, тогда λ·Z=Cˉ¹·B.
2 0 0 z1 2 1 2 0
0 5 0 · z2 =1/9· 1 2 -2 · 1
0 0 8 z3 2 -2 -1 -1
2z1=1/9(1-2), z1=-1/18,
5z2=1/9(2+2), z2=4/45,
8z3=1/9(-2+1); z3=-1/72
X=CZ, x1 2 1 2 -1/18
x2 = 1 2 -2 · 4/45
x3 2 -2 -1 -1/72
x1= -2/18+4/45- 2/72= -1/20,
x2= -1/18+8/45+2/72= 3/20,
x3= -2/18- 8/45+1/72= -11/40
Ответ: 2 1 2 2 0 0 2 1 2
A= 1 2 -2 · 0 5 0 ·1/9· 1 2 -2 - каноническое разложение,
2 -2 -1 0 0 8 2 -2 -1
4³√2+ ³√5+8 2³√2+2³√5-8 4³√2- 2³√5-4
³√A = 1/9· 2³√2+2³√5-8 ³√2+4³√5+8 2³√2- 4³√5+4
4³√2- 2³√5-4 2³√2- 4³√5+4 4³√2+4³√5+2 ,
A¹ºº = 1/9· 2¹º¹ +2·5¹ºº -2³º² 2¹ºº +4·5¹ºº +2³º² 2¹º¹ -4·5¹ºº +2³º¹
-1/20
X = 3/20
-11/40 .