Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты

 Отношение (Dх2/Dх1) показывает, на сколько должен индивид увеличить (уменьшить) потребление второй услуги, если он уменьшил (увеличил) потребление первой услуги на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей. Геометрически этот вывод интерпретируется таким образом: точки А (х1, х2), В (х1 + Dх1, х2 + Dх2) принадлежат одной и той же линии безразличия lt. Поэтому дробь Dх2/Dх1 принято называть нормой замены первой услуги второй на потребительском наборе (х1, х2), а производную ∂х2/∂х1, примерно равную предельному значению Dх2/Dх1 при Dх1 → 0, — предельной нормой замены первой услуги второй.

Рис. 1. Графическая интерпретация потребительского спроса

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора А (х°1, х°2), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на услугу не могут превышать денежного дохода:

p1x1 + p2x2 ? I,

 где p1 и p2 —рыночные цены  одной единицы первой и второй  услуги соответственно, I — доход  индивида, предназначенный для приобретения  первой и второй услуги (величины p1, p2 и I заданы).

 Формально задача потребительского  выбора может иметь вид:

u(х1, х2) → max,

p1х1 + p2х2 ? I, (1)

 х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

  Как видно из (1), задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования. Однако, если на каком-либо потребительском наборе (х1, х2) бюджетное ограничение p1х1 + p2х2 ? I выполняется как строгое неравенство, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (х°1, х°2), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т. е. p1х1 + p2х2 = I. Графически это означает, что решение (х°1, х°2) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рис. 1, б), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт: (0; I/p2) и (I/p1 ; 0).

  Общая модель потребительского выбора. Рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом услуг и целевой функцией общего вида с последующим переходом к некоторым задачам, включая анализ компенсированного изменения цен [1, 2].

 Пусть заданы целевая  функция предпочтения потребителя u(х1, ..., хn), где хi — количество i-го блага, вектор цен {pi } = (p1, ... , pn) и доход I. Сформулируем следующую задачу:

u(х) → max (3)

 при условиях

 pх ? I , х ≥ 0.

 где х = (х1, ..., хn), р = (p1, ..., pn), рх = (p1 х1, ..., pn хn).

 Считаем, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать ее на безусловный экстремум.

 Функция Лагранжа L(х, l) = u(х) + l(рх – I).

 Необходимое условие  экстремума состоит в равенстве  нулю частных производных:

 Li’ = ui’ + lрi = 0 для всех i (i = 1, n)

 и L’ = рх – I = 0.

 Отсюда следует, что  для всех i, j в точке х° локального  рыночного равновесия выполняется  равенство:

 ui’ / uj’ = pi’ / pj’ ,

 получаемое после перенесения вторых слагаемых необходимых условий в правую часть и делением i-го равенства на j-е. В точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух услуг равно отношению их рыночных цен, поэтому ui’ / pi = uj’ / pj.

 Таким образом, получаем, что дополнительная полезность, приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат, в точке оптимума одинакова по всем видам услуг (если это все было не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние, или значение функции полезности, потребителя. Если для некоторых i, j услуг достигнуто, что ui’ / pi > uj’ / pj, то можно попытаться перераспределить деньги от i к j, увеличив уровень благосостояния потребителя.

   Оценки потребительских предпочтений комплексных услуг могут быть использованы как для определения тех потребительских свойств, которым уделяется особое внимание при их выборе в определенном секторе рынка, так и при адаптации потребительских свойств услуг при модификации отдельных ее компонентов. Возможно также использование для оценки деловых партнеров и выбора стратегий относительно организации деловых отношений и пр.

Таким образом, приведенные модели позволяют решить задачу потребительского выбора различных комплексных услуг с учетом их полезности и ограничений на денежные расходы потребителей.

4.1. Модель Р. Стоуна

Модель Стоуна (Stone B.K.) впервые опубликованная в 1972 году  в монографии «The Use of Forecasts and Smoothing in Control-Limit Models for Cash Management» в отличие  от модели Миллера-Орра больше внимания уделяет управлению целевым остатком, нежели его определению. Верхний и нижний пределы остатка денежных средств на счете подлежат уточнению в зависимости от информации о денежных потоках, ожидаемых в ближайшие несколько дней.   Концепция модели Стоуна представлена на рисунке 6.

 

 Рисунок 6 – График изменения остатка средств на расчетном счете (Модель Стоуна).

Также как и в модели Миллера-Орра, Cr представляет собой целевой остаток средств на счете, к которому фирма стремится, Ch и Cl  - верхний и нижний пределы его колебаний. Кроме указанных, модель Стоуна имеет внешние и внутренние контрольные лимиты:  Ch и Cl – внешние, Ch-x и Cl+x – внутренние. В отличие от модели Миллера-Орра, когда при достижении контрольных лимитов совершаются немедленные действия, в модели Стоуна это происходит не всегда.

Предположим, что остаток средств на счете достиг внешнего верхнего предела (точка А на рисунке 6) в момент t. Вместо автоматического перевода величины (Ch - Cr) из наличности в ценные бумаги финансовый менеджер делает прогноз на несколько предстоящих дней (предположим, пять). Если ожидаемый остаток средств в момент (t+5) останется выше внутреннего предела (Ch - х), например его размер определяется в точке В, то (В - Cr) будут обращены в ценные бумаги. Если же прогноз покажет, что в момент (t+5) величина денежного остатка будет соответствовать точке С, то фирма не будет покупать ценные бумаги. Аналогичные рассуждения верны и в отношении нижнего предела.

  Таким образом, основной особенностью модели Стоуна является то, что действия фирмы в текущий момент определяются прогнозом на ближайшее будущее. Следовательно, достижение верхнего предела не вызовет немедленного перевода наличности в ценные бумаги, если в ближайшие дни ожидаются относительно высокие расходы денежных средств; тем самым минимизируется число конвертационных операций и, следовательно, снижаются расходы.

В отличие от модели Миллера-Орра модель Стоуна не указывает методов определения остатков денежных средств и контрольных пределов, но они могут быть определены с помощью модели Миллера-Орра, а х и период на который делается прогноз, - с помощью практического опыта. Существенным преимуществом данной модели является то, что ее параметры - не фиксированные величины. Эта модель может учитывать сезонные колебания, так как менеджер, делая прогноз, оценивает особенности производства в отдельные периоды.

 

 

 

 

 

Задачи

Для решения  задачи применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа L(x1,x2, л)= u(x1,x2)+ л (p1x1+p2x2-Q), находим её частные производные по переменным x1,x2 и л и приравниваем к нулю:

 L= u+л p1=0,

L= u +л p2 =0,

L=p1x1+p2x2-Q =0.

Исключив из полученной системы неизвестную л, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1, и x2.

p1x1+p2x2=Q .

Решение (х, х) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставив решение (х, х) в левую часть равенства получим, что в точке (х, х) отношение предельных полезностей u(х, х) и u(х, х) продуктов равно отношению рыночных цен p1 и p2.

 В связи с тем, что  отношение равно предельной норме  замены первого продукта вторым  в точке локального рыночного  равновесия (х, х), из (5.1) следует, что  эта предельная норма равна  отношению рыночных цен на  продукты. Приведённый результат  играет важную роль в экономической  теории.

 Геометрически решение (х, х) можно интерпретировать как  точку касания линии безразличия функции полезности u(x1,x2) с бюджетной прямой p1x1+p2x2=Q. Это определяется тем, что отношение показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение - представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Решим задачу потребительского выбора.

Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. продукта х1 и 8 ед. продукта х2. Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функция полезности потребителя имеет вид: u(x1,x2)=xx.

Решение. Следуя принципу решения, получаем систему уравнений:

p1x1+p2x2=240. p1x1+p2x2=240 . p1x1+p2x2=240 .

Подставив, вместо х1 - 6 ед., вместо х2 - 8 ед., получим: p1=10руб., p2=22.5руб.

 

Решение задач по методу Стоуна

 

Пусть U – функция полезности потребителя. Задачу потребительского выбора можно записать в виде

  (*)

(Доход мы нормировали  на единицу, не теряя общности). Набор товаров  можно рассматривать  в качестве минимальной корзины  потребления. Для приобретения минимального  набора  необходимо, чтобы доход  был больше стоимости этого  набора, т.е.

               (**)

Показатели степеней ai > 0 характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.

 

 

Решение задачи Стоуна для случая двух товаров

Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества).  Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = PxX + PyY.

Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение L = U (X, Y) + l(I - PxX - PyY),    (1)

где  l - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже.  Первое условие максимума с ограничениями получается в результате нахождения частных производных первого порядка по X, Y и l из уравнения (1) и приравнивания их к нулю.[1] Получаем систему уравнений (2)

  (2)

Последнее уравнение из (2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка.  Из них следует, что

  (3)

Правые части в (3) есть ни что иное, как MUX и MUY, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.

,   (4)

где l может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MUn/Pn может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.

Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем

 

, (5)

Решая систему уравнений (5) относительно X и Y получаем                     

Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, PX = 2 д.е, PY = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что PX стало равно 5 д.е., а PY снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5.

Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что

а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;

б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.

 

 

Минимизация расходов потребителя: обратная задача

В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.

Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.