Исследование элементарных способов решения рациональных уравнений

Пусть теперь x ³ - 2. Тогда |x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение                           |2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т.е. |x - 5| = 8x + 12. Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x ³ 5. В первом случае           ½x - 5| = -(х - 5), и потому получаем уравнение                    -(x - 5) = 8x + 12. Его корень равен -7 / 9. Поскольку -2 £ (-7 / 9) £ 5, то -7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если же x ³ 5, то |x - 5| = x - 5 и уравнение принимает вид   x - 5 = 8x + 12. Корнем полученного уравнения является число -17 / 7. Поскольку оно не лежит на луче [5; +¥), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, решение имеет вид x = - 7 / 9.

Ответ: x = -7 / 9.

Пример.

|1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.

Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие  под знаком  модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем  уравнения в каждом из полученных интервалов:

 

А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0,  3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение переписывается так:

1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е.  – 6x = 6,  x = – 1 Î(–¥; – 2 / 3).

Б) если    – 2 / 3  £ x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 ³ 0, x < 0 и поэтому имеем:

1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 3 ¹ 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет.

В) если  0 £ x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е.  2x = 2;  x = 1 Ï[0; 0,5).

Г) если 0,5 £ x, то   – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4,  x = 2 / 3  Î(0,5; ¥).

Ответ: x₁ = – 1; x₂ = 2 / 3.

Пример .

| x | + | x – 1 | = 1.

Решение. (x – 1) = 0, x = 1;  Þ получаем интервалы:

 

 

A) x Î(-¥; 0), тогда    – x – x +1 = 1;  – 2x = 0;  x = 0 Ï(-¥; 0).

Б) x Î[0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1   Þ  x — любое число из [0; 1).

В) x Î[1; ¥), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2;   x = 1 Î[1; ¥).

Ответ: x Î[0; 1].

 

4. Основные методы решения рациональных уравнений.

1) Простейшие: решаются путём обычных  упрощений — приведение к общему  знаменателю, приведение подобных  членов и так далее. Квадратные  уравнения ax² + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле  

 

Также используется теорема Виета: x₁ + x₂ = – b / a; x₁x₂ = c / a.

2) Группировка: путём группировки  слагаемых, применения формул  сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к  виду, когда слева записано произведение  нескольких сомножителей, а справа  — ноль. Затем приравниваем к  нулю каждый из сомножителей.

3) Подстановка: ищем в уравнении  некоторое повторяющееся выражение,  которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения.  В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение

(x² + x – 5) / x + 3x / (x² + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x² + x – 5) / x = t, получаем                       t + (3 / t) + 4 = 0.

Или: 21 / (x² – 4x  + 10) – x² + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку   x² – 4 = t.  Тогда     21 / (t + 10) - t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка  видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x² + 2x)² – (x +1)² = 55.

Переписав его иначе, а именно  (x² + 2x)² – (x² + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x² + 2x=t.

Имеем t² – t – 56 = 0, t₁ = – 7, t₂ = 8. Осталось решить x² + 2x = – 7   и x² + 2x = 8.

В ряде других случаев удобную подстановку  желательно знать “заранее”. Например

1. Уравнение (x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c  сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

2. Симметрическое уравнение (возвратное)  a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a₁x + a₀ = 0  (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n  —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.
3. Уравнение вида  (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если   a + b = c + d   и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений  высших степеней рациональные корни уравнения  a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + … + a₁x + a₀ = 0 ищем в виде  p / q, где   p—  делитель a₀, q — делитель a_n, p и q  взаимно просты, pÎZ, qÎN.

5) “Искусство”, т.е. решать пример  нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

6) Уравнения с  модулем: при  решении уравнений с модулем  используется определение модуля  и метод интервалов.Напомним,что :

| f (x) | = f (x), если   f (x) ³ 0,

| f (x) | = – f (x), если   f (x) < 0.

Заключение

Решению рациональных уравнений в школьном курсе математики уделяется большое внимание. Начиная с третьего класса и заканчивая в одинадцатом, дети в школе сталкиваются с решением рациональных уравнений или с решением задач, основывающимся на них.

  Для решения применяются различные способы, которые позволяют находить корни уравнения как стандартными способами так и другими.В данной работе я показала как можно решать уравнения разных типов . Следовательно рассотрение данной темы очень актуально.Я старалась как можно доступнее охватить проблемы этой темы. Конечно, всё нельзя учесть в курсовой работе, но я постараюсь как можно понятнее  изложить основные моменты. Работу можно использовать как пособие для обучения решению уравнений.

Список использованной литературы:

1. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Москва, изд. “Айрис”, 1997.
2. Тысяча и один пример. Равенства и неравенства. А. М. Назаренко, Л. Д. Назаренко. Сумы, изд. “Слобожанщина”,  1994.
3. Система тренировочных задач и упражнений по математике. А. Я. Симонов. Москва, изд. “Просвещение” 1991.
4. Алгебра 8 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. “Просвещение”, 1995.
5. Задачи по математике для поступающих во ВТУЗы. Р. Б. Райхмист. Москва, изд. “Высшая школа”, 1994.
6. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Вавилов В. В., Мельников И. И. Москва, изд. “Наука”, 1987.
7. Алгебра и начала анализа. Издание второе, переработанное и дополненное.  А. Г. Мордкович. Москва, изд. “Высшая школа”, 1987.
8. Алгебра. Пособие для самообразования. С. М. Никольский. Москва, изд. “Наука”, 1985.
9. Справочник по методам решения задач по математике. А. Г. Цыпкин. Москва, изд. “Наука”, 1989.
10. Алгебра и математический анализ. 10 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. “Просвещение”, 1997.
11. Алгебра. 9 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. “Просвещение”, 1996.