Исследование элементарных способов решения рациональных уравнений

= (x +2)(2x² + 2x – 2) = 0.

x₁ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.

3.4. Возвратные уравнения.

Уравнение вида

a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + … +a₁x + a₀ = 0

называется  возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны,  то есть если

a_{n – 1} = a_k, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим  возвратное уравнение четвёртой  степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

• разделить левую и правую части уравнения на x². При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;
• группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x² + 1 / x²) + b(x + 1 / x) + c = 0;

• ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

                        t² = x² + 2 + 1 / x², то есть x² + 1 / x² = t² – 2;

в новых  переменных рассматриваемое уравнение является квадратным

at² + bt + c – 2a = 0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное  уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей  степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратное  уравнение нечётной степени обязательно  имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение  пятой степени

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx  + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому  по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно  часто в процессе решения задач  вступительных экзаменов возникают  рациональные уравнения степени  выше второй, которые не удаётся  решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь  отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы  воспользуетесь следствием 1 теоремы  Безу и понизите на единицу степень  исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди  делителей свободного члена этого  многочлена. Если же попытка угадать  корни не удалась, то, возможно, Вы избрали  “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует  решения уравнения третьей или  большей степени.

3.5. Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть  многочлен  P (x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n

имеет  n  различных корней  X₁, X₂, …, X_n. В этом случае он имеет разложение на множители вида

a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n = a₀(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n).

Разделим  обе части этого равенства  на a₀ ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство

Xⁿ + (a₁ / a₀)x^{n – 1} + … + (a_n / a₀) = 

= xⁿ – (x₁ + x₂ + … +x_n)x^{n – 1} + (x₁x₂ +x₁x₃ +  … +x_n-1x_n)x^{n – 2} +

+ … + (-1)ⁿx₁x₂…x_n.

Но два  многочлена тождественно равны в том и  только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства

x₁ + x₂ + … + x_n = -a₁ / a₀,

x₁x₂ + x₁x₃ + … + x_{n – 1}x_n = a₂ / a₀,

_{…………………….}

x₁x₂× … ×x_n = (-1)ⁿa_n / a₀.

Пример.Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x³ – 3x² + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения  через x₁, x₂ и x₃. Тогда по формулам Виета имеем

s₁ = x₁ + x₂ +x₃ = 3,

s₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 7,

s₃ = x₁x₂x₃ = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами  y₁, y₂, y₃, а его коэффициенты — буквами b₁, b₂, b₃, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y₁ = x₁², y₂ = x₂², y₃ = x₃² и поэтому

b₁ = – (y₁ + y₂ + y₃) = – (x₁² + x₂² + x₃²),

b₂ = y₁y₂ + y₁y₃ + y₂y₃ = x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃²,

b₃ = – y₁y₂y₃ = – x₁²x₂²x₃² .

Но имеем

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ +x₃)² – 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = s₁² - 2s₂ = 3² – 2×7 = – 5,

x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃² = (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)² – 2x₁x₂x₃(x₁ + x₂ +x₃)= s₂² – 2s₁s₃ = = 7² – 2×3×(– 5)= 79,

x₁²x₂²x₃² = (x₁x₂x₃)² = s₃² = 25.

Значит, b₁ = 5, b₂ = 79, b₃ = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.

Ответ: y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.

3.6. Системы уравнений второй степени.

В простейших случаях при решении  систем уравнений второй степени  удаётся выразить одно неизвестное  через другое и подставить это  выражение  во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также  способ замены переменных.

Пример. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

2x + y = 7,

xy = 6.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

y = 7 – 2x,

7x – 2x² = 6.

Квадратное  уравнение  – 2x² + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют  вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма  x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример. Решить систему уравнений 

x + y + 2xy = 7,

xy + 2(x + y) = 8.

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем  систему уравнений 

a + 2b = 7,

b + 2a = 8

или

a = 7 – 2b,

b + 14 – 4b = 8.

Отсюда   

a = 3,

b = 2.

Возвращаясь к переменным x и y, получаем

x + y = 3,

xy = 2.

Решив эту систему:

x = 3 – y,

(3 – y)y = 2;

y² – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1) ,  (1; 2).

Пример. Решить систему уравнений

y² – xy = 12,

x² – xy = – 3.

Решение. Разложим левые части уравнений  на  множители:

y(y – x) = 12,

x(x – y) = – 3.

Выразив из второго уравнения (x ¹ 0)  x – y = – 3 / x, т.е.  y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим

y / x = 4,

x(x – y) = – 3,  откуда

y = 4x,

x(x – y) = – 3.

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем  

- 3x² =  – 3,  X₁ = 1; X₂ = – 1, тогда Y₁ = 4; Y₂ = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4). 

Пример. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь  равна  15 м².

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8  и ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению  системы уравнений

х + у = 8,

ху = 15,

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба  уравнения системы обращает их в  верные числовые равенства.

Из  первого уравнения находим, что    у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем   х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х² = 15 или

х² - 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение: D = (-8)² - 4×1×15 = 64 - 60 = 4,

Х_1,2 = (8 ± Ö4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Значит, х₁ = 5, х₂ = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у₁ = 3, а у₂ = 5. В обоих случаях получаем  один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение   х² - 8х + 15 = 0  можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z² - 8z + 15 = 0.

Рассмотрим  системы, состоящие из двух уравнений  с двумя неизвестными. Если в одно из них какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

Пример. Решим систему уравнений 

2х + у = 11,

х² + у² = 53.

Решение. Из первого уравнения находим, что  у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем:  х2 + (11 - 2х)2 = 53.

Раскроем  скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53

и потому  5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения  х надо решить уравнение

5х2 - 44х + 68 = 0.

Решая его, находим  D = (-44)2 - 4×5×68 = 1936 - 1360 = 576,

Х_1,2 = (44 ± 24) / 10.

Итак  х₁ = 6,8;  х₂ = 2,  Þ у₁ = 11 - 2×6,8 = -2,6; у₂ = 11 - 2×2 = 7.

Ответ: х₁ = 6,8; у₁ = -2,6;  х₂ = 2;  у₂ = 7.

3.7. Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные  (у = х² для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример 7.28. Решим уравнение    12 / (х² + 2х) - 3 / (х² + 2х - 2) = 1.

Решение. Если попробовать привести дробь  в левой части уравнения к  одному знаменателю, то получим уравнение  четвёртой степени, которое мы умеем  решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид      

12 / у - 3 / (у - 2) = 1  или (у² - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,

откуда  y₁ = 3;  y₂ = 8. Осталось решить уравнения   х² + 2х = 3  (его корни х₁ = 1,  х₂ = -3)  и     х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2,  х₄ = -4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно  применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной  и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени  неизвестного выше первой).

Пример. Решим систему уравнений

2 / х + 3 / у = 8,

5 / х - 2 / у = 1.

Решение. Обозначим  1 / х  через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид

2U + 3V = 8,

5U - 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе:       5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1,              1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Пример.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение.  (x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x² – 11x + 28)(x² – 11x + 30) = 1680.

Обозначим  x² – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t₁ = – 42; t₂ = 40. Поэтому

x² – 11x + 28 = – 42;  x² – 11x + 70 = 0;   D = 121 – 280 < 0  Þ x_1,2 Î Æ.

x² – 11x + 28 = 40;  x² – 11x – 12 = 0; x₁ = 12; x₂ = – 1.

Ответ:  x₁ = 12; x₂ = – 1.

Пример.

2x⁴ + 3x³ – 16x² + 3x + 2 = 0.

Решение. Это  возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим

2x² + 3x – 16 +3 / x + 2 / x² = 0, т.е.

2(x² + 1 / x²) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x² + 2 + 1 / x² = t², т.е. x² + 1 / x² = t² – 2, получаем   2(t² – 2) + 3t – 16=0, т.е.  2t² + 3t – 20 = 0, t₁ = – 4; t₂ = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем

x + 1 / x = – 4; x² + 4x + 1 = 0; x_1,2 = –2 ± Ö3,

x + 1 / x = 2,5; 2x² – 5x + 2 = 0; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Ответ: x_1,2 = –2 ± Ö3; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.