Исследование элементарных способов решения рациональных уравнений

Пример.

(x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем  (t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16, т.е. 

t⁴ – 4t³ + 6t² – 4t + 1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t⁴ + 12t² – 14 = 0, или t⁴ + 6t² – 7 = 0. Положим t² = z ³ 0, тогда

z²  +6z – 7 = 0, z₁ = – 7; z₂ = 1.

С учётом t² = z ³ 0 отбрасываем z₁. Итак, z = 1, т.е. t² = 1, отсюда t₁ = –1; t₂ = 1. Следовательно,  x₁ =  – 1 – 4 = – 5    и x₂ = 1 – 4 = – 3.

Ответ: x₁ = – 5    и x₂ = – 3.

Пример.

13x / (2x² + x +3) + 2x / (2x² – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель  дробей на x ¹ 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t² – 24t – 30, т.е.

6t² – 39t + 33 = 0, т.е.  2t² – 13t + 11 = 0,

t₁ = 1; t₂ = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1;  2x² – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0   Þ  x Î Æ.

2x + 3 / x = 5,5;  4x² – 11x + 6 = 0; x₁ = 2; x₂ = 0,75.

Ответ: x₁ = 2; x₂ = 0,75.

Пример.

x⁴ – 2x³ + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и  вычтя в левой части уравнения  x²:

x⁴ – 2x³ + x² – x² + x – 0,75 = 0, т.е.

(x² – x)² – (x² – x) – 0,75 = 0.

Пусть  x² – x = t, тогда t² – t – 0,75 = 0, x₁ = – 0,5; x₂ = 1,5.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x² – x = – 0,5;    x² – x + 0,5 = 0;    D = 1 – 2 < 0   Þ  x Î Æ.

x² – x = 1,5;   x² – x – 1,5 = 0; x_1,2 = (1 ± Ö7) / 2.

Ответ: x_1,2 = (1 ± Ö7) / 2.

Пример.

x² + 81x² / (9 + x)² = 40.

Решение. Воспользуемся формулой: a² + b² = (a – b)² + 2ab ((a - b)² = a² - 2ab + b²Þ Þ  a² + b² = (a - b)² + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))² + 2x×9x / (9 + x) = 40, или

(x² / (9 + x))² + 18x² / (9 + x) = 40.

Пусть: (x² / (9 + x)) = t. Тогда t² + 18t – 40 = 0, t₁ = – 20; t₂ = 2. Получаем два уравнения:

(x² / (9 + x)) = 2;   x² – 2x – 18 = 0;  x_1,2 = 1 ± Ö19,

(x² / (9 + x)) = – 20;  x² + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0,  Þ  x Î Æ.

Ответ:  x_1,2 = 1 ± Ö19.

3.8. Однородные уравнения.

Пример. Решим систему уравнений

8х² - 6ху + у2 = 0,

х² + у² = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие  у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если  у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и      у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на  у². Получится уравнение

8х² / у² - 6ху / у² + у² / у² = 0  или 8х² / у² - 6х / у + 1 = 0.

Введём  вспомогательное неизвестное  U = х / у. Уравнение примет вид

8U² - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни  U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо  x / y = 1 / 2, либо  x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = - 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = - 2. Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = Ö(5 / 17), x₄ = -Ö(5 / 17); соответственно y₃ = 4Ö(5 / 17), y₄ = - 4Ö(5 /17).

Первое  уравнение системы нам удалось  представить как уравнение относительно  x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x², 6xy, y²), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k  относительно  x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на  y^k (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно  неизвестного  x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

Пример. Решить систему уравнений

 

y² - xy = -12,

       x² - xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить  к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y² - 10xy + 3x² = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x² и решим уравнение                  7U² - 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:

x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = -7, y₂ = -3.

Ответ: x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = -7, y₂ = -3.

Мы  получили решения системы путём  выведения из заданных уравнений  вспомогательного следствия. Такой  способ решения систем в некоторых  случаях приводит к появлению  “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение   (x - 1)⁴ + 9(x + 1)⁴ = 10(x² - 1)².

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение  четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:

U = (x - 1)², V = (x + 1)².

Уравнение примет вид  U² + 9V² = 10UV.

Это уравнение однородное, и после  деления на V² оно становится уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x - 1)² / (x + 1)².

Решим вспомогательное уравнение 

W² - 10W + 9 = 0.

Его корни W₁ = 1, W₂ = 9. Осталось решить уравнения

(x - 1)² / (x + 1)² = 1  и (x - 1)² / (x + 1)² = 9.

Из  первого уравнения следует, что  либо  (x - 1) / (x + 1) = 1, либо                                (x - 1) / (x + 1) = -1.

Из  второго получаем, что либо  (x - 1) / (x + 1) = 3, либо (x - 1) / (x + 1) = -3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x₁ = 0, x₂ = - 2, x₃ = -0,5.

Ответ: x₁ = 0, x₂ = - 2, x₃ = -0,5.

Пример.

3(x² – x + 1)² – 5(x + 1)(x² – x + 1) – 2(x + 1)² = 0.

Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида

ay^2a + by^az^a + cz^2a = 0,

где a, b, c, a — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x² – x + 1)² ¹ 0:

3 – 5(x + 1) / (x² – x + 1) – 2((x + 1) / (x² – x + 1))² = 0.

Пусть  (x + 1) / (x² – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t² = 0, т.е. t₁ = – 3; t₂ = 0,5. Следовательно:

(x + 1) / (x² – x + 1) = 0,5 = 1 / 2;  2x + 2 = x² – x + 1;   x² – 3x – 1 = 0;   x_1,2 = (3 ± Ö13) / 2,

(x + 1) / (x² – x + 1) = – 3;  x + 1 = – 3x² + 3x – 3;   3x² – 2x + 4 = 0;  D = 4 – 48 < 0,   Þ   x Î Æ.

Ответ:  x_1,2 = (3 ± Ö13) / 2.

3.9. Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x , y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида 

P₁ (x, y) = 0,

P₂ (x, y) = 0,

где P₁ (x, y) и P₂ (x, y) — симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.

Пример . Решить систему уравнений

x² + xy + y² = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что:

x² + xy + y² = x² + 2xy + y² - xy = (x + y)² - xy.

Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V. Система примет вид:

U² - V = 49,

U + V = 23.

Сложив  эти уравнения, получим уравнение  U² + U - 72 = 0  с корнями U₁ = 8,U₂ = -9. Соответственно V₁ = 15, V₂ = 32. Остаётся решить системы уравнений:

x + y = 8,

xy = 15,

x + y = - 9,

xy = 32.

Система       x + y = 8,  имеет решения: x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5, y₂ = 3.

                     xy = 15.

 

Система       x + y = - 9,  действительных решений не имеет.

                     xy = 32.

Ответ: x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5, y₂ = 3.

Пример. Решить систему

1 / x + 1 / y = 5,

1 / x² + 1 / y² = 13.

 

Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:

X = 1 / x, Y = 1 / y,

а затем U и V:  U = X + Y = 1 / x + 1 / y,  V = XY = 1 / xy.

Получается  система:

U = 5,

U² - 2V = 13,

из  которой U = 5, V = 6. Далее решая систему

X + Y = 5,

XY = 6,

находим  X₁ = 2, Y₁ = 3; X₂ = 3, Y₂ = 2, откуда получаем x₁ = 1 / 2, y₁ = 1 / 3; x₂ = 1 /3, y₂ = 1 / 2. Можно сразу ввести неизвестные U = x + y, V = xy, получится система

U = 5V,

U² - 2V = 13V²,

Приводящая к тем же решениям исходной системы.

Ответ: x₁ = 1 / 2, y₁ = 1 / 3; x₂ = 1 /3, y₂ = 1 / 2.

3.10. Уравнения содержащие знак модуля.

Два числа, модули которых равны, либо равны  между собой, либо отличаются лишь знаком: если  |a| = |b|, то либо a = b, либо a = -b. Применим это замечание к решению уравнения

|3x - 1| = |2x + 3|.

В силу сказанного выше из этого уравнения  вытекает, что либо 3х - 1 = 2х + 3, либо            3х - 1 = -(2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4, а второго — число -2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х₁ = 4, х₂ = -2 / 5.

В других случаях бывает полезно сначала  установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под  знаком модуля. Эти точки разбивают  числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют  постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке.

При решении уравнений с модулем  используется определение модуля и  метод интервалов. Напомним, что

| f (x) | = f (x), если   f (x) ³ 0,

| f (x) | = – f (x), если   f (x) < 0.

Пример. Решим уравнение.

|x| = |3 - 2x| - x - 1.

Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 - 2x — при x = 3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (-¥; 0),[0; 3 / 2], (3 / 2; ¥). При -¥ <  x < 0 имеем x < 0 и 3 - 2x > 0. Поэтому на этом промежутке  |x| = - x, |3 - 2x| = 3 - 2x и уравнение принимает вид   -x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это значение x не лежит на (-¥; 0), и потому на этом промежутке уравнение корней не имеет. При 0 £ x £ 3/ 2 имеем         x ³ 0, 3 - 2x ³ 0, поэтому |x| = x,                      |3 - 2x| = 3 - 2x. И уравнение принимает вид x =  3 - 2x - x - 1. Решая его, находим           x = 0,5. Так как это значение  x принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем заданного уравнения. Наконец, на промежутке (3 / 2; +¥) имеем x > 0, 3 - 2x < 0, а потому |x| = x, |3 - 2x| = -(3 - 2x) и уравнение принимает вид x =  -(3 - 2x) - x - 1, т.е. 0 = - 4. Значит, на этом промежутке нет корней заданного уравнения.

Мы  получили, таким образом, что уравнение  имеет лишь один корень, а именно x = 0,5.

Ответ: x = 0,5.

В некоторых случаях уравнение  со знаком  модуля имеет бесконечно много решений.

Пример. Решить уравнение   |8 - 5x| = |3 + x| + |5 -6x|.

Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в точках 8 /5, -3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на  4 промежутка. При этом, в ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (-¥; -3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +¥) уравнение корней не имеет, а на промежутке [-3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 - 5x = 3 + x + 5 - 6x. Поэтому ответ имеет вид [-3; 5 / 6].

Ответ: [-3; 5/ 6].

Несколько сложнее решаются уравнения, в которых  встречается знак модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод  разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.

Пример 12.61. Решим уравнение  |2x - 3 - |x + 2|| = 8x + 12.

Решение. Выражение  (x + 2) обращается в нуль при x = -2. Если x < -2, то (x + 2) < 0 и потому |x + 2| = -(x + 2). Значит, на промежутке (-¥; - 2) заданное уравнение принимает вид         |2x - 3 + (x + 2)| = 8x + 12, т.е. |3x - 1| = 8x + 12. Но при x < -2 имеем 3x - 1 < 0 и потому                 |3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение -(3x - 1) = 8x + 12, имеющее корень x = -1. Так как это число не лежит на промежутке (-¥; - 2), то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.