Исследование элементарных способов решения рациональных уравнений

Министерство  образования и науки РФ

 

Московский государственный областной  университет

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 по дисциплине «Теория элементарных  функций. Теория решения уравнений  и неравенств»

на тему:

«Исследование элементарных способов решения рациональных уравнений»

 

 

 

 

Выполнил:

Студент ФМФ

Группа МИ-21

Третьякова Анастасия Олеговна

Проверил:

Забелина Светлана Борисовна

 

 

 

 

 

г. Москва, 2012

Содержание:

 

Введение 3

1. Основные теоретические понятия 4
2. Теоремы о равносильности 6
3. Рациональные уравнения 8

3.1 Линейные  уравнения 8

2. Системы линейных уравнений 9
3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним….11
4. Возвратные уравнения……………………………………….20
5. Формулы Виета для многочленов высших степеней……...21
6. Системы уравнений второй степени………………………..23
7. Метод введения новых неизвестных при решении уравнений

     и систем уравнений…………………………………………..26

8. Однородные уравнения……………………………………...29
9. Решение симметрических систем уравнений……………...32

3.10 Уравнения  содержащие знак модуля……………………..34

4. Основыные способы решения рациональных уравнений...38
5. Заключение…………………………………………………….40
6. Список литературы……………………………………………41

 

 
Введение

 Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений.

 В  школе решению рациональных цравнений отводится много времени, всвязи с тем, что рациональных уравнений много,и каждый типо уравнений решается по своему.

Существует  множество способов решений для  всех типов уравнений, как стандартные так и не стандартные. В своей работе я хочу рассмотреть основные и наиболее оптимальные способы решения рациональных уравненийдать основные теоретические понятия которые необходимы чтобы решать уравнения.

1. Основние теоретические понятия

 Уравнение - математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями).

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций  (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».Значения неизвестных, при которых это  равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

  Алгебраические уравнения. Уравнения вида f_n(x) = 0, где f_n(x) – многочлен одной переменной, называются алгебраическими уравнениями.  
Многочленом называется выражение вида f_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0 .В свою очередь алгеброические уравнения подразделяются на целые, дробные и иррациональные.

  Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными.трансцендентные делятся на показательные ,логарифмические и тригонометрические.

При решении уравнений необходимо находить область допустимых значений – ОДЗ. ОДЗ уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его правая и левая части. Очевидно, что вне ОДЗ решений не существует, однако не все числа, входящие в ОДЗ, служат решениями уравнения.

2.Теоремы о рвыносильности

 При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными. Определение: Уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f1(x)=g1(x), если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают. Например, уравнения 3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2. Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными. Тот факт, что уравнения f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x) равносильны, обозначают так: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x) В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Рассмотрим  теоремы о равносильности уравнений.

 Теорема  1: Если какое-либо слагаемое перенести  из одной части уравнения в  другую, изменив его знак, то получим  уравнение, равносильное данному. Доказательство: 
Докажем, что уравнение f(x) = g(x)+q(x) (1) 
 равносильно уравнению f(x) – q(x) = g(x) (2) Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1). Что и требовалось доказатью.

Теорема 2: Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную Степень, то получится уравнение, равносильное данному.

 

Теорема 3: Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 4: Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 5: Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

 

3.Рациональные уравнения

Функция вида

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n – 2} + … + a_{n – 1}x + a_n,

где n — натуральное, a₀, a₁,…, a_n — некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P₁(x) / Q₁(x) + P₂(x) / Q₂(x) + … + P_m(x) / Q_m(x) = 0,

где P₁(x), P₂(x), … ,P_m(x), Q₁(x), Q₂(x), …, Q_m(x) — целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x) ¹ 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию          Q (x) ¹ 0.

3.1.Линейные уравнения.

Уравнения вида   ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a¹0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.

Если a=0; b¹0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть,  что любое x  является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид:  y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X₀ и Y₀, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е.    Y₀ = aX₀ + b.

Пример. Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и  найдём x:         2x – 3 + 4x – 4 = 5,  2x + 4x = 5 + 4 + 3,

               6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение.  2x + 2x – 4x =  3 +2 – 4 – 7,    0x =  – 6.

Ответ: Æ.

Пример. Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,    

– 4x + 9 = 9 – 4x,

-4x + 4x = 9 – 9,

0x = 0.

Ответ: Любое число.

3.2.Системы линейных уравнений.

Уравнение вида       

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b,

где a₁, b₁, … ,a_n, b —некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

1. система не имеет решений;
2. система имеет ровно одно решение;
3. система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

3x + 2y = 7.

Решение. Решить систему линейных уравнений  можно способом подстановки, который  состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные  уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе  уравнение и получаем систему уравнений

x = (8 – 3y) / 2,

3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из  второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.

Ответ: (1; 2).

Пример. Решить систему уравнений

x + y = 3,

2x + 2y = 7.

Решение. Система не имеет решений, так  как два уравнения системы  не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример. решить систему уравнений

x + y = 5,

2x + 2y = 10.

 

Решение. Система имеет бесконечно много  решений, так как второе уравнение  получается из первого путём умножения  на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

Решение. При решении  систем линейных уравнений  удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем  первое уравнение системы на  – 2  и, складывая полученный результат  со вторым уравнением, получаем   – 3y + 6z =  – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем  7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный  вид

x + y – z = 2,

y – 2z = 1,

y = 1.

Подставляя  y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя   y =1  и   z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример . При каких значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя  это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Далее умножим обе части уравнения  на 2 и упростим его:

  (a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя  последнее уравнение, отметим, что  при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.

Ответ: 3.

3.3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа (a¹0); 

x — переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения  ax² + bx + c = 0  на a — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x² + (b / a)x + (c / a) = 0                                                             

выделим в левой части полный квадрат 

x² + (b / a) + (c / a) = (x² + 2(b / 2a)x + (b / 2a)²) – (b / 2a)² + (c / a) =