Формирование культуры математических вычислений на уроках математики в 5 классе

Пример: пусть нужно умножить 25 и 63.

Начертим таблицу в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

1 2	3 0
0 6	1 5

                           2       5

                    1                     6

                   5                        3

                         7          5

 

Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по  количеству десятичных знаков  у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху таблицы записываем  число 987;

- слева таблицы число 12 (см. ниже);

- теперь в каждый квадратик  впишем произведение цифр –  сомножителей, расположенных в одной  строчке и в одном столбце  с этим квадратиком, десятки выше  диагонали, единицы ниже;

- после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль  каждой диагонали;

- результат записываем справа  и внизу таблицы (см. рисунок);

987 ∙ 12=11844

                                      9                      8                     7

8   1	6   1	4   1
9   0	8   0	7   0

 

                    2 4                                                 

 

 

                    1  4

                        

                    

                               1                        1                      8

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру. [14]

Египетский способ умножения

Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения (попробуй, перемножь: ξφß*τδ). Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой. [18]

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т. к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.

 

2.1.3 Система задач для умственного счета С.А. Рачинского

 

В 1891 году С.А. Рачинский издал книгу «1001 задача для умственного счёта», которая стала первым в России сборником упражнений по устному счёту.

Сергей Александрович Рачинский весьма интересен как педагог–практик, поднявший в сельской школе преподавание арифметики на очень высокую ступень, особенно это относится к устному счету и решению задач.

С.А. Рачинский обращал внимание на то, что способность к умственному (устному) счёту полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он всегда учил детей решать задачи быстро, оригинально, красиво. Учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними. [2]

Сергеем Александровичем было описано множество приемов устного счета, таких как:

• способ возведения в квадрат любого двузначного числа;
• способ умножения двузначных чисел;
• способ умножения на число, записанное одними девятками;
• числа, «раздвигаемые при умножении»;
• признаки делимости натуральных чисел и т.п. [2]

Вот некоторые специальные приёмы устных вычислений:

1) Приёмы последовательного умножения и деления.

Один из множителей раскладываем на простые множители, а затем выполняем умножение. То же самое и с делением.

Пример:

78·8=78·2·2·2=150·2·2=300·2=600

18·35=18·5·7=90·7=630

35·18=35·2·9=70·9=630

23·55=23·5·11=115·11=1150+115=1265

540:4=(540:2):2=270:2=135

960:15=(960:3):5=320:5=640:10=64

2) Приёмы, основанные на значениях  некоторых свойств чисел или  результатов действий.

(10·10+11·11+12·12+13·13+14·14):365, если знать, что в этом ряде чисел 10·10+11·11+12·12=13·13+14·14=365 (сумма квадратов трех последовательных чисел равна сумме квадратов следующих за ними двух чисел).

3) Сразу можно записать ответ, если знать, что 37·3=111

4) Зная число Шахерезады 1001=7·11·13, сразу можно получить результат: 7·11·13·678=678678

5) Наблюдая примеры

1+3=4=2·2    1+3+5+7=16=4·4

1+3+5=9=3·3   1+3+5+7+9=5·5

можно выявить закономерность. Если складываются натуральные нечётные последовательные числа, то сумма любого количества последовательных нечётных чисел, начиная с 1, равна произведению числа, выражающего количество слагаемых, на самого себя.

6) Можно использовать для вычислений  ещё одну закономерность:

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

Впервые эту закономерность выявил итальянский математик XVI века Николо Тарталья.

7) Можно находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел заметив, что сумма крайних равна сумме двух любых других, равноудалённых от начала и конца ряда.

Например:

5+6+7+8+9+10+11=(5+11)+(6+10)+(7+9)+8=16·3+8=56

 

2.1.4 Система быстрого счёта по Я. Трахтенбергу

 

Профессор Цюрихского математического института Яков Трахтенберг в конце 40-х годов организовал в Цюрихе свой Математический институт – единственное учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, достигая поразительных успехов.

История создания этого метода необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае по части математики), превосходно, быстро и надёжно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приёмов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще. [13]

Cвод правил (алгоритм):

1. Умножение на 11:

Прибавить соседа.

1) Последняя цифра множимого (число, которое умножается) записывается  как самая правая цифра результата

2) Каждая следующая цифра множимого  складывается со своим правым  соседом и записывается в результат

3) Первая цифра множимого становится  самой левой цифрой результата. Это последний шаг. По системе  Трахтенберга вы пишите результат  по одной цифре справа налево.

Пример: 633 · 11

1 шаг: ****3

2 шаг: 96

3 шаг: 6****

Ответ: 6963

2. Умножение на 12:

Удвойте цифру и прибавьте соседа (справа налево)

Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее соседа

Пример: 413 · 12

1 шаг: 3 · 2 + 0 = 6

2 шаг: 1 · 2 + 3 = 5

3 шаг: 4 · 2 + 1 = 9

4 шаг: 0 · 2 + 4 = 4

Ответ: 4956

3. Умножение на 6:

Прибавьте половину соседа и:

• прибавить 5 к цифре, если она нечётная;
• ничего не прибавлять, если она чётная.

Пример: 763 · 6

1 шаг: т.к 3-нечетная, то добавляем 5, т.е. 3+5=8-самая правая цифра результата.

2 шаг: т.к 6-четная цифра, то 5 не прибавляем, а складываем с половиной соседа, т.е.с половиной от 3. Получаем: 6+1=7 (следующая цифра результата).

3 шаг: т.к 7-нечетная цифра, то добавляем 5, т.е. 7+5=12. Затем к 12 прибавляем половину от 6 (соседа): 12+3=15.

Записываем в результат цифру 5, а единицу переносим в следующий разряд (как в обычном сложении).

4 шаг: число 7 делим пополам, получаем 3 и прибавляем единичку.

Ответ: 4578

4. Умножение на 7:

Удвоить цифру и прибавить половину соседа. Если цифра нечётная, то прибавить еще пять.

Аналогично, как и с умножением на 6, но только на этот раз не делим на два, а умножаем.

5. Умножение на 5:

Если цифра четная, то берем половину соседа.

Если цифра нечетная, то берем половину соседа и прибавляем 5.

Пример: 514 · 5

1 шаг: т.к цифра 4-четная, то пять не добавляем, а берем только половину соседа. Но «сосед» в данном случае – это ноль, поэтому половина от нуля, тоже ноль. Самая правая цифра результата – это ноль.

2 шаг: цифра 1-нечетная. Поэтому берем половину соседа, т.е. 4:2=2 и к этой половинке прибавляем пять. Получаем 5+2=7.

3 шаг: цифра 5-нечетная. Поэтому берем половину соседа, т.е. 1:2. Получается дробь, но дроби в подобных случаях мы отбрасываем и оставляем только целую часть. Здесь целая часть ноль. К нулю прибавляем пять и записываем в результат.

4 шаг: половина от 5-это два.

Ответ: 2570

6. Умножение на 9:

При умножении на 8 или 9 мы мысленно делаем еще один новый шаг. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать вычтите из 10 или 9.

1) Вычтите правую цифру множимого  из 10. Это дает правую цифру  результата

2) Возьмите поочередно каждую  из следующих цифр до самой  последней, вычтите ее из 9 и прибавьте  соседа

3) В последнем шаге, когда вы  будете рассматривать цифру нуль, стоящую перед множимым, вычтите 1 из соседа и полученное число будет самой левой цифрой результата.

Пример: 8769 · 9

1 шаг: из 10 вычитаем правую цифру числа 8769, получаем 10–9=1. Это самая правая цифра результата.

2 шаг: из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем 9–6=3. Затем к 3 прибавляем соседа, т.е. 3+9=12. Один в уме, поэтому следующая цифра результата – это 2.

3 шаг: из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем 9–7=2. Затем к 2 прибавляем соседа, т.е. 2+6=8. И еще добавляем единицу, т. к. 1 была в уме. Поэтому следующая цифра результата – это 9.

4 шаг: из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем 9–8=1. Затем к 1 прибавляем соседа, т.е. 1+7=8. Следующая цифра результата – это 8.

5 шаг: из 8 вычитаем 1, получим 7-первую цифру результата.

Ответ: 78921

7. Умножение на 8:

1) Первая цифра – вычтите  из 10 и удвойте

2) Средние цифры: вычтите из 9 и  удвойте полученное, затем прибавьте  соседа

3) Уменьшите самую левую цифру  на 2

8. Умножение на 4:

1) Вычтите самую правую цифру  числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечётная

2) Вычтите поочередно каждую  цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечётная, и прибавьте  половину соседа

3) Возьмите половину самой левой  цифры множимого и уменьшите  её на один

Пример: 2187 · 4

1 шаг: 10–7=3 (вычитаем из 10 самую правую цифру числа). Цифра 7-нечетная, поэтому к результату вычитания прибавляем 5: 3+5=8.

2 шаг: 9–8=1. Затем прибавляем половину соседа: 1+7:2=1+3 (т. к. дробная часть отбрасывается). Результат-4.

3 шаг: 9–1=8; 8+5=13 (прибавляем 5, так как 1-нечетная) 13+8:2=13+4=17.