Автор: Пользователь скрыл имя, 21 Января 2013 в 16:50, курс лекций
Пусть - произвольное числовое поле
Выражение вида , где называется одночленом
Выражение вида называется многочленом над полем c одной переменной над полем P (обозначается ) – коэффициент многочлена
…
…
Сравним (1) и (3).
Т.к. - показатель высшего члена, - произведения
…
Первый член выше 3-го.
Сравним (3) и (4). … (4) ниже чем (3).
По свойству транзитивности (1) выше всех остальных. Ч.т.д.
Пример: Расположить многочлены в лексикографическом смысле и найти высший член произведения.
Высший член .
Симметрические многочлены от n переменных
Среди многочленов от n переменных встречаются такие, которые не зависят от транспозиции переменных.
3
-3
-3
+ -3
Говорят, что переменные в эти многочлены входят симметричным образом, их называют симметрическими многочленами.
Многочлен называется симметрическим, если он не изменяется при любой транспозиции переменных.
Если симметрический многочлен входит слагаемым, то обязательно в этот многочлен войдут слагаемые , … и др.
- симметрический.
Пример: Дополнить многочлен до минимального симметрического.
– моногенный многочлен.
n=4:
n=3:
Среди симметрических многочленов существуют простейшие или элементарные многочлены.
n переменных:
…
n=3:
n=4:
Числа из поля P и 0-ой многочлен являются симметрическими.
Симметрические многочлены являются подмножеством кольца всех многочленов.
Сумма любых двух симметрических многочленов также является симметрическим многочленом; произведение любых двух симметрических многочленов тоже симметрический многочлен.
Во множестве симметрических многочленов выполнимы операции сложения и умножения.
Сложение коммутативно и ассоциативно; существует 0-ой многочлен; - тоже симметрический; умножение симметрических многочленов дистрибутивно относительно сложения, т.к. это выполняется для всех многочленов.
n=3:
Всякое выражение в виде многочлена от основных симметрических многочленов является симметрическим многочлен от , , .
Любой многочлен после подстановки вместо их выражают через обращается в симметрический многочлен.
Основная теорема о
Всякий симметрический многочлен от n переменных представим в виде многочлена от основных симметрических многочленов с коэффициентами из того же поля P, что и данный многочлен.
Доказательство:
Пусть дан симметрический многочлен .
(*)
…
Найдем высший член симметрического многочлена .
Докажем вспомогательную лемму:
Показатели в высшем члене симметрического многочлена удовлетворяют цепочке .
Метод «от противного».
Пусть . Тогда т.к. многочлен симметрический, то на ряду со старшим членом (1) должен быть (2).
Член (2) будет выше члена (1), что противоречит выбору высшего члена (однозначно) => не верно =>
…
По высшему члену строим .
(2)
в неотрицательных степенях.
Если вместо подставим их выражения через (*) и выполнить все указанные действия, то получим симметрический многочлен, высший член которого будет равен высшему члену .
высший член:
… …
По лемме высший член произведения равен произведению этих членов.
высший член:
высший член (2) будет ниже члена (1)
По высшему члену (2) составим одночлен .
Вместо подставим (*) и выполнив все указанные действия получим симметрический многочлен, высший член которого будет равен высшему члену (2).
– симметрический.
Высший член понижен по сравнению со (2)
, .
Процесс конечен, т.к. показатели конечное число.
Настанет момент .
Складывая правые и левые части равенств
А это многочлен от .