Алгебра многочленов

Возьмем многочлен  со старшим коэффициентом (1) над полем C, он имеет n корней, считая их кратность.

.

Раскрывая скобки в правой части этого равенства  мы получим:

.

Формулы Виета:

.

.

.

…

.

Если  - корни многочлена со старшим коэффициентом 1, то сумма корней взятых по одному равняется вторым коэффициентом многочлена взятых с противоположным знаком. Сумма произведение корней взятых по два равна третьему коэффициенту, сумма произведение взятых по три равна четвертому коэффициенту, …, произведение всех корней равно свободному члену на .

Уравнения третьей степени с действительными  коэффициентами

.

.

. (2)

.

 –называется дискриминантом кубического уравнения (2).

1) D<0 => .

- положительное действительное число.

- действительное число.

.

 – действительное, - комплексно-сопряженные.

 – действительное,   – действительное.

.

Один действительный корень и два комплексно-сопряженных.

2) D=0 => .

- действительное число.

,   - комплексно-сопряженные.

.

.

.

.

Все три корня  действительные числа.

3) D>0 => .

 – линейное число.

- комплексное число.

Корень третьей  степени отличается от действительного. Действительным быть не может.

 – комплексные числа.

 – действительные корни <=> когда числа являются комплексно-сопряженными .

;

.

.

.

Все три корня  действительные числа.

Корни кубического  уравнения часто находят приближенным методом.

Решение уравнений с рациональными коэффициентами. Нахождение рациональных корней уравнения.

. (1)

Если умножить на общий знаменатель , то получим уравнение с целыми коэффициентами

. (2)

Если α  – корень 1 => α - корень 2.

Если α  – корень 2 => α - корень 1.

Сведется  к нахождению корней уравнения с  целыми коэффициентами.

Теорема 1: Если несократимая дробь является корнем уравнения (2), , то числитель дроби – p является делителем свободного члена a_n, а q является положительным делителем старшего коэффициента.

Доказательство:

Дано: - корень уравнения (2) => - верное равенство. Умножим его на qⁿ.

 

Все слагаемые  от 1-го до предпоследнего делятся на p; сумма делится на p => последнее слагаемое делится нацело на p - .

Все слагаемые, кроме 1-го, делятся на q и сумма делится нацело на q => .

 

Т.к. p, q – взаимно-простые, то любая степень q с числом p взаимно-простые и наоборот.

 

 

По теореме  о взаимно-простых числах (если произведение на число, а один из сомножителей взаимно-простое  с этим числом => второе слагаемое делится нацело на p)

 

 

p – делитель свободного члена,

q – делитель старшего коэффициента.

Учитывая , знаменатель можно брать положительный.

Следствие 1: . Если старший коэффициент равен 1, то его корнями могут быть только целые числа, являющиеся делителями свободного числа.

Доказательство:

Если  является корнем уравнения, то по предшествующей теореме q – делитель старшего коэффициента, q – делитель 1.

Значит делитель будет p – делитель свободного члена.

Следствие 2: Целыми корнями уравнения могут быть делители свободного члена.

Доказательство:

По теореме, если – корень уравнения (2), то p является делителем свободного члена; q – положительный делитель старшего коэффициента.

 только тогда, когда p=α, q=1 => α является делителем свободного члена.

Теорема является необходимым условием того, чтобы  рациональное число было корнем многочлена с целыми коэффициентами.

1-е  необходимое условие существования  рационального корня у многочлена  с целыми коэффициентами:

Для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения (2) с целыми коэффициентами необходимо, чтобы числитель этой дроби был делителем свободного члена, а знаменатель – положительным делителем старшего коэффициента.

Пример: 3x⁴+5x³+x²+5x-2=0

- делители.

   

 эти числа могут быть рациональными корнями.

	3	5	1	5	-2
-2	3	-1	3	-1	0
1/3	3	0	3	0

-2; 1/3.

Замечание: Если дробей вида будет много, то существует второе необходимое условие.

Теорема 2: Если – несократимая дробь является корнем уравнения (2) с целыми коэффициентами , , то .

Доказательство:

Дано: - корень.

Тогда по критерию существования корня

 

 

				…
				…
	q0	q1	q2

Найдем коэффициенты частного.

Коэффициенты  частного будут дроби со знаменателями q⁰, q¹, …, q^n-1.

 

,

 

Обе части  умножим на qⁿ.

 

 

 – целое число.

Т.к. , то .

.

• => .

Если вместо m подставить –m, то аналогично получим . Ч.т.д.

2-е  необходимое условие:

Для того чтобы  несократимая дробь  являлась корнем многочлена с целыми коэффициентами необходимо, чтобы , .

Замечание: На практике в качестве m берут ±1.

Пример: Найти рациональные корни многочлена.

3x⁵+17x⁴+36x³+38x²+19x+5

.

.

 

f(1)=118

f(-1)=0

p	-5	-1	-5
q	1	3	3

.

	3	17	36	38	19	5
-1	3	14	22	16
-1/3	3	116
-5/3	3	12	16

Рациональных  корней нет.

Многочлены  от n-переменных

Кольцо  многочленов от n-переменных

Пусть P – произвольное числовое поле.

x₁, x₂, …, x_n – переменные.

Выражение вида (1), где называется одночленом от n переменных, a – коэффициент одночлена.

Конечная  сумма одночленов от n переменных называется многочленом от n переменных.

 

Степенью  одночлена (1) относительно всех переменных называется число равное сумме показателей ().

Каждый член многочлена имеет свою степень.

Степенью  многочлена от n переменных относительно всех переменных называется наибольшая из степеней членов данного многочлена.

Множество всех многочленов от n переменных .

Теорема: Множество всех многочленов от n переменных над полем P является кольцом.

Введем операцию сложения.

. (1)

. (2)

Два одночлена  называются подобными, если они различаются  только числовым коэффициентом.

В записи (1) и (2) многочлена не должно быть подобных.

Суммой двух многочленов  назовем новый многочлен, который получается при приписывании членам первого многочлена всех членов второго многочлена с теми же знаками.

 

Из определения  суммы двух многочленов следует, что сложение многочленов коммутативно и ассоциативно.

Роль при  сложении многочленов играет нулевой  многочлен .

 

Для любого многочлена существует ему противоположный.

 

По сложению многочлены образуют абелеву группу.

 

 

Произведением двух одночленов назовем выражение  вида

 

Произведение  двух многочленов от n переменных называется новый многочлен, который получается в результате последовательного перемножения всех членов первого на все члены второго многочлена и приведения подобных одночленов.

Нетрудно  доказать, что умножение многочленов  дистрибутивно относительно сложения.

 

Мы доказали, что множество всех многочленов  является кольцом (коммутативное, ассоциативное, 0-ой элемент, противоположный, умножение дистрибутивно).

Кольцо коммутативно-ассоциативное  с 1.

 – многочлен нулевой степени

 

.

Однородные  многочлены. Степень произведения многочленов

Многочлен от n переменных называется однородным, если все его члены имеют одинаковую степень.

Однородные  многочлены называют формой m-ой степени.

 однородный многочлен 2-ой степени.

Теорема: Всякий многочлен от n переменных можно представить в виде суммы нескольких однородных многочленов.

Доказательство:

 найдем наибольшую  степень одночлена, членов имеющих  наибольшую степень может оказаться  несколько.

Соберем все  члены, имеющие наибольшую степень.

Из оставшихся многочленов выберем одночлен, имеющий наибольшую одинаковую степень. И т.д.

 

;

;

….

.

Мы записали многочлен в виде суммы одночленов.

Теорема: Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Доказательство:

,   .

Ст. f=m.

Ст. h=k.

Ст. f·h=m+k.

Многочлены  f и h представим в виде суммы однородных многочленов.

 

Ст. .

 

Ст. .

 

Однородный  многочлен ст. , s+t.

В произведении f·h все слагаемые будут однородными одночленами, причем ст. , а степени всех остальных слагаемых <m+k.

Ст. f·h=m+k.

Если f и h ненулевые, то их произведение ненулевым многочленом не будет.

Кольцо многочленов  не содержит делителей нуля.

Лексикографическое расположение членов многочлена

Замечание: Многочлены от одного переменного записывают либо по убывающим степеням переменного, либо по возрастающим степеням.

 

 

Расположение  членов многочлена от n переменных аналогично расположению слов в словарях.

а   б  в   г

 

  (1)

  (2)

 

 

…

 

 

Член (1) будет выше члена (2), если , что , , …, , .

Понятие «быть  выше» является транзитивным, т.е. если первый выше второго, а второй выше третьего, то первый выше третьего.

Любые два  члена многочлена можно сравнить по высоте.

 

Лемма о высшем члене произведения многочленов:

Высший член произведения двух многочленов равен  произведению высших членов данных многочленов.

;

- высший член первого многочлена f.

 – произведение членов многочленов f.

- высший член многочлена .

- произведение членов многочлена .

  (1)

  (2)

  (3)

  (4)

Сравним по высоте (1) и (2).