Алгебра многочленов

Алгебра многочленов.

Многочлены  над полем P.

Пусть - произвольное числовое поле

 

Выражение вида , где называется одночленом

Выражение вида называется многочленом над полем c одной переменной над полем P (обозначается ) – коэффициент многочлена

На многочлен можно смотреть как на функцию с областью определения  P

Множество всех многочленов обозначается

Степенью многочлена называется наибольший показатель степени переменного. Член, содержащий наибольшую степень называется старшим членом многочлена. Член, не содержащий переменного называется, свободным.

Теорема. Множество всех многочленов над полем является кольцом

Два многочлена и равны, если их соответствующие коэффициенты равны.

Суммой двух многочленов  и назовем многочлен коэффициенты, которого являются суммой соответствующих коэффициентов.

 

 

   при

Если  то = n

Пример: Сложить

                                  

        =  

Степень суммы (ст. ( )< max(n, k))

Свойства сложения:

1. Сложение многочленов коммутативно 

    так как сложение многочленов сводится к сложению коэффициентов

2. Сложение многочленов ассоциативно

  (  )+   (+)

3. Во множестве всех многочленов существует нулевой многочлен (все коэффициенты которого являются нулями)

           

            + 0 =

           

)= 0

Вводим операцию умножения

Произведением двух многочленов  и назовем многочлен

Где: 

         

 

 

 

 

Чтобы перемножить два многочлена нужно каждый член первого умножить на все члены второго и привести подобные слагаемые.

Пример:

                

 

При умножении  многочленов старший член произведения равен произведению старших членов. Свободный член произведения равен  произведению свободных членов. Степень произведения (сумма степеней сомножителей)

Произведение  двух многочленов равно нулевому многочлену тогда и только тогда, когда хотя бы один из многочленов равен нулевому.

Докажем что  умножение многочленов дистрибутивно  относительно сложения.

 

                                           ?

(  )

                           ст. = (n+k)              n+k     >         n+

                                                                     n+k

Покажем, что они имеют одинаковую степень

Пусть для определенности , тогда ст. ()= k, ст. =n+k

Докажем равенство коэффициентов

 

 

Значит, . Так как произвольный, то все коэффициенты многочлена стоящие в левой части равны коэффициентам, стоящим в правой части

Значит  кольцо.

Нетрудно  доказать, что умножение многочленов  коммутативно и ассоциативно, значит кольцо – коммутативно ассоциативное.

Кольцо содержит единичный элемент 

(1 – многочлен нулевой степени)

Теорема. Многочлен имеет себе обратный тогда и только тогда, когда .

Пусть тогда

 

Делимость в кольце многочленов.

В кольце многочленов операция деления  не выполнима, однако существуют такие  многочлены, что один из них делится  на другой.

 

Во множестве всех многочленов  вводится понятие делимости.

Говорят многочлен  делится на , если , такой что

делитель , кратное

Свойства делимости многочленов:

1. ,

    

2. ,

     

 ,

    

4.; , то

 

 

 

5. Если  и любой, то

Свойство 3 и свойство 5 выражают достаточное  условие делимости суммы и  произведения.

6. Если а , то свойство транзитивности.
7. Если , то
8. Если степени n, то любой делитель многочлена имеющий степень n имеет вид: ,
9. и делятся друг на друга тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга числовым множителем.

 

                       

 

Доказательство:

1)Необходимость.

Дано.

Доказать.

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

Ст.       Ст.

            

            

 многочлены  нулевой степени, то есть являются  числами из поля 

, d

 

2)Достаточность.

Дано.

Доказать.

Доказательство. Из условий и определения делимости следует, что

10. Делители многочленов одни и те же.

 

Деление многочленов с остатком.

Операция  деления многочленов без остатка  не выполнима, но в кольце многочленов, так же как и в кольце целых чисел справедлива теорема о делении с остатком.

Говорят, разделить  на с остатком, где это значит найти такие что:

2. 0или

            неполное частное

            остаток

Теорема о делении с остатком.

Для любых  двух многочленов где над тем же полем такие что:

2. 0или

Доказательство.

 

 

 

1. Пусть

Если  степень ,

 

 

Ст.

                    2)Пусть

 

 

Степень

Если то процесс останавливается,

Если то процесс продолжается

 

 

Степень

Если то процесс останавливается,

Если то процесс продолжается

 И ТД.

Процесс конечен  так как степени многочленов  понижаются, но отрицательными быть не могут. Настанет момент, когда степень

 

 

 

Получили 

                   

                  

Степень

 

 

 

 

Общий делитель многочленов.

Наибольший  общий делитель.

Даны 

Общим делителем  двух или нескольких многочленов  над полем  называют многочлен на который делится каждый из данных многочленов .

Множество общих  делителей не пустое, так как будет общим делителем.

НОД двух или  нескольких многочленов называется такой их общий делитель который делится на любой другой общий делитель , .

Существует  ли для любых двух многочленов  НОД, если существует, то однозначен или  нет, как их находить? Ответ на эти вопросы – алгоритм Евклида.

Даны .

Сравним степени  n и m. Многочлен большей степени делим на многочлен меньшей степени. Если их степени равны, то неважно, какой многочлен, на какой делить. По теореме о делении с остатком такие, что .

Если  то процесс останавливается.

Если  то делим на .

 ст. < ст. <

 делим на

, ст. < ст. <

Процесс деления конечен

 

 

 

 

 

Доказательство:

, - общий делитель.

(из последнего)

(из предпоследнего)

 и т. д.

 

, - общий делитель.

  - общий делитель.

 

 

Из (1)

Из (2)

...

 

 

- НОД  и .

Свойства  НОД

1. НОД двух  многочленов находится однозначно  с точностью до числового множителя.                                                                                                                        (1)

Доказательство:    

 

 – общий делитель.

 

- общий делитель.

 

По свойству делимости – два многочлена делятся  друг на друга тогда и только тогда, когда они отличаются числовым множителем.

НОД и среди всех брать тот, у которого старший коэффициент равен 1 (нормированные).

 

Замечание: Учитывая свойство (1) при нахождении НОД с помощью алгоритма Евклида многочлены, , , , …, можно заменять другими многочленами, отличными числовыми множителями.

«Теорема  о линейном представлении НОД  двух многочленов»

Если , то

Над P: 1)

             2) ст 

                  ст 

Доказательство:

Доказательство существования  вытекает из алг. Евклида

из  получаем

    

     ,

    

Из 2 равенства:

                             

                             

                             

                              ,

 и т.д.

Из предпоследнего:

 

 

подставим, сгруппируем и получим:

 

 

На практике будем находить , начиная с конца. При этом допускать умножения на числа нельзя.

Докажем, что ст.

ст.

Пусть - одна из пар, удовлетворяет теореме

.

Пусть ст. , разделим по теореме о делении с остатком . Найдем часть .

 

ст.

подставим

 

 

Покажем, что степень многочлена ст.

Если бы степень  этого многочлена была ст. , тогда степень пр-я на этот многочлен была бы .

ст.

ст. ,

d – делитель.

ст.

ст.

получаем противоречие

ст.

Через возьмем , а через .

Получим ,

где ст. , а ст. .

Взаимно-простые  многочлены и их свойства.

, тогда  – взаимно-простые.

Теорема 1 (критерий):

, взаимно-простые ó над P .

Доказательство:

1. Необходимость  этого условия вытекает из  теоремы о линейном представлении  НОД.

2. Достаточность.

Дано:

 

Доказать:

Метод «от противного».

Пусть

 

 

 

 

 

1

Теорема 2:

 и , то .

Доказательство:

Т.к. по теореме 1

        |

 

,

.

Теорема 3:

, то

 

Доказательство:

Из  что над P

 

 

Если бы , то

 общий делитель  ,

а по условию  - противоречие =>

.

Теорема 4:

Если  и и , то

Доказательство:

 ,

 

 

.

Наименьшее  общее кратное двух и нескольких многочленов.

Многочлен называется общим кратным многочленов , если ,

КОН двух или  нескольких многочленов называется такой многочлен m(x) над P, который является общим кратным: 1) ; 2) ; - общее кратное.

Теорема:

Для любых двух отличных от нуля многочленов  существует НОК.

Теорема:

Если , , то является НОК этих многочленов, .

Доказательство:

Т.к.

 

 

 

- общее кратное.

общее кратное

                                 

                                 

 

 

По теореме 2:

k, q – взаимно простые.

 

 

 

 

.

Теорема:

Если  – многочлены над полем P и , , …, , то .

Теорема:

Если  – многочлены над полем P и , , , …, , то .

Значение  многочлена от числа. Корни многочлена.

Деление многочлена на линейный двучлен.

Схема Горнера.

 над P.

Пусть c – любое число из P.

 – число из P.

Это число называется значением  многочлена при .

Пример:

 

 

Число c называется корнем многочлена , если

1 – корень многочлена .

, ,

, 2i, -2i,

, I, -i.

Замечание: Если , то .

Деление многочлена на линейный двучлен

ax+b, a≠0

 

По теореме о делении с  остатком:

для над P найдется ,

 

 

ст.

                             ст.

                             ст. или

 – число  из P.

 

 

В правой части  этого равенства раскроем скобки и сгруппируем по степеням x.

 

Из равенства многочленов получим  равенство их коэффициентов.

 

 

				…
c				…		r=

Пример:

 

 

	1	0	2	0	0	0	3	-7
2	1	2	6	12	24	48	99	191

 

Теорема Безу. Следствие из теоремы Безу.

Теорема:

Остаток от деления многочлена на линейный двучлен равен значению многочлена при .

Доказательство:

 от x не зависит

     

 

Следствие (критерий того, чтобы многочлен имел корень):

Число является корнем многочлена .

Доказательство:

1. Необходимость:

Дано: c – корень .

Доказать: .

 (т.к. c – корень).