Алгебра многочленов

Дано: многочлен  не имеет кратных множителей.

 

В произведение будут входить в 0-ой степени.

Тогда .

. => Значит каждый в разложение входит в 0-ой степени, значит, в сам многочлен он войдет в 1 степени.

Пример:

 

Есть ли кратные  неприводимые множители?

D<0. Найти НОД.

 

 

- 4-ой степени.

.

Формула Тейлора. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена.

- n-ой степени.

.

.

Подставляем вместо x с.

.

Найдем .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

, (*)

.

Чтобы найти  коэффициент в формуле Тейлора  надо найти сами производные, найти  их значение и разделить на k!

Из (*):.

.

.

Подставляем вместо x с.

.

.

.

.

.

.

…

...

.

Коэффициенты  в формуле Тейлора являются значениями частных от деления многочлена на , на , на , это значение частного при делении на , на .

Пример: .

	1	-1	0	2	-1	3
2	1	1	2	6	11	25
2	1	3	8	22	55
2	1	5	18	58
2	1	7	32
2	1	9
2	1

.

Разложить дробь на простейшие.

.

Многочлены  над полем комплексных чисел

К. Гаусс (1777-1855) в нач. XIX в. доказал Основную теорему алгебры.

Всякий многочлен  над полем комплексных чисел имеет хотя бы один корень, принадлежащий этому полю.

Следствие: Всякий многочлен над полем комплексных чисел имеет ровно n корней, считая их кратность.

Доказательство:

 

По основной теореме о существовании корня  этот многочлен имеет хотя бы 1 корень.

.

Тогда по критерию корня 

, степени .

По основной теореме 

, .

Если , то корень , .

.

На n- ом шаге - многочлен нулевой степени.

.

.

.

Где - корни.

, где .

.

2. Всякий многочлен ст. является приводимым над полем P.

- приводим.

Неприводимыми многочленами над полем комплексных  чисел являются многочлены 1-ой степени.

Многочлены  над полем действительных чисел

 с действительными  коэффициентами

,  (1)

.

По основной теореме алгебры этот многочлен  имеет хотя бы один комплексный корень (R c C). Этот корень может быть действительным.

Теорема о сопряженности комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами:

Если  является корнем многочлена (1) с действительными коэффициентами, то число, сопряженное к является корнем .

Доказательство:

Так как  – корень, то , . (2)

Из теории комплексных чисел

,

,

,

,

.

,

. (3)

, т.е.  является корнем многочлена. Ч.т.д.

Покажем, что  кратность корней и будет одинаковой.

Пусть - корень многочлена k-ой кратности, - корень многочлена -ой кратности.

.

Учитывая  определение кратности

;

, .

Надо доказать, что .

1. Пусть , тогда ;

.

,

.

Получили  многочлен второй степени с действительными  коэффициентами .

 – многочлен с действительными коэффициентами, любая его степень будет многочленом с действительными коэффициентами.

.к. с действительными коэффициентами, ψ тоже с действительными коэффициентами.

Тогда частное = с действительными коэффициентами.

, => является корнем этого многочлена.

.

.к. – корень, то тоже корень (по предыдущей теореме).

, но , т.к. и => получили противоречие.

Предположение, что не верно.

2. , то аналогично получили бы противоречие.

=> => кратности корней многочлена с действительными коэффициентами одинакова.

При этом говорят, комплексные корни многочлена с  действительными коэффициентами попарно  сопряжены.

Разложение  многочлена над полем действительных числе на неприводимые множители

 с действительными  коэффициентами.

Над полем  C этот многочлен имеет n корней и разлагается на n линейных множителей.

, над C.

Некоторые могут  быть действительными.

Пусть для  определенности

.

- комплексные корни.

, тогда по теореме  о существовании сопряженного  корня среди  найдется число сопряженное .

.

Комплексных корней четное число и они попарно  сопряжены

,

с действительными  коэффициентами

.

. (*)

- многочлены второй степени с действительными коэффициентами, корни которых комплексно-сопряженные.

Все множители  разложения (*) многочлены с действительными  коэффициентами.

Всякий многочлен  с действительными коэффициентами над R разлагается на произведение старшего коэффициента, линейных множителей вида , соответствующих действительным корням, и квадратных множителей вида , соответствующих парам комплексно-сопряженных корней.

Следствие: Неприводимыми многочленами над P являются многочлены 1 степени и 2-ой степени, у которых D<0.

Теорема: Все многочлены выше второй степени над полем действительных чисел приводимы.

Доказательство:

Пусть с действительными коэффициентами степени . По основной теореме алгебры существует корень α, если:

1. α – действительный корень, ;
2. α - комплексный корень => у многочлена

.

.

Все многочлены выше второй степени – приводимы. Ч.т.д.

Многочлены  над полем рациональных чисел

Многочлен вида

,

называется  примитивным, если его коэффициенты взаимно простые числа

.

Например: - примитивный.

Теорема: Всякий многочлен с рациональными коэффициентами можно представить в виде произведения несократимой дроби на примитивный многочлен.

Доказательство:

, .

.

.

Найдется  - общий знаменатель.

По свойству дробей все коэффициенты можно привести к общему знаменателю .

.

.

- примитивный многочлен.

Если  – несократимая, то теорема доказана.

Если  - сократимая, то , – примитивный.

. Ч.т.д.

Например: .

.

Лемма Гаусса: Произведение примитивных многочленов является примитивным.

Доказательство:

.

.

.

.

Предположим, что этот многочлен не примитивный. Тогда .

- простое число, на которое все коэффициенты делятся.

.

 

Т.к. многочлены являются примитивными, то все коэффициенты и первого, и второго многочлена делиться на p не могут.

Пусть .

.

.

 по условию все слагаемые, кроме одного делятся на p. Тогда , отсюда или , а это противоречит выбору коэффициентов . Противоречие в результате неверного предположения. Значит . Значит многочлены – примитивные.

Сведение  вопроса о приводимости многочленов  над полем рациональных числе  к вопросу о приводимости этих многочленов над кольцом целых  числе

Пусть многочлен  с рациональными коэффициентами. Тогда его можно представить как , – примитивный, – несократимая дробь.

Если  с целыми коэффициентами будет приводим над Z:

, с целыми коэффициентами, ст. , ст. ,

тогда , - приводим.

Пусть приводим над Q. Тогда покажем, что он приводим над кольцом Z.

Пусть с рациональными коэффициентами.

Тогда

.

Тогда .

По лемме  Гаусса – примитивные его коэффициенты целого и взаимно простые, - примитивный с целыми и взаимно простыми коэффициентами.

Тогда .

Произведение  примитивно умноженного на даст нам многочлен с целыми коэффициентами ó .

А значит .

Т.к. , то ,  .

Т.к. , то .

Получили .

Разложили , приводим над Z. Значит будет приводим над Q.

Вопрос о  приводимости многочлена над Q сводится к вопросу о приводимости над Z.

Критерий  Эйзенштейна о неприводимости многочленов  над полем рациональных чисел

Если вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем C и R решается легко, то вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем Q решается довольно сложно.

Существует  несколько достаточных критериев  приводимости и неприводимости многочленов  и несколько необходимых. Мы рассмотрим наиболее важные.

Если многочлен  с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то он приводим над Q .

Докажем критерий Эйзенштейна (достаточное условие  того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводим над  Q).

Многочлен с целыми коэффициентами

,

будет неприводим над Q, если существует простое число p, удовлетворяющее условию:

3. .

Доказательство:

Пусть удовлетворяет всем условиям критерия и пусть он приводим => .

, где .

Тогда  

Все коэффициенты, кроме  делятся на p, когда , но , .

Пусть (если бы , то , а у нас , значит ).

, тогда , но => .

, тогда  => .

На m-ом шаге получим . Поднимемся в первое равенство:

=> , а это против условия (1) критерия Эйзенштейна.

Значит многочлен  неделим.

Пример: Выяснить существует ли 3: .

0,3,-12,39,63. Значит многочлен неприводим над Q.

Из критерия Эйзенштейна следует, что над  полем Q существует неприводимый многочлен сколь угодно большой степени. Докажем, что существует многочлен тысячной степени.

.

25;

0,…,0,5,10.

1025.

Значит многочлен  неприводимый над полем Q.

Критерия  Эйзенштейна является лишь достаточным  условием, поэтому если хотя бы одно из условий критерия не выполняется, то о многочлене нельзя сказать приводимый он или неприводимый.

Формулы Виета и теорема Виета

Запишем уравнение  n-ой степени.

Уравнением  n-ой степени называется равенство , где - многочлен n-ой степени, если ставится задача найти такие значения переменной x, при которых это равенство обращается в верное, число c при этом называется корнем уравнения

.  (1)

Корни уравнения  это есть корни многочлена .

Мы знаем, что над полем C всякий многочлен n-ой степени имеет n корней.

.

Формулы Виета  выражают связь между корнями  уравнения (1) и его коэффициентами.